2011年高三数学精品复习15：椭圆及其性质.doc

2011年高三数学精品复习15：椭圆及其性质一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）1（3分）若方程：x2+ay2=a2表示长轴长是短轴长的2倍的椭圆，则a的允许值的个数是（）A1个B2个C4个D无数个2（3分）（2006山东）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（）ABCD3（3分）椭圆上有n个不同的点P1，P2，P3，Pn，椭圆的右焦点F，数列|PnF|是公差大于的等差数列，则n的最大值为（）A198B199C200D2014（3分）若动点P（x，y）满足|x+2y3|=5，则P点的轨迹是（）A圆B椭圆C双曲线D抛物线5（3分）已知P是椭圆上一点，F1和F2是焦点，若F1PF2=30，则PF1F2的面积为（）ABC4（2+）D46（3分）（2005重庆）若动点（x，y）在曲线（b0）上变化，则x2+2y的最大值为（）ABCD2b二、填空题（共17小题，每小题4分，满分68分）7（4分）椭圆的离心率为，则m=_8（4分）已知椭圆（a0，b0）的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若BFBA，则称其为“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为 _9（4分）已知椭圆的离心率为，若将这个椭圆绕着它的右焦点按逆时针方向旋转后，所得新椭圆的一条准线方程是，则原来的椭圆方程是_；新椭圆方程是_10（4分）一椭圆的四个顶点为A1，A2，B1，B2，以椭圆的中心为圆心的圆过椭圆的焦点且内切于四边形A1B1A2B2，则椭圆的椭圆的离心率为 _11（4分）已知Q：（x1）2+y2=16，动M过定点P（1，0）且与Q相切，则M点的轨迹方程是：_12（4分）已知圆C：（x+1）2+y2=25及点A（1，0），Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，则点M的轨迹方程为_13（4分）设x、yR，在直角坐标平面内，=（x，y+2），=（x，y2），且|+|=8，则点M（x，y）的轨迹方程为 _14（4分）已知A（0，7），B（O，7），C（12，2），以C为一个焦点作过A、B的椭圆，则椭圆的另一焦点的轨迹方程为 _15（4分）P为直线xy+3=0上任一点，一椭圆的两焦点为F1（1，0）、F2（1，0），则椭圆过P点且长轴最短时的方程为 _16（4分）（2006四川）如图把椭圆的长轴AB分成8分，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|+|P2F|+|P7F|=_17（4分）已知A、B是椭圆上的两点，F2是椭圆的右焦点，如果|AF2|+|BF2|=，AB的中点到椭圆左准线距离为，则椭圆的方程 _18（4分）椭圆的两焦点为F1，F2，以F1F2为一边的正三角形的另两条边均被椭圆平分，则椭圆的离心率为 _19（4分）已知F1、F2是椭圆5x2+9y2=45的左右焦点，点P是此椭圆上的一个动点，A（1，1）为一个定点，则|PA|+|PF1|的最大值为 _，的最小值为 _20（4分）过椭圆的左焦点F且倾斜角为60的直线交椭圆于A、B两点，若，则椭圆的离心率e=_21（4分）已知焦点在x轴上的椭圆F1，F2是它的两个焦点，若椭圆上存在点P，使，则b的取值范围是 _22（4分）椭圆的焦点F1、F2，点P为其上的动点，当F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是_23（4分）椭圆上的点到直线2xy+3=0距离的最大值是 _2011年高三数学精品复习15：椭圆及其性质参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）1（3分）若方程：x2+ay2=a2表示长轴长是短轴长的2倍的椭圆，则a的允许值的个数是（）A1个B2个C4个D无数个考点：椭圆的标准方程。350129 专题：计算题。分析：先把方程整理成椭圆的标准方程，分别看焦点在x轴和y轴两种情况，根据长轴长是短轴长的2倍求得a的值解答：解：整理方程得+=1表若a2a，即a1长轴长为2a，短轴为2则a=2，求得a=4若a2a，即a1长轴长为2，短轴长为2a则=2a求得a=故a允许的值的个数为2个故选B点评：本题主要考查了椭圆的标准方程解题的时候一定要注意焦点在x轴和y轴两种情况2（3分）（2006山东）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（）ABCD考点：椭圆的标准方程。350129 专题：计算题。分析：先假设出椭圆方程的一般形式，令x=c代入求出弦长使其等于，再由可求出a，b，c的关系，进而得到离心率的值解答：解：不妨设椭圆方程为（ab0），则有，据此求出e=，故选B点评：本题主要考查椭圆离心率的求法在椭圆中一定要熟练掌握a，b，c之间的关系、离心率、准线方程等基本性质3（3分）椭圆上有n个不同的点P1，P2，P3，Pn，椭圆的右焦点F，数列|PnF|是公差大于的等差数列，则n的最大值为（）A198B199C200D201考点：椭圆的应用；等差数列的性质。350129 专题：计算题。分析：|P1F|=|ac|=1，|PnF|=a+c=3，|PnF|=|P1F|+（n1）d再由数列|PnF|是公差大于的等差数列，可求出n的最大值解答：解：|P1F|=|ac|=1，|PnF|=a+c=3，|PnF|=|P1F|+（n1）d若d=，n=201，d，n201故选C点评：本题考查椭圆的应用和等差数列的性质，解题时要认真审题，仔细解答4（3分）若动点P（x，y）满足|x+2y3|=5，则P点的轨迹是（）A圆B椭圆C双曲线D抛物线考点：椭圆的定义。350129 专题：计算题；转化思想。分析：首先观察等式|x+2y3|=5，右边为两点间距离的形式，左边类似与点到直线的距离，但不是；对等式变形、整理，将左边化为点到直线的距离的形式，可得=，联系椭圆的定义，对其变形可得=，由其几何意义，可得答案解答：解：根据题意，有|x+2y3|=5，两边同除以，于是有：=，进而再变形为：=，即动点P（x，y）到定点A（1，2）与到定直线x+2y3=0的距离之比为，则其轨迹为椭圆；故选B点评：本题考查椭圆的方程，解题的关键在于仔细观察方程后，就会发现等式左边很“象”是点到直线的距离，进而结合题意化简、变形得到关系式，最终得到答案5（3分）已知P是椭圆上一点，F1和F2是焦点，若F1PF2=30，则PF1F2的面积为（）ABC4（2+）D4考点：椭圆的简单性质。350129 专题：计算题。分析：先根据椭圆的方程求得c，进而求得|F1F2|，设出|F1P|=x，|PF2|=y，利用余弦定理可求得xy的值，最后利用三角形面积公式求解解答：解：设|F1P|=x，|PF2|=y，c=1，|F1F2|=2，在PF1F2中利用余弦定理可得cos30=求得xy=16（2）PF1F2的面积为sin30xy=4（2）故选B点评：本题主要考查了椭圆的简单性质通过解三角形，利用边和角求得问题的答案6（3分）（2005重庆）若动点（x，y）在曲线（b0）上变化，则x2+2y的最大值为（）ABCD2b考点：椭圆的参数方程；函数的最值及其几何意义。350129 分析：本题可以直接借助于椭圆方程把x2用y表示，从而得到一个关于y的二次函数，再配方求最值；这里用椭圆的参数方程求解解答：解：记x=2cos，y=bsin，x2+2y=4cos2+2bsin=f（），f（）=4sin2+2bsin+4=4（sin）2+4，sin1，1若010b4，则当sin=时f（）取得最大值+4；若1b4，则当sin=1时f（）取得最大值2b，故选A点评：本题考查的是椭圆的性质及椭圆的参数方程，可以从不同角度寻求方法求解，本题用了椭圆的参数方程结合三角函数的最值进行求解二、填空题（共17小题，每小题4分，满分68分）7（4分）椭圆的离心率为，则m=3或考点：椭圆的简单性质。350129 专题：分类讨论。分析：方程中4和m哪个大，哪个就是a2，利用离心率的定义，分0m4和m4两种情况求出m的值解答：解：方程中4和m哪个大，哪个就是a2，（）若0m4，则a2=4，b2=m，c=，e=，得 m=3； （）m4，则b2=4，a2=m，c=，e=，得 m=；综上：m=3或m=，故答案为：3或点评：本题考查椭圆的标准方程和简单性质的应用，体现了分类讨论的数学思想8（4分）已知椭圆（a0，b0）的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若BFBA，则称其为“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为 考点：椭圆的简单性质。350129 专题：计算题。分析：先根据BFBA，可知|AB|2=a2+b2，根据椭圆的定义可知，|BF|=a，|FA|=a+c，进而代入上式中求得c2+aca2=0，等式两边同除以a2即可得到关于离心率e的一元二次方程，求得答案解答：解：|AB|2=a2+b2，|BF|=a，|FA|=a+c，在RtABF中，（a+c）2=a2+b2+a2化简得：c2+aca2=0，等式两边同除以a2得：e2+e1=0，解得：e=故答案为点评：本题主要考查了椭圆的简单性质考查了学生综合分析问题的能力9（4分）已知椭圆的离心率为，若将这个椭圆绕着它的右焦点按逆时针方向旋转后，所得新椭圆的一条准线方程是，则原来的椭圆方程是；新椭圆方程是考点：椭圆的标准方程。350129 专题：计算题。分析：先根据离心率和新椭圆的准线方程求出a，b，c的值，代入可直接求出原来方程；对于新椭圆方程，要先找到中心然后根据a，b，c没发生改变可得到答案解答：解：由题意可知，e=，y=c=a2=b2+c2c=3，a=5，b=4原椭圆方程为新椭圆方程为：故答案为：，点评：本题主要考查椭圆方程的标准方程对于椭圆方程要知道离心率e=，准线为y=（焦点在x轴）10（4分）一椭圆的四个顶点为A1，A2，B1，B2，以椭圆的中心为圆心的圆过椭圆的焦点且内切于四边形A1B1A2B2，则椭圆的椭圆的离心率为 考点：椭圆的简单性质。350129 专题：计算题。分析：根据椭圆的中心为圆心以半焦距为半径的圆内切于四边形A1B1A2B2，可知半焦距=半短轴，进而求得b和c的关系，则a和c的关系可求得，进而求得离心率解答：解：以椭圆的中心为圆心以半焦距为半径的圆内切于四边形A1B1A2B2，则半焦距=半短轴即 b=c，所以 a=ce=故答案为点评：本题主要考查了椭圆的简单性质考查了学生分析问题和解决问题的能力11（4分）已知Q：（x1）2+y2=16，动M过定点P（1，0）且与Q相切，则M点的轨迹方程是：=1考点：椭圆的定义；轨迹方程。350129 专题：计算题；数形结合。分析：根据P（1，0）在Q内，可判断出M与Q内切，设M的半径是为r，则可表示出|MQ|，进而根据M过点P，求得|MP|=r，利用|MQ|=4|MP|，根据椭圆的定义可知其轨迹为椭圆，且焦点和长轴可知，进而求得椭圆方程中的b，则椭圆方程可得解答：解：P（1，0）在Q内，故M与Q内切，记：M（x，y），M的半径是为r，则：|MQ|=4r，又M过点P，|MP|=r，|MQ|=4|MP|，即|MQ|+|MP|=4，可见M点的轨迹是以P、Q为焦点（c=1）的椭圆，a=2b=椭圆方程为：=1故答案为：=1点评：本题主要考查了椭圆的定义考查了学生对数形结合思想的运用和对椭圆基础知识的掌握12（4分）已知圆C：（x+1）2+y2=25及点A（1，0），Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，则点M的轨迹方程为考点：轨迹方程。350129 专题：计算题。分析：根据线段中垂线的性质可得，|MA|=|MQ|，又|MQ|+|MC|=半径5，故有|MC|+|MA|=5|AC|，根据椭圆的定义判断轨迹椭圆，求出a、b值，即得椭圆的标准方程解答：解：由圆的方程可知，圆心C（1，0），半径等于5，设点M的坐标为（x，y ），AQ的垂直平分线交CQ于M，|MA|=|MQ| 又|MQ|+|MC|=半径5，|MC|+|MA|=5|AC|依据椭圆的定义可得，点M的轨迹是以 A、C 为焦点的椭圆，且 2a=5，c=1，b=，故椭圆方程为 ，即 ，故答案为点评：本题考查椭圆的定义、椭圆的标准方程，得出|MC|+|MA|=5|AC|，是解题的关键和难点13（4分）设x、yR，在直角坐标平面内，=（x，y+2），=（x，y2），且|+|=8，则点M（x，y）的轨迹方程为 考点：轨迹方程；向量的模。350129 分析：利用向量的模将：“|+|=8，”用点M的坐标表示出来，再结合式子的几何意义，根据椭圆的定义即可求得答案解答：解：|+|=8，+=8，此式的几何意义是：动点（x，y）到两个定点（0，2）、（0，2）的距离之和等于8，由椭圆的定义知：点M（x，y）的轨迹方程为椭圆其长轴长为8，焦距为4焦点在y轴上其方程为：故答案为：点评：本题利用定义法求轨迹方程定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求14（4分）已知A（0，7），B（O，7），C（12，2），以C为一个焦点作过A、B的椭圆，则椭圆的另一焦点的轨迹方程为 考点：双曲线的标准方程。350129 专题：计算题；转化思想。分析：首先设椭圆的另一焦点为M，长轴为2a；依题意，有|AM|+|AC|=2a，且|BM|+|BC|=2a；整理变形可得|AM|BM|=|BC|AC|=2，可得M的轨迹是以A、B为焦点，实半轴为1的双曲线的下支，由双曲线的标准方程的求法，计算可得答案解答：解：设椭圆的另一焦点为M，长轴为2a；根据A、B在椭圆上，有|AM|+|AC|=2a，且|BM|+|BC|=2a；则有|AM|+|AC|=|BM|+|BC|；化简可得：|AM|BM|=|BC|AC|=2；则M的轨迹是以A、B为焦点，实半轴为1的双曲线的下支（|AM|BM|），则M的轨迹方程为：，（y0）点评：本题考查双曲线的标准方程，注意区分求得的轨迹是双曲线的一支还是两支，这点必须在答案的轨迹方程中表现出来15（4分）P为直线xy+3=0上任一点，一椭圆的两焦点为F1（1，0）、F2（1，0），则椭圆过P点且长轴最短时的方程为 考点：椭圆的标准方程。350129 专题：计算题。分析：要使椭圆长轴最短则椭圆与直线l相切，设出椭圆的标准方程与直线方程联立消去y，根据判别式等于0求得a，则椭圆方程可得解答：解：要使椭圆长轴最短则椭圆与直线l相切设椭圆方程为则化简得（2a21）x2+6a2x+10a2a=0相切=（6a2）24（2a21）（10a2a）=0解得a2=1或a2=5a20 a21oa2=5椭圆的方程为故答案为点评：本题主要考查了椭圆的标准方程解题时采用了数形结合的方法使问题得到了较快解决16（4分）（2006四川）如图把椭圆的长轴AB分成8分，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|+|P2F|+|P7F|=35考点：椭圆的应用。350129 专题：计算题。分析：根据椭圆的对称性知，|P1F1|+|P7F1|=|P1F1|+|P1F2|=2a，同理其余两对的和也是2a，又|P4F1|=a，由此可得答案解答：解：如图，把椭圆的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则根据椭圆的对称性知，|P1F1|+|P7F1|=|P1F1|+|P1F2|=2a，同理其余两对的和也是2a，又|P4F1|=a，|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=7a=35，故答案为35点评：作出图象数形结合，事半成功倍17（4分）已知A、B是椭圆上的两点，F2是椭圆的右焦点，如果|AF2|+|BF2|=，AB的中点到椭圆左准线距离为，则椭圆的方程 考点：椭圆的标准方程。350129 专题：计算题。分析：由椭圆的第一定义求出|AF1|+|BF1|，利用椭圆的第二定义及梯形中位线的性质求出a的值，从而得到椭圆方程解答：解：|AF2|+|BF2|=，2a|AF1|+2a|BF1|=，|AF1|+|BF1|=a，记AB的中点为M，A、B、M在椭圆左准线上的射影分别为A1、B1，M1，由椭圆第二定义知：|AF1|=e|AA1|，|BF1|=e|BB1|，于是有：e（|AA1|+|BB1|）=，而e=，|AA1|+|BB1|=3a2|MM1|=3a，又|MM1|=，a=1，故椭圆方程为 x2+故答案为 x2+点评：本题考查椭圆的第一定义、第二定义，椭圆的标准方程，以及梯形的中位线的性质18（4分）椭圆的两焦点为F1，F2，以F1F2为一边的正三角形的另两条边均被椭圆平分，则椭圆的离心率为 考点：椭圆的简单性质。350129 专题：计算题。分析：正三角形的边长为 2c，第三个顶点在y轴上，设出A的坐标，求出 AF2 的中点坐标，把AF2 的中点坐标代入椭圆的方程化简解方程求得 e解答：解：由题意知，正三角形的边长为 2c，第三个顶点在y轴上，设为A，则 A的坐标可为 （0，c），再由中点公式得 AF2 的中点为（，），再由 AF2 的中点在椭圆上得 +=1，化简得 e48e2+4=0，e2=4+2（舍去） 或 e2=42，e=1，故答案为：1点评：本题考查线段的中点公式，椭圆的标准方程和简单性质的应用，注意离心率的取值范围19（4分）已知F1、F2是椭圆5x2+9y2=45的左右焦点，点P是此椭圆上的一个动点，A（1，1）为一个定点，则|PA|+|PF1|的最大值为 6+，的最小值为 考点：椭圆的简单性质。350129 专题：作图题。分析：先作出图形来，再根据椭圆的定义找到取得最值的状态求解解答：解：根据椭圆的第一定义：|PA|+|PF1|=|PA|+2a|PF2|PA|+|PF1|取得最大值时，即|PA|PF2|最大，如图所示：|PA|+|PF1|2a+|AF2|=6+，当P，A，F2共线时取得最大值|PA|+|PF1|的最大值为：6+e=即为：根据椭圆的第二定义：过A作右准线的垂线，交与B点，则的最小值为|AB|AB|=的最小值为：故答案为：6+；点评：本题主要考查学生的作图能力和应用椭圆的第一定义和第二定义来求最值的能力20（4分）过椭圆的左焦点F且倾斜角为60的直线交椭圆于A、B两点，若，则椭圆的离心率e=考点：椭圆的简单性质；圆锥曲线的共同特征；直线与圆锥曲线的关系。350129 分析：设椭圆的左准线为l，设A、B两点在l上的射影分别为C、D，连接AC、BD，过点B作BGAC利用圆锥曲线的统一定义，再结合直角ABG中，BAG=60，可求出边之间的长度之比，可得离心率的值解答：解：如图，设设椭圆的左准线为l，过A点作ACl于C，过点B作BDl于D，再过B点作BGAC于G，直角ABG中，BAG=60，所以AB=2AG，由圆锥曲线统一定义得：，AC=2BD直角梯形ABDC中，AG=ACBD=、比较，可得AB=AC，又答：所求的离心率为 点评：运用圆锥曲线的统一定义，结合解含有60的直角三角形，求椭圆的离心率，属于几何方法，运算量小，方便快捷本题还有设直线AB方程，与椭圆方程联解，寻求a、b、c的一个关系式，再解一个关于离心率的方程，但是计算过程较为繁琐，同学们不妨试试，加以比较2