七年级数学下册_第五章一元一次不等式和一元一次不等式.doc

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第五章一元一次不等式和一元一次不等式组综合指导 (一)有关概念1、一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1的不等式叫做一元一次不等式.2、一元一次不等式组：关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组.3、不等式（组）的解：能使不等式（组）成立的未知数的值叫做不等式（组）的解.4、不等式（组）的解集：一个不等式（组）的所有解组成这个不等式（组）的解集.注意 不等式（组）的解与不等式（组）的解集的关系：不等式（组）所有的解的集合组成不等式（组）的解集，不等式（组）的每一个解都是解集的一个元素.例如，x=3.5，4，7都是不等式x+58的解，而x3是这个不等式的解集.(二) 不等式的三个基本性质性质1：如果ab，那么a+cb+c，a-cb-c. 即不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.性质2：如果ab，并且c0，那么acbc.即不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.性质3：如果ab，并且c0，那么acbc. 即不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.典型例题分析1、有关概念例1 下列说法正确的是：a. x=-3是x+3-2的解. b. x3是x+36的解. c. x=是6x3的解集. d. x-5是-3x15的解集.分析:把x=-3代入x+3-2中不成立,所以答案a错误;答案b和答案c混淆了解和解集两个概念;在不等式-3x15的两边都除以-3,得x-5,所以答案d是正确的.2、不等式的性质 例2 用“”或“”填空：已知xy，则3x-13y-1.已知ab，则1-a1-b. 分析：需要把不等式的基本性质牢记，才能熟练做出这类题目.解：根据不等式的性质2，由xy得3x3y；再根据不等式的性质1，得3x-13y-1. 根据不等式的性质3，由ab得-a-b；再根据不等式的性质1，得1-a1-b.例3 “ 哥哥的年龄比我大，3年后哥哥的年龄仍然比我大.”这一生活现象暗合了不等式的哪一条性质？ 解：设哥哥现在a岁，我b岁，则3年后哥哥（a+3）岁，我（b+3）岁.由ab得出a+3b+3暗合了不等式的性质1.反思：用这种合情推理的方式理解数学性质可以让我们对知识理解的更深刻，记忆的更牢固. 例4请你利用不等式的性质说明怎样由“三角形的任意两边之和大于第三边”推出“三角形的任意两边之差小于第三边”. 分析：这是一道数形结合的题目.解：设三角形的三边分别为a、b、c，“由三角形的任意两边之和大于第三边”可知：a+bc，移项（即根据不等式的性质1），得ac-b，bc-a，即c-ba，c-ab.同理，由a+cb、b+ca可得b-ac、b-ca、a-bc、a-cb，所以“三角形的任意两边之差小于第三边.” 3、解一元一次不等式例5 解不等式2- 解：去分母，得12-（1-x）3（x+4）去括号，得12-1+x3x+12移项，得 x-3x12-12+1合并同类项，得-2x1系数化为1，得x- 4、解一元一次不等式组例6 解不等式组解：解不等式，得x1. 解不等式，得x-2. 在数轴上表示不等式、的解集，如下图所示. 这两个不等式的解集的公共部分是-2x1. 所以，不等式组的解集是-2x1.例7若不等式组 的解集为x3，求a的取值范围 解：解3x+24x-1，得x3.我们不妨把表示数a的点看作是一个动点，将这两个不等式的解集在数轴上表示有三种可能性，如图1、图2与图3.显然，在图1与图3两种情况下，不等式组的解集为x3，而在图2的情形下，不等式组的解集为xa.由图1和图3可知：a3. 反思：数轴是一个非常重要的工具，上面这道题目就是利用数轴的一个很好的例子.5、用不等式（组）解决实际问题例8今年9月份，我市某果农收获苹果30吨，梨13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆将这批水果全部运往南方.已知甲种货车可装苹果4吨和梨1吨，乙种货车可装苹果、梨各2吨.该果农安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你设计出来.分析：这类方案设计题虽然没有出现表示不等关系的术语，但同学们要明白这是利用不等式组来解决实际问题.题目中的不等关系为：甲种货车和乙种货车合运的苹果至少为30吨；甲种货车和乙种货车合运的梨至少为13吨.另外注意答案一定要取自然数.解：设安排甲种货车x辆，则安排乙种货车（10-x）辆，根据题意，得解这个不等式组得所以5x7，又因为x必须取整数，所以x可以取5，6，7.即安排甲、乙两种货车共有三种方案： 甲种货车5辆，乙种货车5辆； 甲种货车6辆，乙种货车4辆； 甲种货车7辆，乙种货车3辆.例9 在一次环保知识竞赛中，竞赛试题共有25道题.每道题都给出4个答案，其中只有一个答案是正确的.要求学生把正确答案选出来.每道题选对得4分，不选或错选倒扣2分.如果一个学生在本次知识竞赛中的得分不低于60分，那么他至少选对了多少道题？分析：这道题的数量关系很明确，就是由作对题目所得分数减去作错题目所扣分数大于或等于60分，关键是如何列代数式正确表示作对题目所得分数与作错题目所扣分数.解：设他选对了x道题，根据题意，得（注意：不能设成“他至少选对了x道题”）4x-2（25-x）60解得 x因为题目数必须是正整数，而符合条件的正整数最小是19，所以他至少选对了19道题.图1例10、用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大当未进入木块的钉子长度足够时，每次钉入木块的钉子长度是前一次的已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后铁钉进入木块的长度是2cm，若铁钉总长度为acm，则a的取值范围是 解析：根据题意易知第二次敲击后铁钉进入木块的长度是1cm，所以前两次铁钉进入木块的长度的和是3cm下面关键是正确理解“被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚）”，由此可确定第二次敲击后铁钉未进入木块的长度是大于0，但是最长不超过0.5cm，所以a的取值范围是3a3.5cm.例11、乘坐益阳市某种出租汽车.当行驶 路程小于2千米时，乘车费用都是4元(即起步价4元)；当行驶路程大于或等于2千米时，超过2千米部分每千米收费1.5元.(1)当x2时，用含x乘车费用为 ；(2)按常规，乘车付费时按计费器上显示的金额进行“四舍五入”后取整(如记费器上的数字显示范围大于或等于9.5而小于10.5时，应付车费10元)，小红一次乘车后付了车费8元，请你确定小红这次乘车路程x的范围. 解析：(1)关键是理解“超过2千米部分每千米收费1.5元”，计算超过2千米部分的费用应用价格乘以总路程减去2，即1.5(x-2)，所以当x2时，用含x乘车费用为4+1.5(x-2)=1.5x+1；(2)解决问题的关键是根据规定理解“小红一次乘车后付了车费8元”中隐含的不等式，根据规定若按路程计算时，实际上车费是大于或等于7.5元而小于8.5元，据此可列出不等式组：，解这个不等式组，得x5所以小红这次乘车路程x的范围是x5例12、今年5月12日，四川汶川发生了里氏8.0级大地震，给当地人民造成了巨大的损失“一方有难，八方支援”，我市锦华中学全体师生积极捐款，其中九年级的3个班学生的捐款金额如下表：班级（1）班（2）班（3）班金额（元）2000吴老师统计时不小心把墨水滴到了其中两个班级的捐款金额上，但他知道下面三条信息：信息一：这三个班的捐款总金额是7700元；信息二：（2）班的捐款金额比（3）班的捐款金额多300元；信息三：（1）班学生平均每人捐款的金额大于48元，小于51元请根据以上信息，帮助吴老师解决下列问题：（1）求出（2）班与（3）班的捐款金额各是多少元；（2）求出（1）班的学生人数解析：（1）设（2）班捐款金额各是x元，（3）班的捐款金额是y元，根据“信息一：这三个班的捐款总金额是7700元；信息二：（2）班的捐款金额比（3）班的捐款金额多300元”，可列出方程组：，解之，得，所以（2）班捐款金额各是3000元，（3）班的捐款金额是2700元；（2）设（1）班人数是x人，根据“信息三：（1）班学生平均每人捐款的金额大于48元，小于51元”，可列出不等式组，解这个不等式组，得39x41，因为x为正整数，所以x=40或41，所以（1）班人数是40人或41人一、车辆调配问题例1 (2008年永州)某物流公司，要将300吨物资运往某地，现有a、b两种型号的车可供调用，已知a型车每辆可装20吨，b型车每辆可装15吨，在每辆车不超载的条件下，把300吨物资装运完，问：在已确定调用5辆a型车的前提下至少还需调用b型车多少辆？分析：先根据“两种型号车的装载总量不少于300吨”这一不等关系列出不等式，求出不等式的解集，再由x是车的数量应为正整数，即可确定还需调用b型车辆数解：设还需要b型车x辆，由题意得205+15x300，解得x13由于x是车的数量，应为正整数，所以x的最小值为14答：至少需要14台b型车二、节日礼物问题例2（2008年襄樊市）“六一”儿童节前夕，某消防队官兵了解到汶川地震灾区一帐篷小学的小朋友喜欢奥运福娃，就特意购买了一些送给这个小学的小朋友作为节日礼物如果每班分10套，那么余5套；如果前面的班级每个班分13套，那么最后一个班级虽然分有福娃，但不足4套问：该小学有多少个班级？奥运福娃共有多少套？分析：先抓住“如果前面的班级每个班分13套，那么最后一个班级虽然分有福娃，但不足4套”建立不等式组，求出不等式组解集，再根据其特殊解来班级数解：设该小学有x个班，则奥运福娃共有(10x+5)套由题意得，解得因为x只能取整数，所以x=5，此时10x+5=55答：该小学有5个班级，共有奥运福娃55套三、中国结问题例3）某学校准备添置一些“中国结”挂在教室若到商店去批量购买，每个“中国结”需要10元；若组织一些同学自己制作，每个“中国结”的成本是4元，无论制作多少，另外还需共付场地租金200元亲爱的同学，请你帮该学校出个主意，用哪种方式添置“中国结”的费用较节省？分析：显然选用哪种方式添置“中国结”的费用较节省，与“中国结”的数量有关系,因此应分类予以考虑解：设需要中国结x个，则直接购买需10x元，自制需(4x+200)元分两种情况：（1）若10x4x+200，得，即多于33个时，自已制作更便宜.答：当添置“中国结”少于33个时，到商店购买更便宜；当添置“中国结”多于33个时，自已制作更便宜.四、出租车里路问题例4 (2008年益阳市)乘坐益阳市某种出租汽车，当行驶 路程小于2千米时，乘车费用都是4元(即起步价4元)；当行驶路程大于或等于2千米时，超过2千米部分每千米收费1.5元. 按常规，乘车付费时按计费器上显示的金额进行“四舍五入”后取整(如记费器上的数字显示范围大于或等于9.5而小于10.5时，应付车费10元)，小红一次乘车后付了车费8元，请你确定小红这次乘车路程的范围. 分析：先列出行驶路程大于或等于2千米时乘车费用关于路程的代数式，再建立不等式组来解决问题解：设小红这次乘车路程为x 千米，由题意知费用应为4+1.5(x-2) 元，即1.5x+1(x2)元.因为8介于7.58.5范围内，所以7.51.5x+18.5，解得x5. 答：小红这次乘车路程的范围是千米x5千米.1、王女士看中的商品在甲、乙两商场以相同的价格销售，两商场采用的促销方式不同，在甲商场一次性购物超过100元，超过的部分8折优惠；在乙商场一次性购物超过50元，超过的部分9折优惠，那么她在甲商场购物超过多少元就比在乙商场购物优惠？解 ：设王女士在甲商场购物超过x元就比在乙商场购物优惠。 (x-100)8010050(x50)90 0.8x-80100500.9x45移项 0.1x15 x1502、小宝和爸爸、妈妈三人在操场上玩跷跷板，爸爸体重为72千克，坐在跷跷板的一端；体重只有妈妈一半的小宝和妈妈一同坐在跷跷板的另一端。这时，爸爸的一段仍然着地。后来，小宝借来一副质量为6千克的哑铃，加在他和妈妈的一端，结果爸爸被高高翘起。猜猜看，小宝的体重大约多少千克？解：设小宝体重为x千克.x+2x72 - x+2x+672 -由得：x24由得：x72所以：此不等式组解为：22x24答：小宝体重约大于22kg，小于24kg3、把一堆苹果分给几个孩子，如果每人分三个，那么多八个；如果前面每人分五个，那么最后一人得到的苹果少于三个，问有几个孩子？有多少只苹果？解：设有x个孩子，苹果设为（3x+8）只1.每个孩子分5个苹果，苹果是不够平分的，所以 3x+8 5x 2.最后一个孩子能分到苹果，说明 5(x-1)0(1)05a+535（2）05a+5-8（a-2）8(3)由（2）得-55a30-1a6由（3）05a+5-8a+168-21-3a-1313/3a7由此我们确定a的取值范围4又1/3a6a为正整数，所以a=5那么就是有5间宿舍，女生有55+5=30人 7、某手机生产厂家根据其产品在市场上的销售情况，决定对原来以每部2000元出售的一款彩屏手机进行调价，并按新单价的八折优惠出售，结果每部手机仍可获得实际销售价的20%的利润（利润=销售价成本价）.已知该款手机每部成本价是原销售单价的60%。（1）求调整后这款彩屏手机的新单价是每部多少元？让利后的实际销售价是每部多少元？解：手机原来的售价=2000元/部每部手机的成本=200060%=1200元设每部手机的新单价为a元a80%-1200=a80%20%0.8a-1200=0.16a0.64a=1200a=1875元让利后的实际销售价是每部187580%=1500元（2）为使今年按新单价让利销售的利润不低于20万元，今年至少应销售这款彩屏手机多少部？20万元=200000元设至少销售b部利润=150020%=300元根据题意300b200000b2000/3667部至少生产这种手机667部。8、市某村计划建造a,b两种型号的沼气池共20个，以解决该村所有农户的燃料问题.两种型号的沼气池的占地面积，使用农户数以及造价如下表：型号 占地面积（平方米/个） 使用农户数（户/个） 造价（万元/个）a 15 18 2b 20 30 3已知可供建造的沼气池占地面积不超过365平方米，该村共有492户.（1）.满足条件的方法有几种？写出解答过程.（2）.通过计算判断哪种建造方案最省钱？解: (1) 设建造a型沼气池 x 个，则建造b 型沼气池(20x )个18x+30(20-x) 49218x+600-30x49212x108x915x+20(20-x)365 15x+400-20x3655x35x7解得：7 x 9 x为整数 x = 7，8 ，9 ，满足条件的方案有三种(2)设建造a型沼气池 x 个时，总费用为y万元，则：y = 2x + 3( 20x) = x+ 60 1 0，y 随x 增大而减小，当x=9 时，y的值最小，此时y= 51( 万元 ) 此时方案为：建造a型沼气池9个，建造b型沼气池11个解法:由(1)知共有三种方案，其费用分别为：方案一: 建造a型沼气池7个， 建造b型沼气池13个，总费用为:72 + 133 = 53( 万元 ) 方案二: 建造a型沼气池8个， 建造b型沼气池12个，总费用为:82 + 123 = 52( 万元 ) 方案三: 建造a型沼气池9个， 建造b型沼气池11个，总费用为:92 + 113 = 51( 万元 ) 方案三最省钱.9、把一些书分给几个学生,如果每人分3本,那么余8本;如果前面的每个学生分5本,那么最后一人就分不到3本.这些书有多少本?学生有多少个? - 15 -用心 爱心 专心解：设学生有a人根据题意3a+8-5(a-1)0(2)由（1）3a+8-5a+510a5由（2）3a+8-5a+502a13a6.5那么a的取值范围为5a6.5那么a=6有6个学生，书有36+8=26本10、某水产品市场管理部门规划建造面积为2400m的集贸大棚。大棚内设a种类型和b种类型的店面共80间。每间a种类型的店面的平均面积为28m月租费为400元；每间b种类型的店面的平均面积为20m月租费为360元。全部店面的建造面积不低于大棚总面积的80，又不能超过大棚总面积的85。试确定有几种建造a,b两种类型店面的方案。解：设a种类型店面为a间，b种为80-a间根据题意28a+20（80-a）240080%(1)28a+20（80-a）240085%(2)由（1）28a+1600-20a19208a320a40由（2）28a+1600-20a20408a440a5540a55方案： a b 40 40 41 39 55 25一共是55-40+1=16种方案 11、某家具店出售桌子和椅子，单价分别为300元一张和60元一把，该家具店制定了两种优惠方案：（1）买一张桌子赠送两把椅子；（2）按总价的87.5%付款。某单位需购买5张桌子和若干把椅子（不少于10把）。如果已知要购买x把椅子，讨论该单位购买同样多的椅子时，选择哪一种方案更省钱？设需要买x（x10）把椅子，需要花费的总前数为y第一种方案：y=300x5+60（x-10）=1500+60x-600=900+60x第二种方案：y=（300x5+60x）87.5%=1312.5+52.5x若两种方案花钱数相等时900+60x=1312.5+52.5x7.5x=412.5x=55当买55把椅子时，两种方案花钱数相等大于55把时，选择第二种方案小于55把时，选择第一种方案12、某饮料厂开发了a、b两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲、乙的含量如下表所示现用甲原料和乙原料各2800克进行试生产，计划生产a、b两种饮料共100瓶设生产a种饮料x瓶，解答下列问题：甲 乙a 20g 40gb 30g 20g（1）有几种符合题意的生产方案？写出解答过程；（2）如果a种饮料每瓶的成本为2.60元，b种饮料每瓶的成本为2.80元，这两种饮料成本总额为y元，请写出y与x之间的关系式，并说明x取何值会使成本总额最低？解：（1）设生产a型饮料需要x瓶，则b型饮料需要100-x瓶根据题意20x+30（100-x）2800（1）40x+20（100-x）2800（2）由（1）20x+3000-30x280010x200x20由（2）40x+2000-20x280020x800x40所以x的取值范围为20x40因此方案有生产 a b 20 80 21 79 40 60一共是40-20+1=