高二数学12月学科竞赛试题理

系统掌握蕴含其中的马克思主义立场观点方法，要在系统学习、深刻领会、科学把握习近平教育思想上下功夫。精心组织开展学习宣传贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神知识问答活动。衡阳县一中2016年下学期高二学科竞赛数学试题分值：150分 时量：120分钟 命题人：第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在等差数列中，则等于（ b ）A12 B21 C15 D182.已知公比为2的等比数列的前项和为，则等于（ a ）A B C D 3.已知命题若，则，则下列叙述正确的是（ D ）A命题的逆命题是：若，则B命题的否命题是：若，则C命题的否命题是：若，则D命题的逆否命题是真命题4.若实数满足约束条件，则的最小值为（ a ）A 0 B C. D-15.若的内角所对的边分别是，已知，且，则等于（ C ）A B C D46M是抛物线上一点，且在轴上方，F是抛物线的焦点，以轴的正半轴为始边，FM为终边构成的角为60则 （ c ）A2 B3 C4 D67.已知点F1,F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,A,B是以坐标原点O(0,0)为圆心、|OF1|为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点,且F2AB是正三角形,则此椭圆的离心率为(d)A.3B.32C.2-1D.3-18.已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，同下列数中是数列中的项是（ b ）A16 B64 C32 D1289.在中，内角的对边分别是，若，且的面积为，则等于（ D ）A B C D10.已知，且，则的最小值为（ a ）A8 B6 C5 D411.已知正项数列的前项和为，当时，且，设，则等于（ c ）A64 B72 C80 D9012.若双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)上不存在点P使得右焦点F关于直线OP(O为双曲线的中心)的对称点在y轴上,则该双曲线离心率的取值范围为(c)A.(2,+) B.2,+)C.(1,2D.(1,2)第卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在数列中，且数列是等差数列，则_ _14.在中，角的对边分别为，则的最大值为_2_15.椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22,若直线y=kx与椭圆的一个交点的横坐标为b,则k= .16.已知函数f(x)=loga(2x+b-1)(a0,且a1)在R上单调递增,且2a+b4,则ba的取值范围为23,2)由2x+b-1在R上单调递增,f(x)=loga(2x+b-1)在R上单调递增,得a1.由2x+b-10,得b-10,即b1,所以画出可行域,如图,由ba=b-0a-0,得ba的取值范围可转化为(a,b),(0,0)两点所在直线的斜率范围,由图可知kOB最大,kOA最小,由得B(1,2),所以kOB=2,由得A(32,1),所以kOA=23,结合图形得ba23,2).三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）设条件；条件，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.解：设，则，4分又当或时，故实数的取值范围为10分18.（本小题满分12分）已知向量=(cosx,-1),向量=(3sinx,),函数f(x)=(+)(1)求f(x)的最小正周期T.(2)已知a,b,c分别为ABC内角A,B,C的对边,A为锐角,a=1,c=3,且f(A)恰是f(x)在0,2上的最大值,求A和b的大小.【解析】(1)f(x)=(m+n)m=cos2x+3sinxcosx+32=1+cos2x2+32sin2x+32=12cos2x+32sin2x+2=sin(2x+6)+2.因为=2,所以T=22=.(2)由(1)知:f(A)=sin(2A+6)+2,当A0,2时,62A+676,由正弦函数图象可知,当2A+6=2时f(A)取得最大值3,所以2A+6=2,A=6.由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,所以1=b2+3-2b3cos6.解得b=1或b=2.19.（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）设等差数列的前项和为，求的值解：（1） ，当时， ，1分得，则，3分又，4分数列是首项为1，公比为4的等比数列，则6分（2）由（1）得7分则，得，8分设数列的公差为，则，9分，10分，11分12分20.（本小题满分12分）设内角所对的边分别为，且（1）若，求的面积；（2）若，且边的中点为，求的长.解：，1分则，又，3分，即，5分（1），的面积7分（2），8分即，解得或（舍去），10分，得12分21.（本小题满分12分）已知数列中，（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）若存在，使关于的不等式成立，求常数的最小值.解：（1），1分两式相减得，2分数列从第二项起，是以2为首项，3为公比的等比数列，故4分（2）由（1）可知当时，当时，两式相减得6分又也满足上式，8分（3）等价于，由（1）可知当时，9分设，则，又及，12分22.(12分)(2015滨州模拟)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为(2,0),离心率为63.(1)求椭圆C的方程.(2)若直线l与椭圆C相交于A,B两点,且以AB为直径的圆经过原点O,求证:点O到直线AB的距离为定值.(3)在(2)的条件下,求OAB面积的最大值.【解析】(1)因为椭圆的右焦点为(2,0),离心率为63,所以所以a=3,b=1,所以椭圆C的方程为x23+y2=1.(2)直线AB斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+m,代入椭圆方程,消元可得(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=-6km1+3k2,x1x2=3m2-31+3k2.因为以AB为直径的圆D经过坐标原点,所以OAOB=0,所以x1x2+y1y2=0,所以(1+k2)3m2-31+3k2-km6km1+3k2+m2=0,所以4m2=3(k2+1),所以原点O到直线的距离为d=|m|k2+1=32.当直线AB斜率不存在时,由椭圆的对称性可知x1=x2,y1=-y2,因为以AB为直径的圆D经过坐标原点,所以OAOB=0,所以x1x2+y1y2=0,所以x12-y12=0.因为x12+3y12=3,所以|x1|=|y1|=32,所以原点O到直线的距离为d=|x1|=32,综上,点O到直线AB的距离为定值.(3)直线AB斜率存在时,由弦长公式可得|AB|=1+k2|x1-x2|=(1+k2)(36k2-12m2+12)(1+3k2)2=3+129k2+1k2+63+126+29k21k2=2,当且仅当k=33时,等号成立,所以|AB|2,直线AB斜率不存在时,