2013年高考广东理科数学模拟试题.doc

2013年高考广东理科数学模拟试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集u= 1，2，3，4，5，集合a= 3，5，b=yy =log2（x-1），xa则集合（ca）（cb）=（ ）a.4，5，2 b. 4，5c.2，4，5 d.42. 若将负数表示为a+bi（a，br，i是虚数单位）的形式，则a+b等于（ ）a. 0 b. 1 c. -1 d. 23. 设？琢 和？茁是两个不重合的平面，给出下列命题：若？琢内两条相交直线分别平行于？茁内的两条直线 ，则？琢？茁；若？琢外一条直线l与？琢内一条直线平行，则l？琢；设？琢？茁=l，若？琢内有一条直线垂直于l，则？琢？茁；直线l？琢的充要条件是l与？琢内的两条直线垂直.上面的命题中，真命题的序号是（ ）a. b. c. d. 4. 函数y=cos（-x）cos（？仔+x）+cos2x-图像的一条对称轴为（ ）a. x= b. x= c. x= d. x=5.如果正数a，b，c，d满足a+b=cd=4，那么（ ）a. abc+d且等号成立时a，b，c，d的取值唯一b. abc+d且等号成立时a，b，c，d的取值唯一c. abc+d且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一d. abc+d且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一6. 运行如图所示的程序框图，若输出的m的值为16，则判断框中应填的语句是（ ）a. n5 b. n5 c. n6 d. n67. n=10是（+）n的展开式中存在常数项的（ ）a. 充分不必要条件b. 必要不充分条件c. 充要条件d. 既不充分也不必要条件8. 如右图，它的第一行是首项为1，公差为3的等差数列，第一列与第一行完全相同，以后各行均成等差数列.记第i行第j列的数为aij，对任意正整数为aij，必有正整数c使得aij+c为合数（合数的定义是：合数是除了1和它本身还能被其他的正整数整除的正整数，除2之外的偶数都是合数），则这样的c可以是（ ）a. 20 b. 11 c. 8 d. 4二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.（一）必做题（913题）9. 已知直线y=kx是函数f（x）=x3+2的切线，则k的值为_.10. 函数f（x）=x2-x+，x02x+1，x（1）求证：a1bac；（2）在线段bb1上是否存在点m，使得过cm的平面与直线ab平行，且与底面abc所成的角为45？若存在，请确定点m的位置；若不存在，请说明理由.19.（本小题满分14分）设数列an的前n项和为sn，如果为常数，则称数列an为“幸福数列”.（1）等差数列bn的首项为1，公差不为零，若bn为“幸福数列”，求bn的通项公式；（2）数列cn的各项都是正数，前n项和为sn，若c31+c32+c33+c3n=s2n对任意nn？鄢都成立，试推断数列cn是否为“科比数列”？并说明理由.20.（本小题满分14分）已知椭圆e1 ：+=1，e2：+=1（ab0）.e1与e2有相同的离心率，过点f（-，0）的直线l与e1，e2依次交于a，c，d，b四点（如图）.当直线l过e2的上顶点时， 直线l的倾斜角为.（1）求椭圆e2的方程；（2）求证：ac=db；（3）若ac=1，求直线l的方程.21.（本小题满分14分）已知函数f（x）同时满足如下三个条件：定义域为-1，1；f（x）是偶函数 ；当x0，1时，f（x）=-，其中ar.（1） 求f（x）在0，1上的解析式，并求出函数f（x）的最大值；（2） 当a0，x0，1时，函数g（x）=（+x-2-）e2x-f（x），若g（x）的图像恒在直线y=e上方，求实数a的取值范围.（其中e=2.71828）2013年高考广东理科数学模拟试题参考答案一、选择题1.d.由u=1，2，3，4，5，a=3，5，ca=1，2，4.又b=yy =log2（x-1），xa=1，2， cb=3，4，5，（ca）（cb）=4.2. b.由=i，则a=0，b=1？圯 a+b=1.3. c.对于，其实就是两面平行的判定理的直接应用；对于，其实就是线面平行的判定理；对于，其实是两面垂直的判定理；至此即可产生答案c.4. d.对原式进行三角恒等变换，则y=sinxcosx+cos2x=cos（2x-），故其对称轴为2x-=k？仔， x=+，kz，当k=0时选项d符合.5. a.由c+d-ab=c+-a（4-a）4+a2-4a=（a-a）20，等号成立时a=c=b=d=2.6. b.对于程序框图的运算，若n=1，m=1+1=2，n=2；m=1+1+2=4，n=3；n=5；m=1+1+2+3+4+5=16，n=6，终止循环，故应填入的条件为n5.7. a.由tr+1=crn（）n-r（）r=crn3r，显然n=10时，（+）n的展开式中存在常数项；反过来，不一定.8.c.由ai1=1+3（i-1）=3i-2，aij=ai1+（i+2）（j-1）=3j-2+（i+2）（j-1）=ij+2i+2j-4=（i+2）（j+2）-8.显然，aij+8=（i+2）（j+2）一定是合数.二、填空题9. 3.设切点为（x0，x30+2），又k=y=3x20.于是，切线方程为y=3x20（x-x0）+x30+2，即y=3x20x-2x30+2.由k=3x30，-2x20+2=0？圯k=3.10. -2或.当a0，则a2-a+=，所以a=；当a cos？琢=cos（？琢+）-=.（2） sin（a+b）+sin（a-b）=2sinacosb=6sinbcosb， cosb=0或sina=3sinb， b=或a=3b.若b=，则s=cctana=.若a=3b，由余弦定理得a2+b2-ab=1，b2=，s=absinc=.17.（1）依题知，随机抽取一件该药品为合格的概率为，不合格的概率为，则记5件药用胶囊恰有2件不能销售的概率为事件a，则p（a）=c25（）2（）3=.（2）记该药用胶囊的3个批次分别进行两轮检测为合格记为事件a1，a2，a3，p（a1）=，p（a2）=，p（a3）=.该药用胶囊能通过检测进行销售的批次数为x的可能取值为0，1，2，3.p（x=0）=p（a 1a 2a 3）=（1-）（1-）（1-）=；p（x=1）=p（a1a 2a 3+a 1a2a 3+a 1a 2a3）=（1-）（1-）+（1-）（1-）+（1-）（1-）=；p（x=2）=p（a1a2a 3+a 1a2a3+a1a 2a3）=（1-）+（1-）+（1-）=；p（x=3）=p（a1a2a3）=.则随机变量的分布列为：则ex=0+1+2+3=.18.方法一（空间向量法）（1）证明：取ac中点o，连结a1o，bo，abc和aa1c都是正三角形， a1oac，boac.平面a1ac底面abc，平面a1ac底面abc=ac，a1o平面abc， 如上图，以ob，oc，oa1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则a（0，-1，0），b（，0，0），c（0，1，0），a1（0，0，）， =（，0，-），=（0，2，0）， =0， ，即a1bac.（2）假设点m存在，且=？姿（0？姿1），设过cm且与ab平行的平面交aa1于n，连结mn，nc，则abmn，四边形abmn是平行四边形， =，=. 又=（0，1，）， =？姿=（0，？姿，？姿），n（0，？姿-1，？姿），=（0，？姿-2，？姿），又=（，1，0），=（，1，0）.设平面cmn的法向量为=（x，y，z），由=0，=0，（？姿-2）y+？姿z=0，x+y=0，=（1，-，），又平面abc的法向量为=（0，0，1），且平面cmn与底面abc所成角为45，cos45=，？姿=-2（舍去）或？姿=.在线段bb1上存在点m，当bm=bb1时，平面cmn与直线ab平行，且平面cmn与底面abc所成角为45.方法二（几何法）（1）证明：取ac中点o，连结a1o，bo，abc和aa1c都是正三角形，a1cac，boac.又a1obo=0，a1o？奂平面a1ob，bo？奂平面a1ob，ac平面a1ob，又a1b？奂平面a1ob，a1bac.（2）存在满足题意的点m，证明如下：设bm=？姿，过cm且与ab平行的平面交aa1于n，连结mn，nc，则abmn，则四边形abmn是平行四边形，则an=bm=？姿.设平面mnc与底面abc的交线为l，在平面a1ao内过点n作a1o的平行线nt交ao于t，过t作l的垂线tr，分别交ab于s，交l于r，连接nr.a1o底面abc，nt底面abc.ntl，而trl， l平面ntr， lnr.nrt为平面mnc与底面abc所成二面角的平面角，nrt=45，nt=tr， a1ao=60，at=，nt=？姿， tr=sr-st=-at=-？姿，由nr=tr， ？姿=. b1b=a1a=2， bm=b1b. 在线段bb1上存在点m，当bm=bb1时，平面cmn与直线ab平行，且平面cmn与底面abc所成角为45 .19.（1）设等差数列bn的公差为d（d0），=k，因为b1=1，则n+n（n-1）d=k2n+2n（2n-1）d，即2+（n-1）d=4k+2k（2n-1）d.整理得（4k-1）dn+（2k-1）（2-d）=0.因为对任意正整数n上式恒成立，则：d（4k-1）=0，（2k-1）（2-d）=0，解得d=2，k=.故数列bn的通项公式是bn=2n-1. 由已知，当n=1时，c31=s21=c21.因为c10，所以c1=1.当n2时，c31+c32+c33+c3n=sn，c31+c32+c33+c3n-1=s2n-1.两式相减，得c3n=sn-sn-1=（sn-sn-1）（sn+sn-1）=cn（sn+sn-1）.因为cn0，所以cn=sn+sn-1=2sn-cn.显然c1=1适合上式，所以当n2时，cn-1=2sn-1-cn-1.于是c2n-cn-1=2（sn-sn-1）-c+c=2c-c+c=c+c.因为c+c0，则c-c=1，所以数列c是首项为1，公差为1的等差数列.所以=不为常数，故数列c不是”幸福数列”.20. （1） b=1，=， a=2，b=1，因此椭圆e2的方程为e2：+y2=1.（2）当直线l垂直x轴时，易求得a（-，-），c（-，-），d（-，），b（-，），因此ac=db.当直线l不垂直x轴时，设l：y=k（x-），由y=k（x-），+y2=1？圯（1+4k2）x2+8k2x+12k2-4=0由y=k（x-），+=1？圯（1+4k2）x2+8k2x+12k2-10=0设a（x1，y1）、b（x2，y2）、c（x3，y3）、d（x4，y4），则x3、x4是方程的解， x1、x2是方程的解. x1+x2=x3+x4=，线段ab，cd的中点重合，ac=db.（3）由（2）知，ab=cd+2，当直线l垂直x轴时，不合要求；当直线l不垂直x轴时，设l：y=k（x-），由（2）知，x1+x2=x3+x4=，x1x2=，x3x4=.cd=，ab=. +2=，化简可得：8k4-2k2-1=（4k2+1）（2k2-1）=0？圯k= .于是，直线l的方程为y=（x+）.21.（1）任取x0，1，则-x-1，0，f（-x）=-.又f（x）是偶函数，故x0，1时，f（x）=e2x-aex.由f（x）是定义域为-1，1的偶函数可知， f（x）在x0，1的最大值即为f（x）的最大值.当x0，1时，得1exe，此时f（x）=（ex-）2-，那么：若即a1+e时，fmax（x）=（e-）2-=e2-ae；若即a1+e时， fmax（x）=（1-）2-=1-a.综上可知：a1+e时，fmax（x）=e2-ae；a1+e时，fmax（x）=1-a；（2）由g（x）=（+x-2-）e2x-f（x）=（+x-2-）（e2x-e2x+aex）=（+x-2-）aex=（x2+ax-2a-3）ex.要x0，1时，函数g（x）的图像恒在直线y=e上方， 即x0，1时， gmin（x）e成立，由于g（x）=（x-1）（x+a+3）ex，令