高二数学上学期竞赛试题（实验班）

安徽省太和县2016-2017学年高二数学上学期竞赛试题（实验班）第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 若集合中三个元素为边可构成一个三角形，则该三角形一定不可能是（ ）A等腰三角形B直角三角形C钝角三角形D锐角三角形2. 抛物线的准线方程是( ) A. B. C. D. 3. 已知向量，若，则实数等于（ ） A. B. C. D.4. 函数的图象大致为（ ）5.若，则的值为（ ）A B C D6. 下列选项错误的是（ ）A命题：“若，则”的逆否命题是“若，则” B“”是“”的充分不必要条件 C. 若命题“”，则“” D若“”为真命题，则均为真命题7. 若实数满足条件，则的最大值为（ ）A. B. C. D.8. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A B C D9. 在棱长为2的正方体中，为底面正方形内一个动点，为棱上的一个动点，若，则的中点的轨迹所形成图形的面积是A B C 3 D 10.如图，是双曲线（）的左、右焦点，过的直线与双曲线交于点、，若为等边三角形，则的面积为（ ）A8 BC D11. 阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为58，则判断框中应填入的条件为（ ）A B C D12. 若分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数我们可以把1分拆为若干个不同的单位分数之和如：，依此类推可得：，其中，设，则的最小值为（ ）ABCD第II卷二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。13. 不等式的解集是 14. 在中, 且,则 15. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其姓名命名的函数，被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，则关于函数有如下四个命题：； 函数是偶函数；任取一个不为零的有理数, 对任意的恒成立；存在三个点，使得为等边三角形.其中真命题的个数是 。16. 我国齐梁时代的数学家祖暅（公元前世纪）提出了一条原理“幂势既同，则积不容异”这句话的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的面积总是相等，那么这两个几何体的体积相等设由曲线和直线，所围成的平面图形，绕轴旋转一周所得到的旋转体为；由同时满足，的点构成的平面图形，绕轴旋转一周所得到的旋转体为，根据祖暅原理等知识，通过考察可以得到的体积为 三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17. （本小题满分10分）某工厂为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组检测数据如下表所示：试销价格（元）45679产品销量（件）8483807568已知变量具有线性负相关关系，且，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其线性回归方程分别为：甲；乙；丙，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的.（1)试判断谁的计算结果正确？并求出的值；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过，则该检测数据是“理想数据”。现从检测数据中随机抽取个，求这两个检验数据均为“理想数据”的概率。18. （本小题满分12分）已知函数在同一半周期内的图象过点，其中为坐标原点，为函数图象的最高点，为函数的图象与轴的正半轴的交点。（1）试判断的形状，并说明理由；（2）若将绕原点按逆时针方向旋转角时，顶点恰好同时落在曲线上（如图），求实数的值。19. （本小题满分12分）已知数列的前项和为，若，.（1）求数列的通项公式；（2）令，其中，记数列的前项和为，求的值.20. （本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，平面，为的中点（1）证明：平面；（2）证明：平面平面；（3）求直线与平面所成角的正切值21. （本小题满分12分）同学们都有这样的解题经验：在某些数列的求和中，可把其中一项分裂成两项之差，使得某些项可以相互抵消，从而实现化简求和“斐波那契数列”是数学史上一个著名的数列，这个数列中的每一项称为“斐波那契数”.在斐波那契数列中，（1）若那么数列的前2014项的和；（2）证明：。22.（本小题满分12分）已知动圆与圆相切，且与圆相内切，记圆心的轨迹为曲线.（）求曲线的方程；（）设为曲线上的一个不在轴上的动点，为坐标原点，过点作的平行线交曲线于两个不同的点, 求面积的最大值参考答案一、选择题ABDBD DCBBC BC12.提示 即，所以，即，而。二填空题13. ；14.8；153；提示 根据函数的对应法则，可得不管是有理数还是无理数，均有，故不正确；根据函数奇偶性的定义，可得是偶函数，故正确；根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质，故正确；取，可得三点恰好构成等边三角形故正确16.提示：作出两曲线所表示的可行区域知，的轴截面为一半径为的半圆内切两半径为的小圆所形成，面积近似为的轴截面面积的两倍，符合祖暅原理又的体积为，于是所表示几何体的体积应为故填三解答题：17. 解析：（1）因为变量具有线性负相关关系，所以甲的答案是错误的；又，所以，满足方程，不满足，所以乙的答案是正确的；又，所以；5分（2）计算可得“理想数据”有三个，分别是，从检测数据中随机抽取个，共有15种不同的情形，其中这两个检测数据均为“理想数据”有3种情形，故所求概率为。 10分18.解析：（1）为等边三角形。理由如下：因为函数，所以，所以函数的半周期为4，所以；又因为为函数图象的最高点，所以点坐标为，又坐标为，所以，故为等边三角形。 6分（2）由（1）知，所以点,的坐标分别为,，代入，得，且，所以，由，解得，所以，即所求的实数的值为4。 12分另法：（2）由（1）知，为等边三角形，因为函数的图象关于直线对称，由图象可知，当时，点,恰在函数的图象上，此时点的坐标为， 所以，所以所求的实数的值为4。19. 解析 （1）由题意可得，得因为，所以两式相减得：，所以，此式对不成立，所以； 6分（2）因为，所以，运用错位相减求和法可得，故。 12分20.解析 连接BD交AC于O，连接MO.在平行四边形ABCD中，O为AC的中点，O为BD的中点.又M为PD的中点，（1）,平面； 3分（2），所以平面,平面平面； 6分（3）取的中点，连接MN，AN可得，由平面，得平面，所以是直线与平面所成的角在中，所以从而在中，即直线与平面所成角的正切值为12分21.解析：（1）由，可得： 6分（2）斐波那契数列总有则， 所以。 12分22.解：（）设圆的半径为, 圆心的坐标为，由于动圆与圆相切，且与圆相内切，所以动圆与圆只能内切. 所以 则. 所以