大学理论力学课件 第13章 虚位移原理.pdf

第十三章 第十三章 虚位移原理 虚位移原理 第十三章 第十三章 虚位移原理虚位移原理 13-1 约束 虚位移虚功 13-1 约束 虚位移虚功 1 约束及其分类 1 约束及其分类 限制质点或质点系运动的条件称为限制质点或质点系运动的条件称为约束约束， ， 限制条件的数学方程称为限制条件的数学方程称为约束方程约束方程. 限制质点或质点系运动的条件称为限制质点或质点系运动的条件称为约束约束， ， 限制条件的数学方程称为限制条件的数学方程称为约束方程约束方程. 限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何 几何 约束约束. 限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何 几何 约束约束. 2 2 2 l y x = + 2 2 2 l y x = + （1）几何约束和运动约束 （1）几何约束和运动约束 如 如 如如 ( ) 0 , , = z y x f ( ) 0 , , = z y x f 限制质点系运动情况的运动学条件称运动约束运动约束. 限制质点系运动情况的运动学条件称运动约束运动约束. 0 = r v a 0 = r v a ( ) ( ) 0 2 2 = = + b a b a b y l y y x x ( ) ( ) 0 2 2 = = + b a b a b y l y y x x 0 = & & r x a 0 = & & r x a 2 2 2 r y x a a = + 2 2 2 r y x a a = + ( ) 2 0 2 2 t v l y x r = + ( ) 2 0 2 2 t v l y x r = + 2 定常约束和非定常约束 2 定常约束和非定常约束 约束条件随时间变化的称 非定常约束,否则称定常约束称定常约束. 约束条件随时间变化的称 非定常约束,否则称定常约束称定常约束. （3） 其它分类 （3） 其它分类 （3） 其它分类（3） 其它分类 约束方程中包含坐标对时间的导数,且不可能积分或有限 约束方程中包含坐标对时间的导数,且不可能积分或有限 形式的约束称形式的约束称非完整约束非完整约束,否则为,否则为完整约束完整约束. . 约束方程中包含坐标对时间的导数,且不可能积分或有限 约束方程中包含坐标对时间的导数,且不可能积分或有限 形式的约束称形式的约束称非完整约束非完整约束,否则为,否则为完整约束完整约束. . 约束方程是等式的，称约束方程是等式的，称双侧约束双侧约束（或称（或称固执约束固执约束）， ）， 约束方程为不等式的，称约束方程为不等式的，称单侧约束单侧约束（或称（或称非固执单侧约 非固执单侧约 束束）。本章只讨论定常的双侧、完整、几何约束； ）。本章只讨论定常的双侧、完整、几何约束； 约束方程是等式的，称约束方程是等式的，称双侧约束双侧约束（或称（或称固执约束固执约束）， ）， 约束方程为不等式的，称约束方程为不等式的，称单侧约束单侧约束（或称（或称非固执单侧约 非固执单侧约 束束）。本章只讨论定常的双侧、完整、几何约束；）。本章只讨论定常的双侧、完整、几何约束； ( ) s i z y x z y x f n n n , , 2 , 1 0 , , , , , , , 1 1 1 l l = = ( ) s i z y x z y x f n n n , , 2 , 1 0 , , , , , , , 1 1 1 l l = = n n为质点系数为质点系数 s s 为约束方程数 为约束方程数 n n为质点系数为质点系数 s s 为约束方程数 为约束方程数 2 2 虚位移 虚位移 2 2 虚位移虚位移 在某瞬时在某瞬时,质点系在约束允许的条件下质点系在约束允许的条件下,可能实现的任何 可能实现的任何 无限小的位移称为无限小的位移称为虚位移虚位移 . 在某瞬时在某瞬时,质点系在约束允许的条件下质点系在约束允许的条件下,可能实现的任何 可能实现的任何 无限小的位移称为无限小的位移称为虚位移虚位移 . 虚位移 虚位移 虚位移虚位移 , , x r r , , x r r 等 等 等 等 实位移 实位移 实位移实位移 d ,d ,d rx r d ,d ,d rx r 等 等 等等 3 3 虚功 虚功 3 3 虚功虚功 r f w r r = r f w r r = 4 4 理想约束 理想约束 4 4 理想约束理想约束 如果在质点系的任何虚位移中如果在质点系的任何虚位移中,所有约束力所作虚功的和 所有约束力所作虚功的和 等于零，称这种约束为等于零，称这种约束为理想约束理想约束. 如果在质点系的任何虚位移中如果在质点系的任何虚位移中,所有约束力所作虚功的和 所有约束力所作虚功的和 等于零，称这种约束为等于零，称这种约束为理想约束理想约束. = = = 0 i ni ni n r f w w r r = = = 0 i ni ni n r f w w r r 力在虚位移中作的功称虚功力在虚位移中作的功称虚功. 力在虚位移中作的功称虚功力在虚位移中作的功称虚功. 即 即 即即 = 0 i i r f r r = 0 i i r f r r 设质点系处于平衡,有 设质点系处于平衡,有 设质点系处于平衡,有设质点系处于平衡,有 0 = + ni i f f r r 0 = + ni i f f r r 或记为 或记为 或记为或记为 0 = fi w 0 = fi w 此方程称此方程称虚功方程,其表达的原理称其表达的原理称虚位移原理虚位移原理或或虚功原理虚功原理: 此方程称此方程称虚功方程,其表达的原理称其表达的原理称虚位移原理虚位移原理或或虚功原理虚功原理: 0 = + i ni i i r f r f r r r r 0 = + i ni i i r f r f r r r r = + 0 i ni i i r f r f r r r r = + 0 i ni i i r f r f r r r r 13-2 13-2 虚位移原理 虚位移原理 13-2 13-2 虚位移原理虚位移原理 对于具有理想约束的质点系对于具有理想约束的质点系,其平衡的充分必要条件是其平衡的充分必要条件是: 作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功的和 作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功的和 等于零等于零. 对于具有理想约束的质点系对于具有理想约束的质点系,其平衡的充分必要条件是其平衡的充分必要条件是: 作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功的和 作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功的和 等于零等于零. 解析式为 解析式为 解析式为解析式为 ( ) = + + 0 i zi i yi i xi z f y f x f ( ) = + + 0 i zi i yi i xi z f y f x f 例15-1 例15-1 如图所示,在螺旋压榨机的手柄如图所示,在螺旋压榨机的手柄abab上作用一在 上作用一在 水平面内的力偶( 水平面内的力偶( ),其力矩 ),其力矩 ,螺杆的导 ,螺杆的导 程为 程为 . . 例15-1 例15-1 如图所示,在螺旋压榨机的手柄如图所示,在螺旋压榨机的手柄abab上作用一在 上作用一在 水平面内的力偶( 水平面内的力偶( ),其力矩 ),其力矩 ,螺杆的导 ,螺杆的导 程为 程为 . . f f r r ,f f r r , fl m 2 = fl m 2 = h h 求求:机构平衡时加在被压物体上的力机构平衡时加在被压物体上的力. 求求:机构平衡时加在被压物体上的力机构平衡时加在被压物体上的力. 解解:给虚位移 给虚位移 解解:给虚位移给虚位移 , , s , , s 0 2 = + = fl s f w n f 0 2 = + = fl s f w n f 满足如下关系： 满足如下关系： 满足如下关系：满足如下关系： s 与 s 与 h s = 2 h s = 2 = = 0 2 2 h f fl w n f = = 0 2 2 h f fl w n f 是任意的 因 是任意的 因 ，故 故 ，故故 0 2 h f fl 2 n = 0 2 h f fl 2 n = f h l f n 4 = f h l f n 4 = 例15-2 图中所示结构,各杆自重不计,在点作用一铅直 向上的力, 例15-2 图中所示结构,各杆自重不计,在点作用一铅直 向上的力, l ge dg cb cd ce ac = = = = = = l ge dg cb cd ce ac = = = = = = 求求:支座支座的水平约束力的水平约束力. 求求:支座支座的水平约束力的水平约束力. 解:解除解:解除b端水平约束,以力 端水平约束,以力 代替,如图 (b) 代替,如图 (b) 解:解除解:解除b端水平约束,以力 端水平约束,以力 代替,如图 (b)代替,如图 (b) bx f bx f cos 3 , sin 2 sin 3 , cos 2 0 l y l x l y l x y f x f w g b g b g b bx f = = = = = + = cos 3 , sin 2 sin 3 , cos 2 0 l y l x l y l x y f x f w g b g b g b bx f = = = = = + = ( ) 0 l 3 f l 2 f bx = + cos sin ( ) 0 l 3 f l 2 f bx = + cos sin cot 2 3 f f bx = cot 2 3 f f bx = 带入虚功方程 带入虚功方程 带入虚功方程带入虚功方程 0 cos 3 cos 3 cos sin 2 ( 0 0 = + + l f l k l k l f bx 0 cos 3 cos 3 cos sin 2 ( 0 0 = + + l f l k l k l f bx 解得 解得 解得解得 cot cot 2 3 0 k f f bx = cot cot 2 3 0 k f f bx = 0 0 0 = + + = = = g g g c c b bx f g c y f y f y f x f w k f f 0 0 0 = + + = = = g g g c c b bx f g c y f y f y f x f w k f f cos 3 , cos , sin 2 sin 3 , sin , cos 2 l y l y l x l y l y l x g c b g c b = = = = = = cos 3 , cos , sin 2 sin 3 , sin , cos 2 l y l y l x l y l y l x g c b g c b = = = = = = 如图在如图在cgcg 间加一弹簧,刚度 间加一弹簧,刚度k,且已有伸长量 ,且已有伸长量 ,仍求 ,仍求 . . 如图在如图在cgcg 间加一弹簧,刚度 间加一弹簧,刚度k,且已有伸长量 ,且已有伸长量 ,仍求 ,仍求 . . 0 0 在弹簧处也代之以力,如 在弹簧处也代之以力,如 图（b),其中 图（b),其中 在弹簧处也代之以力,如 在弹簧处也代之以力,如 图（b),其中图（b),其中 bx f 例13-3 例13-3 图所示椭圆规机构中,连杆图所示椭圆规机构中,连杆ab长为长为l,滑块,滑块, , 与杆重均不计,忽略各处摩擦,机构在图示位置平衡. 与杆重均不计,忽略各处摩擦,机构在图示位置平衡. 例13-3 例13-3 图所示椭圆规机构中,连杆图所示椭圆规机构中,连杆ab长为长为l,滑块,滑块, , 与杆重均不计,忽略各处摩擦,机构在图示位置平衡.与杆重均不计,忽略各处摩擦,机构在图示位置平衡. b a f f与 b a f f与 求：主动力 求：主动力 之间的关系。 之间的关系。 求：主动力 求：主动力 之间的关系。之间的关系。 解解: 解解: (1) (1) 给虚位移 给虚位移 (1) (1) 给虚位移给虚位移 , , b a r r r r , , b a r r r r = 0 i i r f r r = 0 i i r f r r 代入虚功方程,有 代入虚功方程,有 代入虚功方程,有代入虚功方程,有 0 cos = b b b a r f r f 0 cos = b b b a r f r f 即 即 即即 tan b a f f = tan b a f f = 由 由 由由 sin cos a b r r = sin cos a b r r = ( ( 在在 a , ,b 连线上投影相等) 连线上投影相等) ( ( 在在 a , ,b 连线上投影相等)连线上投影相等) b a r r r r , b a r r r r , 0 = b b a a r f r f 0 = b b a a r f r f (2) 用解析法.建立 (2) 用解析法.建立 坐标系,由 坐标系,由 (2) 用解析法.建立 (2) 用解析法.建立 坐标系,由坐标系,由 ( ) 0 f f f zi zi yi yi xi xi = + + ( ) 0 f f f zi zi yi yi xi xi = + + 有 有 有有 0 = ya a xb b f f 0 = ya a xb b f f sin , cos l y l x a b = = sin , cos l y l x a b = = 得 得 得得 tan b a f f = tan b a f f = cos , sin l l ya xb = = cos , sin l l ya xb = = 代入到 代入到 代入到代入到 得 中, 0 = i i r f r r 得 中, 0 = i i r f r r 由速度投影定理,有 由速度投影定理,有 由速度投影定理,有由速度投影定理,有 , sin cos a b v v = , sin cos a b v v = 代入上式 代入上式 代入上式 代入上式 得 得 得得 tan b a f f = tan b a f f = 0 = a a b b v f v f 0 = a a b b v f v f (3) (3) 虚速度法 虚速度法 (3) (3) 虚速度法 虚速度法 定义定义: 定义定义: t r v t r v b b a a d d r r r r = = , t r v t r v b b a a d d r r r r = = , 为虚速度 为虚速度 为虚速度为虚速度 例13-4 例13-4 如图所示机构,不计各构件自重与各处摩 如图所示机构,不计各构件自重与各处摩 擦,求机构在图示位置平衡时,主动力偶矩擦,求机构在图示位置平衡时,主动力偶矩与主动力与主动力 之间的关系之间的关系. . 例13-4 例13-4 如图所示机构,不计各构件自重与各处摩 如图所示机构,不计各构件自重与各处摩 擦,求机构在图示位置平衡时,主动力偶矩擦,求机构在图示位置平衡时,主动力偶矩与主动力与主动力 之间的关系之间的关系. . 解: 给虚位移 解: 给虚位移 解: 给虚位移解: 给虚位移 c r , c r , = = 0 c f r f m w = = 0 c f r f m w 由图中关系有 由图中关系有 由图中关系有由图中关系有 sin e a r r = sin e a r r = 2 sin , sin h r r h ob r a c e = = = = 2 sin , sin h r r h ob r a c e = = = = 代入虚功方程得 代入虚功方程得 代入虚功方程得代入虚功方程得 2 sin fh m = 2 sin fh m = 用虚速度法用虚速度法: 用虚速度法用虚速度法: 2 sin , sin h v v h ob v c a e = = = = 2 sin , sin h v v h ob v c a e = = = = 代入到 代入到 代入到代入到 2 sin , 0 fh m fv m c = = 亦得 亦得 中中 2 sin , 0 fh m fv m c = = 亦