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25数值分析实验报告微软中国此页不打印键入文档副标题微软用户选取日期课题一: 线性方程组的迭代法一、实验内容1、设线性方程组=x= ( 1, -1, 0, 1, 2, 0, 3, 1, -1, 2 ) 2、设对称正定阵系数阵线方程组= x = ( 1, -1, 0, 2, 1, -1, 0, 2 ) 3、三对角形线性方程组 = x= ( 2, 1, -3, 0, 1, -2, 3, 0, 1, -1 )试分别选用jacobi 迭代法，gauss-seidol迭代法和sor方法计算其解。二、实验要求1、体会迭代法求解线性方程组，并能与消去法做以比较；2、分别对不同精度要求，如由迭代次数体会该迭代法的收敛快慢；3、对方程组2，3使用sor方法时，选取松弛因子=0.8，0.9，1，1.1，1.2等，试看对算法收敛性的影响，并能找出你所选用的松弛因子的最佳者；4、给出各种算法的设计程序和计算结果。三、目的和意义1、通过上机计算体会迭代法求解线性方程组的特点，并能和消去法比较；2、运用所学的迭代法算法，解决各类线性方程组，编出算法程序；3、体会上机计算时，终止步骤（予给的迭代次数），对迭代法敛散性的意义；4、体会初始解 x，松弛因子的选取，对计算结果的影响。四、流程图设计1、主程序流程图 图1-1 主程序流程图2、jacobi迭代算法流程：图1-2 jacobi 迭代法流程图3、gauss-seidel迭代算法流程同jacobi算法，迭代关系式为 图1-3 gauss-seidol迭代法流程图4、sor迭代算法： 图1-4 sor迭代法流程图五、程序代码#includeusing namespace std; #define n 40const int n=10;int jacobi(float *p,float b,float x,float x,int n);int gs(float *p,float b,float x,float x,int n);int sor(float *p,float b,float x,float x,int n);void print(float *a,int r);void main()float a1010=4,2,-3,-1,2,1,0,0,0,0, 8,6,-5,-3,6,5,0,1,0,0,4,2,-2,-1,3,2,-1,1,9,4,0,-2,1,5,-1,3,-1,1,9,4,-4,2,6,-1,6,7,-3,3,2,3,8,6,-8,5,7,17,2,6,-3,5,0,2,-1,3,-4,2,5,3,0,1,16,10,-11,-9,17,34,2,-1,2,2,4,6,2,-7,13,9,2,0,12,4,0,0,-1,8,-3,-24,-8,6,3,-1; float a10=7,5,-13,2,6,-12,14,-4,5,-5; float x110=0,0,0,0,0,0,0,0,0,0; float x110; float b88=4,2,-4,0,2,4,0,0, 2,2,-1,-2,1,3,2,0, -4,-1,14,1,-8,-3,5,6, 0,-2,1,6,-1,-4,-3,3, 2,1,-8,-1,22,4,-10,-3, 4,3,-3,-4,4,11,1,-4, 0,2,5,-3,-10,1,14,2,0,0,6,3,-3,-4,2,19; float b8=0,-6,6,23,11,-22,-15,45; float x28=0,0,0,0,0,0,0,0; float x28; float c1010=4,-1,0,0,0,0,0,0,0,0, -1,4,-1,0,0,0,0,0,0,0, 0,-1,4,-1,0,0,0,0,0,0, 0,0,-1,4,-1,0,0,0,0,0, 0,0,0,-1,4,-1,0,0,0,0, 0,0,0,0,-1,4,-1,0,0,0, 0,0,0,0,0,-1,4,-1,0,0, 0,0,0,0,0,0,-1,4,-1,0, 0,0,0,0,0,0,0,-1,4,-1, 0,0,0,0,0,0,0,0,-1,4; float c10=7,5,-13,2,6,-12,14,-4,5,-5; float x310; float x310=0,0,0,0,0,0,0,0,0,0; float *p3; p0=&a00; p1=&b00; p2=&c00; coutjacobi迭代法解第一个方程:endl; jacobi(p0,a,x1,x1,10); coutjacobi迭代法解第二个方程:endl; jacobi(p1,b,x2,x2,8); coutjacobi迭代法解第三个方程:endl; jacobi(p2,c,x3,x3,10); coutgauss-seidel迭代法解第一个方程:endl; gs(p0,a,x1,x1,10); coutgauss-seidel迭代法解第二个方程:endl; gs(p1,b,x2,x2,8); coutgauss-seidel迭代法解第三个方程:endl; gs(p2,c,x3,x3,10); coutsor迭代法解第一个方程:endl; sor(p0,a,x1,x1,10); coutsor迭代法解第二个方程:endl; sor(p1,b,x2,x2,8); coutsor迭代法解第三个方程:endl; sor(p2,c,x3,x3,10); int jacobi(float *p,float b,float x,float x,int n) int k,i,j; float m,r,r,e; coute; for(k=0;kn;k+) r=0; for(i=0;in;i+) m=0; for(j=0;jn;j+) m=m+(*(p+i*n+j)*xj; xi=xi+(bi-m)/(*(p+i*n+i); r=xi-xi; if(rr) r=r; if(r0) print(x,n); cout迭代次数为:k+1endl; return k; for(j=0;j10;j+) xj=xj; print(x,n);cout迭代次数为:kendl; cout方程解发散,无法用jacobi方法解此方程!endl; return 0;int gs(float *p,float b,float x,float x,int n) int i,j,k;float t,r,r,e; coute; for(k=0;kn;k+) for(i=0;in;i+) t=0; for(j=0;jn;j+) if(ji) t+=(*(p+i*n+j)*xj; xi=(bi-t)/(*(p+i*n+i); for(i=0;i10;i+) r=xi-xi; if(rr) r=r; if(r0) print(x,n); cout迭代次数为:k+1endl; return k; for(j=0;j8;j+) xj=xj; print(x,n);cout迭代次数为:kendl; cout方程解发散,无法用gauss-seidel方法解此方程!endl; return 0;int sor(float *p,float b,float x,float x,int n)int i,j,k;float t,r,r,e,w; cout请输入松弛因子w(0ww;coute; for(i=0;in;i+) xi=xi; for(k=0;kn;k+) r=0; for(i=0;in;i+) t=0; for(j=0;jn;j+) t+=(*(p+i*n+j)*xj; r=w*(bi-t)/(*(p+i*n+i); xi+=r; if(rr) r=r; if(r0) print(x,n); cout迭代次数为:k+1endl; return k; print(x,n);cout迭代次数为:kendl;cout方程解发散,无法用xor方法解此方程!endl; return 0;void print(float *a,int n) int j; float *t=a; coutx=( ; for(j=0;jn-1;j+) cout*(t+j),; cout*(t+j)endl;六、程序运行截图七、小结及体会 经过这次试验，我通过上机计算体会迭代法求解线性方程组的特点，并能和消去法比较，并运用所学的迭代法算法，解决各类线性方程组，编出算法程序。切实体会到了上机计算时，终止步骤（予给的迭代次数），对迭代法敛散性的意义，了解了初始解 x，松弛因子的选取，对计算结果的影响。在试验中，不同的系数矩阵对上述三种迭代方法有很大影响，会导致结果发散无法得到正常结果。三种算法的收敛，sor方法最大，其次gauss-seidel方法，jacobi方法最小，松弛因子的不同也和收敛速度密切相关。课题二:数值积分一、实验内容 选用复合梯形公式，复合simpson公式，romberg算法，计算（1） i = （2） i = （3） i = （4） i = 二、实验要求1、 编制数值积分算法的程序；2、 分别用两种算法计算同一个积分，并比较其结果；3、 分别取不同步长，试比较计算结果（如n = 10, 20等）；4、 给定精度要求，试用变步长算法，确定最佳步长。三、目的和意义1、 深刻认识数值积分法的意义；2、 明确数值积分精度与步长的关系；3、 根据定积分的计算方法，可以考虑二重积分的计算问题。四、流程图设计1、主程序流程图图2-1 主程序流程图2.复合梯形公式的计算方法图2-2 复合梯形公式程序流程图在此算法中，主要思想是将区间端点的两个值相加，然后将区间间的函数值乘以2进行相加，然后总体和乘以h/2.3.复合simpson公式计算方法图2-3 .复合simpson算法流程图在此方法中，主要思想和上述梯形复合公式的算法相似，只是有些项加的数不同，就不具体说明了。4.romberg算法计算公式图2-4 romberg算法在此算法中，利用一个二维数组分别存储xk和xk+1，只要记录下所谓t数表的上一行，就能得出下一行即xk+1的值，进而可根据t0j和t1j计算出t1j+1，根据递推可以得出t1k-2。五、程序代码#include #include math.husing namespace std;#define n 100float simpson(float a,float b);float romberg(float a,float b);float trapezium(float a,float b);void trans(float (*p)(float),float a,float b,int n);void transromberg(float (*p)(float),float a,float b,int m);float f1(float x);float f2(float x);float f3(float x);float f4(float x);float fn;float (*fp)(float);int main() char m; float a,b; float i; cout输入1选择函数1!endl输入2选择函数2!endl输入3选择函数3!endl输入4选择函数4!endl其他退出!m; switch(m) case 1:fp=f1;a=0;b=0.785;cout计算函数1的积分:endl;break; case 2:fp=f2;a=0;b=1;cout计算函数2的积分:endl;break; case 3:fp=f3;a=0;b=1;cout计算函数3的积分:endl;break; case 4:fp=f4;a=0;b=1;cout计算函数4的积分:endl;break; default:exit(1); i=simpson(a,b); couti=iendl; i=simpson(a,b); couti=iendl; i=romberg(a,b); couti=iendl; return 0;float simpson(float a,float b) int j,n; float x,h; float f0,f1,f2,sn; cout复化simpson求积公式,请输入区间划分n.endln; trans(fp,a,b,2*n); h=(b-a)/(2*n); f0=f0+f2*n; f1=0; f2=0; for(j=1;j(2*n);j+) x=a+j*h;if(j%2=0) f2+=fj;elsef1+=fj; sn=(f0+4*f1+2*f2)*h/3; return sn;float trapezium(float a,float b) int j,n; float x,h; float f0,f1,sn; cout复化梯形求积公式,请输入区间划分n.endln; trans(fp,a,b,n); h=(b-a)/n; f0=f0+fn; f1=0; for(j=1;jn;j+) x=a+j*h;f1+=fj; sn=(f0+2*f1)*h/2; return sn;void trans(float (*p)(float),float a,float b,int n) int i;float h;h=(b-a)/n; for(i=0;i=n;i+) fi=p(a+i*h);void transromberg(float (*p)(float),float a,float b,int m) int i,n,k;float t,h;n=1;h=b-a;f0=p(a)+p(b); for(k=1;k=m;k+) h/=2; t=0; for(i=1;i=n;i+)t+=p(a+(2*i-1)*h); fk=t; n*=2;float romberg(float a,float b) int k,n,i,k; float h,r,e; float t1010; coutromberg求积公式,请输入区间等分,n=2kendlk; coute