高三数学专题--三角函数与平面向量.doc

三角函数与平面向量三角函数的图象与性质考点1. 掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质；会用“五点法”作出正弦函数及余弦函数的图象；掌握函数yasin(x)的图象及性质2. 高考试题中，三角函数题相对比较传统，位置靠前，通常是以简单题形式出现因此在本讲复习中要注重三角知识的基础性，特别是要熟练掌握三角函数的定义、三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调、奇偶、最值、对称、图象平移及变换等)3. 三角函数是每年高考的必考内容，多数为基础题，难度属中档偏易这几年的高考中加强了对三角函数定义、图象和性质的考查在这一讲复习中要重视解三角函数题的一些特殊方法，如函数法、待定系数法、数形结合法等的训练基础训练1. 函数y2sin21是最小正周期为_的_(填“奇”或“偶”)函数2.函数f(x)cosx在0，)内的零点个数为_3.函数f(x)2cos2xsin2x的最小值是_4.定义在r上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是，且当x时，f(x)sinx，则f的值为_【例1】设函数f()sincos，其中角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点p(x，y)，且0.(1) 若点p的坐标是，求f()的值；(2) 若点p(x，y)为平面区域上的一个动点，试确定角的取值范围，并求函数f()的最小值和最大值【例2】函数f(x)asin(x)(a，是常数，a0，0)的部分图象如图所示(1) 求f(0)的值；(2) 若0，求函数f(x)在区间上的取值范围【例3】已知函数f(x)sin(x)cos(x)(00)为偶函数，且函数yf(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.(1) 求f的值；(2) 将函数yf(x)的图象向右平移个单位后，得到函数yg(x)的图象，求函数g(x)的单调递减区间【例4】已知函数f(x)2sin2cos2x1，xr.(1) 求f(x)的最小正周期；(2) 若h(x)f(xt)的图象关于点对称，且t(0，)，求t的值；(3) 当x时，不等式|f(x)m|0)，yf(x)的图象与直线y2的两个相邻交点的距离等于，则f(x)的单调递增区间是_(2011四川)已知函数f(x)2sinxcosx2cos2x1(xr)(1) 求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；(2) 若f(x0)，x0，求cos2x0的值5.(2009福建)已知函数f(x)sin(x)，其中0，|.(1) 若coscossinsin0，求的值；(2) 在(1)的条件下，若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数f(x)的解析式；并求最小正实数m，使得函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数(2009重庆)(本小题满分13分)设函数f(x)sin2cos21.(1) 求f(x)的最小正周期；(2) 若函数yg(x)与yf(x)的图象关于直线x1对称，求当x时，yg(x)的最大值解：(1) f(x)sinxcoscosxsincosxsinxcosx(3分)sin，(5分)故f(x)的最小正周期为t 8.(7分)(2) (解法1)在yg(x)的图象上任取一点(x，g(x)，它关于x1的对称点为(2x，g(x)由题设条件，点(2x，g(x)在yf(x)的图象上，从而g(x)f(2x)sinsincos.(10分)当0x时，x，因此yg(x)在区间上的最大值为g(x)maxcos.(13分)(解法2)因区间关于x1的对称区间为，且yg(x)与yf(x)的图象关于x1对称，故yg(x)在上的最大值为yf(x)在上的最大值，由(1)知f(x)sin，当x2时，x，因此yg(x)在上的最大值为g(x)maxsin.(13分)三角变换与解三角形考点1. 掌握三角函数的公式(同角三角函数关系式、诱导公式、和、差角及倍角公式)及应用；能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和条件等式及恒等式的证明；掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形2. 在复习过程中，要熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点及常规使用方法等；熟悉三角变换常用的方法(化弦法、降幂法、角的变换法、“1”的变换等)；掌握化简、求值和解三角形的常规题型；要注意掌握公式之间的内在联系3. 近年来高考对三角函数与向量联系问题的考查有所增加，三角函数知识在几何及实际问题中的应用也是考查重点，应给予充分的重视新教材降低了对三角函数恒等变形的要求，但对两角和的正切考查一直是重点基础训练1. 若tan3，则的值等于_.2.已知cossin，则sin的值是_3.在abc中，tana，tanc，则角b的值为_4.在锐角abc中，bc1，b2a，则的值等于_例题【例1】已知cos，cos()且0.(1) 求tan2的值；(2) 求.【例2】在abc中，内角a、b、c的对边分别为a、b、c，已知a2c22b，且sinacosc3cosasinc，求b.【例3】在abc中，角a、b、c的对边分别是a，b，c，已知sinccosc1sin.(1) 求sinc的值；(2) 若a2b24(ab)8，求边c的值【例4】已知sin(2)3sin，设tanx，tany，记yf(x)(1) 求f(x)的解析式；(2) 若角是一个三角形的最小内角，试求函数f(x)的值域1. (2011全国)已知，tan2，则cos_.2.(2011江苏)已知tan2，则的值为_3.(2011重庆)已知sincos，且，则的值为_4.(2010广东)已知a，b，c分别是abc的三个内角a，b，c所对的边，若a1，b， ac2b，则sinc_.5.(2011广东)已知函数f(x)2sin，xr.(1) 求f的值；(2) 设，f，f(32)，求cos()的值6.(2011全国)abc的内角a、b、c的对边分别为a、b、c；已知asinacsincasincbsinb.(1) 求b；(2) 若a75，b2，求a，c.(本小题满分14分)已知函数f(x)2cos.(1) 设，且f()1，求的值；(2) 在abc中，ab1，f(c)1，且abc的面积为，求sinasinb的值解：(1) f(x)2cos22sincos(1cosx)sinx2cos.(3分)由2cos1, 得cos.(5分)于是x2k(kz)，因为x，所以x或.(7分)(2) 因为c(0，)，由(1)知c.(9分)因为abc的面积为，所以absin，于是ab2， 在abc中，设内角a、b的对边分别是a、b，由余弦定理得1a2b22abcosa2b26，所以a2b27，由可得或于是ab2. (12分)由正弦定理得，所以sinasinb(ab)1. (14分)平面向量及其应用考点1. 掌握平面向量的加减运算、平面向量的坐标表示、平面向量数量积等基本概念、运算及其简单应用复习时应强化向量的数量积运算，向量的平行、垂直及求有关向量的夹角问题要引起足够重视2. 在复习中要注意数学思想方法的渗透，如数形结合思想、转化与化归思想等会用向量解决某些简单的几何问题基础训练1. 在abcd中，a，b，3，m为bc的中点，则_.(用a、b表示)2.设a与b是两个不共线向量，且向量ab与(b2a)共线，则_.3.若向量a，b满足|a|1，|b|2且a与b的夹角为，则|ab|_.4.已知向量p，其中a、b均为非零向量，则|p|的取值范围是_【例1】已知向量a，b(2，cos2x)(1) 若x，试判断a与b能否平行？(2) 若x，求函数f(x)ab的最小值【例2】设向量a(4cos，sin)，b(sin，4cos)，c(cos，4sin)(1) 若a与b2c垂直，求tan()的值；(2) 求|bc|的最大值；(3) 若tantan16，求证：ab.【例3】在abc中，已知2|3bc2，求角a，b，c的大小【例4】已知abc的角a、b、c所对的边分别是a、b、c，设向量m(a，b)，n(sinb，sina)，p(b2，a2) .(1) 若mn，求证：abc为等腰三角形；(2) 若mp，边长c2，角c，求abc的面积 .1. (2008安徽)在平行四边形abcd中，ac为一条对角线，若(2,4)，(1,3)，则_2.(2011上海)在正三角形abc中，d是bc上的点，ab3，bd1，则_.3.(2011江苏)已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，ae12e2，bke1e2，若ab0，则实数k的值为_.4.(2011浙江)若平面向量，满足|1，|1，且以向量，为邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角的取值范围是_5.(2010江苏)在平面直角坐标系xoy中，点a(1，2)、b(2,3)、c(2，1)(1) 求以线段ab、ac为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2) 设实数t满足(t)0，求t的值6.(2011陕西)叙述并证明余弦定理(2010江苏泰州一模)(本小题满分14分)在abc中，角a、b、c的对边分别为a、b、c.(1) 设向量x(sinb，sinc)，向量y(cosb，cosc)，向量z(cosb，cosc)，若z(xy)，求tanbtanc的值；(2) 已知a2c28b，且sinacosc3cosasinc0，求b.解：(1) 由题意：xy(sinbcosb，sinccosc)，(1分) z(xy)， cosb(sinccosc)cosc(sinbcosb