中考数学 第一部分 中考基础复习 第四章 图形的认识 第2讲 三角形 第2课时 等腰三角形与直角三角形复习课件

第2课时 等腰三角形与直角三角形 1.理解等腰三角形的有关概念，探索并证明等腰三角形的 性质定理：等腰三角形的两个底角相等；底边上的高线、中线 及顶角平分线重合.探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个 底角相等的三角形是等腰三角形. 2.探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于 60；探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形(或 有一个角是 60的等腰三角形)是等边三角形. 3.探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角 两边的距离相等；反之，角的内部到角两边的距离相等的点在 角的平分线上. 4.理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分 线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离 相等；反之，到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平 分线上. 5.了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质 定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形. 6.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单 的实际问题. 知识点内容 等腰三角形 判定 (1)有两条边相等的三角形是等腰三角形，即 “等边对 等角”；(等腰三角形的定义) (2)有两个角相等的三角形是等腰三角形，即 “等角对等边” 性质 (1)等腰三角形的两个底角相等，即“等边对 等角”； (2)三线合一：等腰三角形的顶角的平分线、 底边上的中线、底边上的高互相重合； (3)对称性：等腰三角形是轴对 称图形，它的 对称轴是底边上的高(底边上的中线或顶角 的平分线)所在的直线 知识点内容 等边三角形 判定 (1)三条边都相等的三角形是等边三角形； (2)三个角都相等的三角形是等边三角形； (3)有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形 性质 (1)等边三角形的三条边相等； (2)等边三角形的三个角都是 60； (3)对称性：等边三角形是轴对 称图形，有 3 条 对称轴 角平分线 性质角平分线上的点到角的两边的距离相等 逆定理 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的 平分线上 (续表) 知识点内容 线段的垂直 平分线 性质 线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端 点距离相等 逆定理 到一条线段两端点距离相等的点在这条线段 的垂直平分线上 直角三角形判定 (1)有一个角是直角的三角形是直角三角形； (2)勾股定理的逆定理； (3)如果三角形一条边的中线等于这条边的一 半，那么这个三角形是直角三角形 (续表) (续表) 知识点内容 直角三角形性质 (1)直角三角形的两个锐角互余； (2)在直角三角形中，30角所对的直角边等于 斜边的一半； (3)在直角三角形中，斜边上的中线长 等于斜 边长 的一半 勾股定理及 其逆定理 勾股定理在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜 边的平方 勾股定理 的逆定理 若一个三角形中有两边的平方和等于第三边 的平方，则这 个三角形是直角三角形 等腰(边)三角形的性质与判定 例1：(2016 年山东滨州)如图 4-2-22，在ABC 中，D 为 AB 上一点，E 为 BC 上一点，且 ACCDBDBE，A 50，则CDE 的度数为( ) 图 4-2-22 A.50B.51C.51.5D.52.5 思路分析 根据等腰三角形的性质推出 A CDA 50，BDCB，BDEBED，根据三角形的外角性质 求出B25，由三角形的内角和定理求出BDE，根据平角 的定义即可求出选项. 解：ACCDBDBE，A50， ACDA50，BDCB，BDEBED. BDCBCDA50，B25. BEDBDEB180， CDE180CDAEDB1805077.5 52.5.故选 D. 名师点评本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的内 角和定理，三角形的外角性质，邻补角的定义等，熟练地运用 这些性质进行计算是解此题的关键. 【试题精选】 1.如图 4-2-23，在等腰三角形 ABC 中，ABAC，BDAC， ABC72，则ABD() 图 4-2-23 A.36B.54C.18D.64 答案：B 2.(2016 年湖北武汉)在平面直角坐标系中，已知 A(2,2)， B(4,0).若在坐标轴上取点 C，使ABC 为等腰三角形，则满足 条件的点 C 的个数是() A.5B.6C.7D.8 答案：A 3.如图 4-2-24，在ABC 中，ABAC，AD 是 BC 边上的 中线，BEAC 于点 E. 求证：CBEBAD. 图 4-2-24 证明：ABAC，AD 是 BC 边上的中线，BEAC， CBECCADC90，CADBAD. CBEBAD. 名师点评解决与等腰三角形相关的计算问题时，一定要 分清顶角和底角、底边和腰，适当情况下应该分类讨论，找出 正确答案.证明两条线段、两个角相等的常用方法：若它们在同 一个三角形中，可利用角证边或用边证角；若它们在不同的三 角形中，则通过证两个三角形全等来实现. 角平分线与垂直平分线 例2：(2015 年湖北荆州)如图 4-2-25，ABC 中，ABAC， AB 的垂直平分线交边 AB 于点 D，交边 AC 于点 E.若ABC 与 EBC 的周长分别是 40 cm,24 cm，则 AB_cm. 图 4-2-25 解析：DE 是 AB 的垂直平分线，AEBE. ABC 的周长ABACBC， EBC 的周长BEECBCAEECBCACBC， ABC 的周长EBC 的周长AB. AB402416(cm). 答案：16 思想方法运用转化思想是解决本题的关键，即利用垂直 平分线的性质将EBC 的周长转化为ACBC. 例 3：如图 4-2-26，在ABC 中，CD 平分ACB 交 AB 于 点 D，DEAC 于点 E，DFBC 于点 F，且 BC4，DE2， 则BCD 的面积是_. 图 4-2-26 解析：CD 是ACB 的平分线，DEAC，DFBC， DEDF2. 答案：4 易错陷阱角平分线上的点到角的两边的距离相等，注意 必须是垂直距离，否则不成立. 【试题精选】 4.(2016 年湖北黄石)如图 4-2-27，线段 AC 的垂直平分线交 )线段 AB 于点 D，A50，则BDC( 图 4-2-27 A.50B.100C.120D.130 答案：B 5.(2016 年浙江湖州)如图4-2-28，ABCD，BP 和 CP 分别 平分ABC 和DCB，AD 过点 P，且与 AB 垂直.若 AD8， 则点 P 到 BC 的距离是( ) 图 4-2-28 A.8B.6C.4D.2 答案：C 勾股定理及其应用 例 4：如图 4-2-29，修公路遇到一座山，于是要修一条隧 道.为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工.为了使山的 另一侧的开挖点 C 在 AB 的延长线上，设想过点 C 作直线 AB 的垂线 l，过点 B 作一直线(在山的旁边经过)，与 l 相交于点 D， 经测量ABD135，BD800 米，求在直线 l 上距离点 D多 图 4-2-29 思路分析首先证明BCD 是等腰直角三角形，再根据勾 股定理可得CD2BC2BD2 ，然后再代入BD800 米进行计 算即可. 解：CDAC，ACD90. ABD135，DBC45. D45.CBCD. 在RtDCB中，CD2BC2BD2， 答：在直线l 上距离点D566 米的C 处开挖. 思想方法在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与 方程的结合是解决实际问题的常用方法，关键是从题中抽象出 勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图.领会数形结合思想 的应用. 【试题精选】 6.小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问 题：如图 4-2-30，以往从黄石 A 坐客车到武昌客运站 B，现在 可以在 A 坐城际列车到武汉青山站 C，再从青山站 C 坐市内公 共汽车到武昌客运站 B.设 AB80 km，BC20 km，ABC 120.请你帮助小明解决以下问题： (2)若客车的平均速度是 60 km/h，市内的公共汽车的平均 速度为 40 km/h，城际列车的平均速度为 180 km/h，为了最短时 间到达武昌客运站，小明应该选择哪种乘车方案？请说明理 由.(不计候车时间) 图 4-2-30 解：(1)过点C作AB 的垂线，交AB 的延长线于点 E(如图 D22). 图 D22 选择先乘坐城际列车，再坐市内公共汽车的乘车方案. 名师点评解决直角三角形问题的关键：一是能熟练运用 勾股定理及其逆定理分析与解决实际问题；二是解题时能灵活 运用直角三角形的一些性质，如两锐角之间的关系、斜边与斜 边上中线的关系；三是当几何问题中给出了线段长度时，往往 要构造直角三角形.(如勾股数或添加辅助线将非直角三角形转 化为直角三角形) 图 4-2-31 图 D23 2.(2012 年广东)如图4-2-32，在ABC 中，ABAC， ABC 72. (1)用直尺和圆规作ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D；(保 留作图痕迹，不要求写作法) (2)在(1)中作出ABC 的平分线 BD 后，求BDC 的度数. 图 4-2-32 解：(1)如图 D24，以点 B 为圆心，以任意长为半径画弧， 分别交 AB，BC 于点 E，F； 图 D24 (2)在ABC 中，ABAC，ABC72， A1802ABC18014436. BD 是ABC 的平分线， BDC 是ABD 的外角， BDCAABD363672. 3.(2015 年广东)如图 4-2-33，在边长为 6 的正方形 ABCD 中，E 是边 CD 的中点，将ADE 沿 AE 对折至AFE，延长 EF 交边 BC 于点 G，连接 A