行测钻石班笔记之数量关系.pdf

数量关系数量关系 行政能力测验行政能力测验（概况概况） 比较省时的题目比较省时的题目：常识判断，类比推理，选词填空，片段阅读（细节判断除外） 比较耗时的题目比较耗时的题目：图形推理，数字判断，资料分析（好找的，好计算的） 第一种题型第一种题型 数字推理数字推理 备考重点备考重点： a a 基础数列类型基础数列类型 b b 五大基本题型五大基本题型（多级，多重，分数，幂次，递推） c c 基本运算速度基本运算速度（计算速度，数字敏感数字敏感） 数字敏感数字敏感（无时间计算时主要看数字敏感无时间计算时主要看数字敏感） ： a a 单数字发散单数字发散 b b 多数字联系多数字联系 对 126 进行数字敏感单数字发散 1 1） ） 单数字发散分为两种单数字发散分为两种 1 1，因子发散因子发散： 判断是什么的倍数判断是什么的倍数（126126 是是 7 7 和和 9 9 的倍数的倍数） 64 是 8 的平方，是 4 的立方，是 2 的 6 次，1024 是 2 的 10 次 2.2.相邻数发散相邻数发散： 11 的 2 次+5，121 5 的 3 次+1，125 2 的 7 次-2，128 2 2） ） 多数字联系分为两种多数字联系分为两种： 1 1 共性联系共性联系（相同相同） 1，4，9都是平方，都是个位数，写成某种相同形式 2 2 递推联系递推联系（前一项变成后一项前一项变成后一项（圈圈 2 2） ，） ，前两项推出第三项前两项推出第三项（圈圈 3 3） ） ）一般是圈大数一般是圈大数 注意注意：做此类题圈仨数法圈仨数法，数字推理原则原则：圈大不圈小圈大不圈小 【例】1、2、6、16、44、（ ） 圈6 16 44 三个数 得出 44=前面两数和得2倍 【例】 28 7 7 6 9 9 8 8 ？ 5 13 16 九宫格九宫格（圈仨法圈仨法）这道题是竖着圈这道题是竖着圈（推仨数适用于全部三个数推仨数适用于全部三个数） 一一基础数列类型基础数列类型 1 1 常数数列常数数列：7，7 ，7 ，7 2 2 等差数列等差数列：2，5，8，11，14 等差数列的趋势等差数列的趋势： a a 大数化大数化： 123，456，789（333 为公差） 582、554、526、498、470、（ ） b b 正负化正负化：5,1,-3 3 3 等比数列等比数列：5，15，45，135，405（有有 0 0 的不可能是等比的不可能是等比） ；4，6，9 快速判断和计算才是关键快速判断和计算才是关键。 等比数列的趋势等比数列的趋势： a a数字非正整化数字非正整化（非正整的意思是不正或不整非正整的意思是不正或不整）负数或分数小数或无理数负数或分数小数或无理数 8、12、18、27、（ ） a.39 b.37 c.40.5 d.42.5 b b 数字正负化数字正负化( (略略) ) 4 4 质数质数（只有只有 1 1 和它本身两个约数的数和它本身两个约数的数，叫质数叫质数）列列： 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97 间接考察间接考察：25，49，121，169，289，361（5，7，11，13，17，19 的平方） 41，43，47，53， （59）61 5 5 合数合数（除了除了 1 1 和它本身两个约数外和它本身两个约数外，还有其它约数的数还有其它约数的数，叫合数叫合数）列列： 4.6.8.9.10.12.14.15.16.18.20.21.22.24.25.26.27.28.30.32.33.34.35.36.38.39 .40.42.44.45.46.48.49.50.51.52.54.55.56.57.58.60.62.63.64.65.66.68.69.70. 72.74.75.76.77.78. 80.81.82.84.85.86.87.88.90.91.92.93.94.95.96.98.99.100 【注注】 1 1 既不是质既不是质数数、也也不不是合数是合数。 6 6 循环数列循环数列：1 1，3 3，4 4，1 1，3 3，4 4 7 7 对称数列对称数列：1 1，3 3，2 2，5 5，2 2，3 3，1 1 8 8简单递推数列简单递推数列 【例 1】1、1、2、3、5、8、13 【例 2】2、-1、1、0、1、1、2 【例 3】15、11、4、7、-3、10、-13 【例 4】3、-2、-6、12、-72、-864 二二五大基本题型五大基本题型 第一类第一类 多级数列多级数列 1 1二级数列二级数列（做一次差做一次差） 20、22、25、30、37、（ ） a.39 b.46 c.48 d.51 注意注意：做差为 2 3 5 7 接下来注意是接下来注意是11，不是不是9，区分质数和奇数列区分质数和奇数列 102、96、108、84、132、( ) a.36 b.64 c.216 d.228 注意注意：一大一小一大一小（该明确选项是该大还是该小）该小，就减 注意注意：括号在中间括号在中间，先猜然后验先猜然后验： 6、8、( )、27、44 a.14 b.15 c.16 d.17 猜猜2，*，*17为等差数列等差数列，中间隔了10，公差为5，因此是2，7，12，17 验证答案15 ，发现是正确的。 2 2三级数列三级数列（做两次差做两次差）（考查的概率很大考查的概率很大） 3 3做商数列做商数列 1、1、2、6、24、( ) 做商数列做商数列相对做差数列做差数列的特点：数字之间倍数关系比较明显数字之间倍数关系比较明显 趋势趋势：倍数分数化倍数分数化（一定要注意一定要注意） 【例 6】675、225、90、45、30、30、（ ） a. 15 b. 38 c. 60 d. 124 30是括号的0.5倍，所以注意是60 4多重数列多重数列 两种形态两种形态：1是交叉是交叉（隔项隔项），），2是分组是分组（一般是两两分组一般是两两分组，相邻相邻）。）。 多重数列两个特征多重数列两个特征：1数列要长数列要长（8，9交叉交叉，10项项）（）（必要必要）；）；2两个括号两个括号（充分充分） 【例 6】1、3、3、5、7、9、13、15、( )、( ) a.19、21 b.19、23 c.21、23 d.27、30 两个括号连续两个括号连续，就做交叉就做交叉 数字没特点数字没特点，八成是做差八成是做差：1，3，7，13 【例 7】1、4、3、5、2、6、4、7、( ) a.1 b.2 c.3 d.4 多重数列的核心提示多重数列的核心提示： 1.分组数列基本上都是两两分组两两分组，因此项数（包括未知项）通常都是偶数。 2.分组后统一在各组进行形式一致各组进行形式一致的简单加减乘除加减乘除运算，得到一个非常简单的数列。 3奇偶隔项数列奇偶隔项数列若只有奇数项规律明显奇数项规律明显，那偶数项可能依赖于奇数项的规律偶数项可能依赖于奇数项的规律，反之亦然 例：1、4、3、5、2、6、4、7、( ) a.1 b.2 c.3 d.4 偶数项很明显，4，5，6，7 奇数项围绕偶数项形成了一个规律，即交叉的和等于偶数项。 5分数数列分数数列 a多数分数多数分数：分数数列分数数列 b少数分数少数分数负幂次负幂次（只有几分之一的情况只有几分之一的情况，写成负一次写成负一次）和除法和除法（等比等比） 这里有个猜题技巧猜题技巧（多数原则多数原则）：选项中出现频率最多出现频率最多的那个数，八成是正确选项。 分数数列的基本处理方式分数数列的基本处理方式： 处理方式处理方式1。首先观察首先观察特征特征（往往是分子分母交叉相关往往是分子分母交叉相关） 处理方式处理方式2：其次分组看待其次分组看待（独立看几个分数的分子和分母的规律独立看几个分数的分子和分母的规律，分子看分子分子看分子，分母看分分母看分 母母） 例例：分析多种方法分析多种方法 1猜题猜题：28出现了两次出现了两次，猜猜a和和c得概率大得概率大，选选a 2观察特征观察特征：分子和分母的尾数相加为分子和分母的尾数相加为10，因此选因此选a 3133和和119是是7的倍数的倍数，可以约分为可以约分为7/3，所以大胆猜测选所以大胆猜测选a，也是也是7/3。 4. （分组看待分组看待）：）：不能看出特点不能看出特点，做差做差，分子做差分子做差 例例：看下一题的方法看下一题的方法 此题此题： 化同原则化同原则 （形式化为相同形式化为相同） 整化分 （把一个整式化为一个分式， 相同的形式对比） ， 把第二项的分母有理化为其他两项相同的形式。 处理方式处理方式3：广义通分广义通分 通分（如果有多个分数，把分母变成一样就是通分） 广义通分广义通分将分子或分母化为简单相同将分子或分母化为简单相同（前提是能通分前提是能通分） 处理方式处理方式4：反约分反约分（国考重点国考重点，出题概率很大出题概率很大） 观察分子或分母一侧，上下同时扩大，然后满足变化规律。 6幂次数列幂次数列 a普通幂次数列普通幂次数列 平方数平方数（130） 132=169 142=196 152=225 162=256 172=289 182=324 192=361 202=400 212=441 222=484 232=529 242=576 252=625 262=676 272=729 282=784 292=841 302=900 可以写成多种写法可以写成多种写法。 b b幂次修正数列幂次修正数列（括号的相邻数的发散） 哪个幂次的写法是唯一的就先考虑哪个哪个幂次的写法是唯一的就先考虑哪个 7递推数列递推数列 单数推，双数推，三数推（数列越来越长） 递推数列有六种形态递推数列有六种形态： 和差积商倍方和差积商倍方如何辨别形态如何辨别形态？ 从大的数和选项入手，看大趋势： 注意注意：大趋势指的是不要拘泥于细节，看整体是递增或递减即可 1递减做差和商 2递增缓（和），最快（方），较快（先看积，再看倍数） 数字推理逻辑思维总结数字推理逻辑思维总结： 圆圈题观察角度圆圈题观察角度：上下上下，左右左右，交叉交叉 圆圈里有奇数个奇数，则考虑乘法或除法 圆圈中有偶数个奇数，则考虑加减入手 中心数看能否分解（如果能，则加减，再乘除，如果不能，则先乘除，后加减来修正） 九宫图九宫图 1等差等比型等差等比型 每横排每竖排都成等差和等比数列（包括对角线） 2分组计算型分组计算型 每横排和每竖排的和与积成某种简单规律（包括对角线） 3递推运算型递推运算型（看最大的那个数看最大的那个数，是由其他两位递推而来是由其他两位递推而来） 最后，行测、申论复习与考试过程中，阅读量都非常的大，如果不会提高效率，一切白 搭。 首先要学会快速阅读， 一般人每分钟才看 200 字左右， 我们要学会一眼尽量多看几个字， 甚至是以行来计算，把我们的速读提高，然后再提高阅读量，这是申论的基础。 行测的 各种试题都是考察学生的思维，大家平时还要多刻意的训练自己的思维。学会快速阅读，不 仅在复习过程中效率倍增，在考试过程中更能够节省大量的时间，提高效率，而且，在我们 一眼多看几个字的时候，还能够高度的集中我们的思维，大大的利于归纳总结，学会后，更 有利于行测的复习、考试，特别是在学习速读的同事，还能够学习思维导图，对于行 测的各种试题都能得心应手的应付。本人当年有幸学习了快速阅读，至今阅读速度已经超 过 5000 字/分钟，学习效率自然不用说了。我读大学的成绩是很差，考公务员的时候我妈说 我只是碰运气，结果最后成绩出来了居然考了岗位第二，对自己的成绩非常满意，速读记忆 是我成功最大的功劳。找了半天，终于给大家找到了下载的地址，怕有的童鞋麻烦，这里直 接给做了个超链接，先按住键盘最左下角的“ctrl”按键不要放开，然后鼠标点击此行文字 就可以下载了。认真练习，马上就能够看到效果了！此段是纯粹个人经验分享，可能在多个 地方看见，大家读过的就不用再读了，只是希望能和更多的童鞋分享。 第二种题型第二种题型 数学运算数学运算 第一模块第一模块 代入排除法代入排除法 从题型来看从题型来看： 1固定题型：例1是同余问题的一部分（并非所有的同余都可以） 2多位数题型：例2 3不定方程问题（无法算出x和y，只能列出他们的关系）或者无法迅速列出方程的问题。 从题从题本样子来说本样子来说： 从题干到选项很麻烦，从选项到题干比较容易 注注：如果是要求最大或最小如果是要求最大或最小，从选项的最大数或最小数开始代入从选项的最大数或最小数开始代入，其余从其余从a开始代入开始代入 看下面题目看下面题目： 第一题第一题选 c，因为 a,b 没有燃烧到一半，c 却燃烧了全部。第一题设置选项相差有点远，因 此肉眼可以看出。 第二题第二题选 a，因为甲班走的一定比乙班走的多，所以选 a，答案设置时与他们的倍数和比例 有关，无需计算，可以用他们的大小关系来判定 注意一个公式注意一个公式：4848 是是 4 4 的的 1212 倍倍，是是 3 3 的的 1616 倍倍，然后他们距离的比例是然后他们距离的比例是 1616- -1 1 比比 1212- -1=151=15： 1111 奇偶特性奇偶特性：不管是加还是减不管是加还是减，两个相同的结果的就是偶数两个相同的结果的就是偶数，不同的结果就是奇数不同的结果就是奇数。两个相 乘的，只要有一个偶数就是偶数。 x x+y=+y=偶数偶数，x x- -y y 也只能是个偶数也只能是个偶数。答案选答案选 d d 所有的猜题都基于所有的猜题都基于：出题心理学出题心理学 怎么猜怎么猜： 多数原则多数原则选项多次出现的往往是正确的 军棋理论军棋理论三个错误的选项的目的是保护正确答案。（3：4：5 和 3：5：4） 相关原则相关原则出题的干扰选项往往有出题的干扰选项往往有 1 1 到到 2 2 个东西与正确答案和原文有相关度个东西与正确答案和原文有相关度。（选项相 关：28.4 和 128.4，再如一道题目如果出的是求差求差，往往是某一选项减去另一个选项，换言 之搞清楚每个选项是怎么来的，选项与选项的关系，选项与原文的关系，从而快速猜题） 例例：已知甲乙苹果的比例是 7：4，隐含的意思是甲是 7 的倍数，乙是 4 的倍数。差是 3 的 倍数，和是 11 的倍数。 原则原则：如果甲如果甲：乙乙=m:n=m:n，说明甲是说明甲是 m m 的倍数的倍数，乙是乙是 n n 的倍数的倍数，甲甲+ +乙是乙是 m+nm+n 的倍数的倍数，甲甲 - -乙是乙是 m m- -n n 的倍数的倍数 注意注意：甲是和乙比较还是和全部的和比较甲是和乙比较还是和全部的和比较 题目一般是是已知比例题目一般是是已知比例，求和求和。 例例：甲区人口是全城的甲区人口是全城的 4/134/13，说明全城人口是说明全城人口是 1313 的倍数的倍数。 判断倍数判断倍数（很重要很重要）：）： 一个数是一个数是2 2的倍数的倍数，尾数是尾数是2 2，4 4，6 6，8 8，0 0，即偶数即偶数 一个数是一个数是 4 4 的倍数的倍数，看末两位能被看末两位能被 4 4 整除整除 一个数是一个数是5 5的倍数的倍数，看尾数是看尾数是5 5或或0 0 一个数是一个数是6 6的倍数的倍数，既是既是3 3的倍数的倍数，又是又是2 2的倍数的倍数。 一个数是一个数是 8 8 的倍数的倍数，看末三位看末三位。 一个数是一个数是3 3的倍数的倍数，去去3 3，每一位都加起来每一位都加起来，能被能被3 3整除整除 一个数是一个数是 7 7 的倍数的倍数：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的 2 倍，如 果差是 7 的倍数，则原数能被 7 整除。如果差太大或心算不易看出是否 7 的倍数，就需要继 续上述截尾、倍大、相减、验差的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断 133 是否 7 的倍数的过程如下：13327，所以 133 是 7 的倍数；又例如判断 6139 是否 7 的倍数的 过程如下：61392595 ， 595249，所以 6139 是 7 的倍数，余类推。 一个数是一个数是9 9的倍数的倍数，（，（去去9 9）每一位加起来每一位加起来，能被能被9 9整除整除 一个数除以一个数的余数一个数除以一个数的余数，就看其对应的末几位除以这个数的余数即可就看其对应的末几位除以这个数的余数即可 例如：两个数的差是 2345，两数相除的商是 8，求这两个数之和？ a.2353 b.2896 c.3015 d.3456 两个数的差是奇数两个数的差是奇数，那么和也是奇数那么和也是奇数，商是商是 8 8，说明和是说明和是 9 9 的倍数的倍数。答案就出来了答案就出来了。 第二模块第二模块 计算问题模块计算问题模块 第一节第一节 尾数法尾数法 计算类型的题目计算类型的题目，选项的尾数不同选项的尾数不同，就用尾数法就用尾数法 过程中的最后一位算出结果的最后一位传统尾数法传统尾数法 过程的最后两位算出结果的最后两位二位尾数法二位尾数法 19942002-19932003 的值是( ) a.9 b.19 c.29 d.39 8888- -79=979=9 除法尾数法除法尾数法：20000012000001 除以除以 7 7，我们直接转化为乘法尾数法我们直接转化为乘法尾数法，用选项的末尾数乘以用选项的末尾数乘以 7 7，看是看是 否符合否符合。 第二节第二节 整体消去法整体消去法 在计算过程中出现复杂的数在计算过程中出现复杂的数，并且数字两两很接近并且数字两两很接近 19942002-19932003 的值是( ) a.9 b.19 c.29 d.39 弃弃 9 9 法法（非常重要非常重要） 把过程中的每一个把过程中的每一个 9 9（包括位数之和为包括位数之和为 9 9 或或 9 9 的倍数的倍数 1818，2727 等等）都舍去都舍去，然后位数相加代然后位数相加代 替原数计算替原数计算（答案也要弃答案也要弃 9 9） 上题可以解为上题可以解为：5*45*4- -4*54*5，答案去答案去 9 9，剩剩 0 0 的是的是 a a 看例看例：8724*39678724*3967- -5241*13815241*1381 8+4=12=3 3967=7 5241=2=1=3 1381=1=3=4 注注：弃弃 9 9 法只适用于加减乘法只适用于加减乘，除法最好不用除法最好不用。 题目题目： (873477-198)（476874199)的值是多少？ a.1 b.2 c.3 d.4 方法方法 1 1，估算法估算法，看题值只有一倍的可能看题值只有一倍的可能。 方法方法 2 2，尾数相尾数相除除，得出得出 1 1 方法方法 3 3：整体相消法整体相消法 第三节第三节 估算法估算法选项差别很大的用估算法选项差别很大的用估算法 第四节第四节 裂项相加法裂项相加法 这题等于这题等于 （1 1 分之分之 1 1- -20052005 分之分之 1 1）乘以乘以（1/11/1） 拆成裂项的形式拆成裂项的形式，3=1*33=1*3，255=15*17255=15*17（发散思维发散思维，先想到先想到 256=16*16256=16*16） 第五节第五节 乘方尾数问题乘方尾数问题 19991998 的末位数字是（ ） 归纳归纳（重要重要）：）： 1.41.4 个数的尾数是不变的个数的尾数是不变的：0 0，6 6，5 5，1 1 2.2.除上面之外除上面之外，底数留个位底数留个位，指数末两位除以指数末两位除以 4 4 留余数留余数（余数为余数为 0 0，则看做则看做 4 4） 此方法此方法：不用记尾数循环不用记尾数循环。 第三模块第三模块 初等数学模块初等数学模块 第一节第一节 多位数问题多位数问题（包包括小数位括小数位） 如果问一个多位数是多少如果问一个多位数是多少，一律采用直接代入法一律采用直接代入法 多位数问题的一些基础知识多位数问题的一些基础知识： 化归思想化归思想（从简单推出复杂从简单推出复杂，已知推出未知已知推出未知）以此类推以此类推 推出推出 5 位数位数 9 加上加上 4 个个 0=90000，10 位数是位数是 9 加上加上 9 个个 0 页码页码（多少页多少页）问问题题 例题：编一本书的书页，用了 270 个数字（重复的也算，如页码 115 用了 2 个 1 和 1 个 5 共 3 个数字），问这本书一共有多少页？（ ） a. 117 b. 126 c. 127 d. 189 记住公式记住公式： 第二节第二节 余数问题余数问题 分两类分两类： 1 余数问题余数问题（一个数除以几一个数除以几，商几商几，余几余几） 基本公式基本公式：被除数除数=商余数（0余余数数除数除数 一定要分清“除以除以”和和“除除”的差别的差别：哪个是被除数是不同的 如果被除数比除数小，比如 12 除 5，就是 5 除以 12，那商是 0，余数是 5（他自己） 【例 1】 一个两两位位数数除以一个一位数，商仍然是两两位位数数，余数是 8。 问被除数、除 数、商以及余数之和是多少？ a. 98 b. 107 c. 114 d. 125 除数比余数要大除数比余数要大，因此除数只能是一位数 9，商是两位数，只能是 10 例：有四个自然数 a、b、c、d，它们的和不超过 400，并且 a 除以 b 商是 5 余 5，a 除以 c 商是 6 余 6，a 除以 d 商是 7 余 7。那么，这四个自然数的和是？ a. 216 b. 108 c. 314 d. 348 注注：商商5余余5，说明是说明是5的倍数的倍数 2 同余问题同余问题（一个数除以几一个数除以几，余几余几） 一堆苹果，5 个 5 个的分剩余 3 个；7 个 7 个的分剩余 2 个。问这堆苹果的个数最 少 为（ ）。 a.31 b.10 c.23 d.41 没有商没有商，可以采用直接代入的方法可以采用直接代入的方法。 最少是多少最少是多少，从小的数代起从小的数代起，如果是最大如果是最大数数，从大的数代起从大的数代起 注注：同余问题的核心口诀同余问题的核心口诀（应先采用代入法应先采用代入法）：）： 公倍数公倍数（除数的公倍数除数的公倍数）做周期做周期（分三种分三种）：余同取余余同取余，和同加和和同加和，差同减差差同减差 1.余同取余余同取余：用一个数除以几个不同的数，得到的余数相同得到的余数相同 此时该数可以选这个相同的余数相同的余数，余同取余 例：“一个数除以 4 余 1，除以 5 余 1，除以 6 余 1”，则取 1，表示为 60n+1（60 是 最小公倍数，因此要乘以 n） 2.和同加和和同加和：用一个数除以几个不同的数，得到的余数和除数的和相同余数和除数的和相同 此时该数可以选这个相同的和数相同的和数，和同加和 例：“一个数除以 4 余 3，除以 5 余 2，除以 6 余 1”，则取 7，表示为 60n+7 3.差同减差差同减差：用一个数除以几个不同的数，得到的余数和除数的差相同余数和除数的差相同 此时该数可以选除数的最小公倍数减去这个相同的差数除数的最小公倍数减去这个相同的差数，差同减差 例：“一个数除以 4 余 1，除以 5 余 2，除以 6 余 3”，则取-3，表示为 60n-3 选取的这个数加上除数的最小公倍数的任意整数倍（即例中的 60n）都满足条件 * *同余问题可能涉及到的题型同余问题可能涉及到的题型：在在 100 以内以内，可能满足这样的条件有几个可能满足这样的条件有几个？ 6n+1 就可以派上用场就可以派上用场。 特殊情况特殊情况：既不是余同既不是余同，也不是和同也不是和同，也不是差同也不是差同 一个三位数除以 9 余 7，除以 5 余 2，除以 4 余 3，这样的三位三位数数共有多少个？ a. 5 个 b. 6 个 c. 7 个 d. 8 个 这样的题目方法方法 1 用周期来做，公倍数是 180，根据周期，每 180 会有一个数，三位数总共 有 900 个答案是 5 个。 方法方法 2 每两个两个考虑每两个两个考虑，到底是不是余同到底是不是余同，和同和同，差同差同。 第三节第三节 星期日期问题星期日期问题 熟记常识熟记常识：一年有 52 个星期，一年有 4 个季节，一个季节有 13 个星期。 一副扑克牌有 52 张牌，一副扑克牌有 4 种花色，一种花色 13 张。 （平年）365 天不是纯粹的 52 个星期，是 52 个星期多 1 天。 （闰年）被 4 整除的都是闰年，366 天，多了 2 月 29 日，是 52 个星期多 2 天。 4 4 年一闰年一闰（用于相差年份较长用于相差年份较长），），如下题如下题： 如果 2015 年的 8 月 21 日是星期五，那么 2075 年的 8 月 25 日是星期几？ 涉及到月份涉及到月份：大月与小月大月与小月 包括月份 共有天数 大月7个 个 一一、三三、五五、七七、八八、十十、腊腊（十二十二）月 月 31 天 小月5个 二、四、六、九、十一月 30 天（2 月除外） 例例： 甲、乙、丙、丁四个人去图书馆借书，甲每隔 5 天去一次，乙每隔 11 天去一次， 丙每隔 17 天去一次，丁每隔 29 天去一次，如果 5 月 18 日四人在图书馆相遇，则下一次四 个人相遇 是几月几号？（ ） a. 10 月 18 日 b. 10 月 14 日 c. 11 月 18 日 d. 11 月 14 日 隔的概念隔的概念（隔隔 1 1 天即每天即每 2 2 天天）：）： 隔 5 天即每 6 天 隔 11 天即每 12 天 隔 17 天即每 18 天 隔 29 天即每 30 天 接着，算他们的最小公倍数， 怎么算最小公倍数呢怎么算最小公倍数呢？ 除以最小公约数除以最小公约数 6 6，得到得到 1 1，2 2，3 3，5 5，再将再将 6*1*2*3*56*1*2*3*5 即他们的最小公倍数即他们的最小公倍数 180180。 因此因此，180180 天以后是天以后是 1111 月月 1414，答案是答案是 d d 例例： 一个月有 4 个星期四四，5 个星期五五，这个月的 15 号是星期几？ 题眼题眼：星期四和星期五是连着的星期四和星期五是连着的，所以所以，这个月的第一天是星期五这个月的第一天是星期五，1515 号是星期五号是星期五 第四模块第四模块 比例问题模块比例问题模块 第一节第一节 设设“1 1”思想思想（是计算方法是计算方法，不是解题方法不是解题方法） 概念概念：未知的一个总量未知的一个总量，但它是几并不影响结果但它是几并不影响结果，可用设可用设 1 1 思想思想，设设 1 1 思想是广义的思想是广义的“设设 1 1 法法” 可以设为可以设为 1 1，2 2，3 3 等等（设为一个比较好算的设为一个比较好算的）。）。 全部都是分数和比例全部都是分数和比例，所以可以用设所以可以用设 1 1 思想思想，设总选票为设总选票为 6060 更加好算更加好算，6060 是几个分母的最是几个分母的最 小公倍数小公倍数。 商店购进甲、乙、丙三种不同的糖，所用费用相等，已知甲、乙、丙三种糖每千克 的费用 分别为4.4元、 6元和6.6元。 如果把这三种糖混在一起成为什锦糖， 那么这种什锦糖每 千克的 成本是多少元？ 看到看到 4.44.4，6 6，6.6 6.6 我们想到的应该是甲乙丙费用相等都为我们想到的应该是甲乙丙费用相等都为 6666，然后就出来了然后就出来了。 第二节第二节 工程问题工程问题（设设 1 1 思想的运用思想的运用） 一条隧道，甲单独挖要 20 天完成，乙单独挖要 10 天完成，如果甲先挖 1 天，然后 乙接甲 挖 1 天，再由甲接乙挖 1 天， ，两人如此交替，共用多少天挖完？（ ） a. 14 b. 16 c. 15 d. 13 设总量为设总量为 20*10=20020*10=200，然后用手指掰着算然后用手指掰着算。 设为最小公倍数设为最小公倍数 一篇文章，现有甲乙丙三人，如果由甲乙两人合作翻译，需要 10 小时完成，如果 由乙丙 两人合作翻译，需要 12 小时完成。现在先由甲丙两人合作翻译 4 小时，剩下的再由 乙单 独去翻译，需要 12 小时才能完成，则，这篇文章如果全部由乙单独翻译，要多少个小 时 完成？ a.15 b.18 c.20 d.25 设总量为设总量为 6060 甲甲+ +乙乙=6=6 乙乙+ +丙丙=5=5 （甲甲+ +丙丙）4+124+12 乙乙=60=60 根据选项是算乙根据选项是算乙，因此要更加关心乙的地位因此要更加关心乙的地位，要化为乙的算式要化为乙的算式。 第三节第三节 浓度问题浓度问题 浓度浓度= =浓质浓质/ /浓液浓液 浓液浓液= =浓质浓质+ +浓剂浓剂 甲甲杯中有浓浓度为度为17的溶的溶液液400克克，乙乙杯中有浓度为浓度为23的溶液的溶液600克克。现在从甲、 乙两 杯中取取出相同出相同总总量的溶量的溶液液， 把从甲杯中取出的倒倒入乙杯入乙杯中， 把从乙杯中取出的倒入倒入甲甲杯杯 中， 使甲、乙两杯溶液的浓浓度度相同相同。问现在现在两杯溶液的浓度浓度是多少（ ） a.20 b.20.6 c.21.2 d.21.4 b。由于混合后浓度相同混合后浓度相同，那么现在的浓度等于（总的溶质总的溶质）（总的溶液总的溶液） ，即： （40017%+600+23%）（400+600）100%20.6%。 注意注意：答案不可能是答案不可能是 a，看起来很简单的答案往往不是答案看起来很简单的答案往往不是答案（公务员考试是复杂的） 。 如如，一个人从一楼爬到三楼，花了 6 分钟，那从 1 楼到 30 楼，需要几分钟？ 解解： 不要定向思维选 60， 1 楼到 3 楼爬了 2 层， 每层 3 分钟， 1 楼到 30 楼， 爬了 29 层， 29*3=87， 答案是 87 例例： 在 20 时 100 克水中最多最多能能溶解溶解 36 克食盐。从中取出食盐水 50 克，取出的溶液 的 浓 度 是 多 少？ a.36.0% b.18.0% c.26.5% d.72.0% 最多能溶解最多能溶解，即溶解度即溶解度，此时浓度为此时浓度为 36/100+36=c36/100+36=c 注注：最多能溶解最多能溶解= =无论再往里面加多少克食盐无论再往里面加多少克食盐，因为无法溶解因为无法溶解，浓度都不变浓度都不变。 例例：一种溶液，蒸蒸发一定发一定水水后后，浓度为 10%；再蒸发同样蒸发同样的的水水，浓度为 12%；第三次蒸 发同样多的水后，浓度变为多少？（ ） a. 14% b. 17% c. 16% d. 15% 解解：10%10%到到 12%12%，溶质不变溶质不变，溶液改变溶液改变，因此将分子设为最小公倍数因此将分子设为最小公倍数 6060，分母为分母为 600600 到到 500500， 蒸发了蒸发了 100100 分水分水，因此因此，第三次的水是第三次的水是 400400，溶质不变溶质不变，所以是所以是 d d 熟记这些数字熟记这些数字：10%10%，12%12%，15%15%，20%20%，30%30%，60%60%（蒸发或增加了同样的水蒸发或增加了同样的水） 第五模块第五模块 行程问题模块行程问题模块 第一节第一节 往返平均速度问题往返平均速度问题 数学上的平均数有两种数学上的平均数有两种： 一种是算术一种是算术平均数平均数 m=(x1+x2+.+xn)/n 即（v1+v2v1+v2）/2/2 一种是调和平均数一种是调和平均数（调和平均数是各个变量值调和平均数是各个变量值（标志值标志值）倒数的算术平均数的倒数倒数的算术平均数的倒数） 恒小于算术平均数恒小于算术平均数。 通过往返平均数速度公式的验算通过往返平均数速度公式的验算，当当 v1=10,v2=15,vv1=10,v2=15,v 平均平均=12=12；当当 v1=12,v2=15,vv1=12,v2=15,v 平均平均=20=20， 当当 v1=15,v2=30,vv1=15,v2=30,v 平均平均=20=20， 熟记这个数字熟记这个数字：1010，1212，1515，2020，3030，6060（对应前文溶液蒸发水的那部分对应前文溶液蒸发水的那部分） 应用应用：v1=20（10*2）,v2=30（15*2）,v 平均=12*2=24，v1=40,v2=60,v 平均=48 发现一个特点一个特点：v v 平均数平均数都是更靠近那个小的数更靠近那个小的数，且且可以分成两个两个 1 1：2 2 的部分的部分。 第二节第二节 相遇追及相遇追及、流水行船问题流水行船问题 相遇问题相遇问题（描述上是相向而行相向而行）：v =v1+v2 相背而行相背而行(描述商是相反而行相反而行)：v=v1+v2 追及问题追及问题（描述上是追上了是追上了）：v=v1(追的那个速度快)-v2(被追的速度慢) 队伍行进问题队伍行进问题 1 1（从队尾到队头从队尾到队头）实质上是追及追及问题：v=v1(追的那个速度快)-v2(被追的速 度慢) 队伍行进问题队伍行进问题 2 2（从队头到队尾从队头到队尾）实质上是相遇相遇问题：v=v1+v2 流水行船问题流水行船问题（分三类分三类）：）：水水，风风，电梯电梯（顺顺，取和取和，逆逆，取差取差） 但是但是，顺着顺着人和队伍走人和队伍走= =赶上某人或队伍赶上某人或队伍= =追及问题追及问题v=v1v=v1- -v2v2 因此因此，顺加逆减有原则顺加逆减有原则：水水，风风，电梯都是带着人走电梯都是带着人走。 例例： 姐弟俩出游， 弟弟先走一步， 每分钟走 40 米， 走 80 米后姐姐去追他。 姐姐每分钟走 60 米， 姐姐带的小狗每分钟跑姐姐带的小狗每分钟跑 150 150 米米。小狗追上弟弟又转去找姐姐，碰上姐姐又转去追弟弟，这 样跑来跑去，直到姐弟相遇小狗才停下来。问小狗共跑了多少米问小狗共跑了多少米? a.600 b.800 c.1200 d.1600 解解：姐姐和弟弟姐姐和弟弟的速度差 20，8080 除以除以 2020=4 分钟（姐姐要追上弟弟姐姐要追上弟弟，需要的时间需要的时间） 因此，小狗的路程小狗的路程=4=4 分钟分钟乘以速度乘以速度 150=600150=600（关键在于抓住不变的值关键在于抓住不变的值） 补充一题补充一题：青蛙跳井青蛙跳井（陷阱陷阱） 一只青蛙往上跳，一个井高 10 米，它每天跳跳 4 4 米米，又掉下来 3 米，问跳几天就到井口？ 一定要思考一定要思考：当只剩下只剩下 4 4 米米的时候，一跳就跳出去了，因此是第 6 天跳到 6 米，第第 7 7 天天就 跳到井口了 例例： 红星小学组织学生排成队步行去郊游， 每分钟步行 60 米， 队尾的王老师以每分钟 步行 150 米的速度赶到排头赶到排头，然后立即返回队尾返回队尾，共用 10 分钟。求队伍的长度？ a.630 米 b.750 米 c.900 米 d.1500 米 设长度为设长度为 s s s/90+s/210s/90+s/210=10=10 不用算不用算，s s 肯定被肯定被 9090 和和 210210 整除整除，答案是答案是 a630a630 第三节第三节 漂流瓶问题漂流瓶问题 t t1 1 是船逆流的时间是船逆流的时间，t2t2 是船顺流的时间是船顺流的时间，所以所以 t1t2 t1t2 例例 已知：a、b 是河边的两个口岸。甲船由 a 到 b 上行需要 10 小时，下行由 b 到 a 需要 5 小时。若乙船由 a 到 b 上行需要 15 小时，则下行由 b 到 a 需要（ ）小时。 a.4 b.5 c.6 d.7 注意注意：甲船和乙船的对应漂流瓶的速度是相等的漂流瓶的速度是相等的(同一条河流上同一条河流上) 因此因此t=2*10*5/(10-5) t=(2*15*t2)/(15-t2) 第五模块第五模块 几何问题模块几何问题模块（重点重点） 第一节第一节 几何公式法几何公式法 1周长公式周长公式:正方形=4a,长方形=2（a+b）,圆=2r（r是半径） 2面积公式面积公式：掌握两个特殊的s圆=r2，s扇形=n度数/360*r2 3常见角度公式常见角度公式：三角形内角和 180；n 边形内角和为（n-2）180 4.常用表面积公式常用表面积公式： 正方体的表面积=6a2；长方体的表面积=2ab+2bc+2ac；球体的表面积=4r2 圆柱体的底面积=2r2；圆柱体的侧面积=2rh；圆柱体的表面积=2r2+2rh 5常用体积公式常用体积公式： 正方体的体积=a*a*a;长方体的体积=abc;球的体积=4/3r3 圆柱体的体积=r2 h 圆锥体的体积= 1/3r2h 【例例 1】假设地球是一个正球形，它的赤道长赤道长 4 万千米万千米。现在用一根比赤道长比赤道长 10米的绳米的绳子子 围绕赤道一周，假设在各处绳子离地面的距离都是相同的，请问绳子距离地面大约有多高? （ ） a.1.6 毫米 b.3.2 毫米 c.1.6 米 d.3.2 米 解析解析赤道长：2r =4 万千米；绳长：2（r+h）=4 万千米+10 米； 两式相减：2h=10 米 h=（10/2）1.6 米，选择 c 【例例 9】甲、乙两个容器均有 50 厘米深，底面积之比为 54，甲容器水深 9 厘米，乙容 器 水深 5 厘米， 再往两个容器各注入同同样样多的多的水水， 直到水深相等， 这时两容器的水深是多 少厘 米？（ ） a.20 厘米 b.25 厘米 c.30 厘米 d.35 厘米 解解：同样多的水，意味着体积相同，底面积=5：4，那么体积相同，所以，设这时水深为x， 那么，（x-9）：（x-5）=4:5 第二节第二节 割补平移法割补平移法 没有公式的“不规则图形”，我们必须使用“割割”、“补补”、“平移平移”等手段将其转化为规 则图形的问题 第三节第三节 几何特性法几何特性法 等比例放缩特性等比例放缩特性 一个几何图形其尺度尺度（各边长或长宽高各边长或长宽高）变为原来的原来的 m 倍倍，则： 1.对应角度角度不发生改变 2.对应长度长度变为原来的 m 倍 3.对应面积面积变为原来的 m2 倍 4.对应体积体积变为原来的 m3 倍 几何最值理论几何最值理论 1.平面图形中，若周长一定，越接近于圆（正方形），面积越大； 2.平面图形中，若面积一定，越接近于圆（正方形），周长越小； 3.立体图形中，若表面积一定，越接近于球，体积越大； 4.立体图形中，若体积一定，越接近于球，表面积越小。 【例 2】一个油漆匠漆一间房间的墙壁，需要 3 天时间。如果用同等速度漆一间长、宽、 高 都比原来大一倍的房间的墙壁，那么需要多少天？（ ） a.3 b.12 c.24 d.30 答答 案案b 解析解析边长增大到原来的 2 倍，对应面积增加到 4 倍，因此共需 34=12 天。 【例例 5 5】要建造一个容积为 8 立方米，深为 2 米的长方体无盖水池，如果池 底和池壁的造价 分别为每平方米 120 元和 80 元，那么水池的最低造价为多少元?（ ） a.800 b.1120 c.1760 d.2240 答案答案c 解析解析该水池的底面积为 82=4 平方米，设底面周长为 c 米，则：该 无盖水池造价 =2c80+4120=160c+480（元），因此，为了使总造价最低，应该使底面周 长尽可能短。由 几何最值理论，当底面为正方形时，底面周长最短，此时底 面边长为 2 米，底面周长为 8 米。水池的最低造价=1608+480=1760（元） 第七模块第七模块 计数问题模块计数问题模块（统计数量问题统计数量问题） 第一节第一节 排列组合问题排列组合问题 核心概念核心概念： 1.1.加法和乘法原理加法和乘法原理 加法原理加法原理：分类用加法分类用加法（取取其一其一） 分类：翻译成“要么，要么” 乘法原理乘法原理：分步用乘法分步用乘法（全部取全部取） 分步：翻译成“先，后，再” 例例： 教室里有15个同学，其中有10个男生，5个女生。选其中一个擦黑板擦黑板，就是取取 其一其一。（10+5） 教室里有15个同学，其中有10个男生，5个女生，选其中一男一女交际舞一男一女交际舞，全全 部取部取（10*5） 2 2排列和组合问题排列和组合问题 排列排列（和顺序有关和顺序有关）：）：换顺序变成另一种情况的就是排列 a a的公式的公式：假设从假设从m m中取中取n n，那那a=m*a=m*（m m- -1 1）连乘连乘n n个个。 组合组合（和顺序无关和顺序无关）：）：换顺序还是原来的情况那种就是组合 c c的公式的公式：假设从假设从m m中取中取n n，那那c=m*(mc=m*(m- -1 1)*(m)*(m- -2)2)/n*(n/n*(n- -1)*(n1)*(n- -2)2)，分子分子， 分母都连乘分母都连乘n n个个 【例 5】 林辉在自助餐店就餐， 他准备挑选三种肉类中的一种肉类， 四种蔬菜中的二种不同 蔬菜， 以及四种点心中的一种点心。 若不考虑食物的挑选次序， 则他可以有多少种不同的选 择方法? a.4 b.24 c.72 d.144 解解： 不考虑食物的次序， 所以用c， 然后肉类