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2013年高三数学二轮专题复习(三角函数部分)金堂实验中学-黄志强一、专题热点透析三角函数是高中数学中一种重要的初等函数，是高考数学的一个必考内容，它与代数、几何、平面向量等知识有着密切的联系，其工具性在高考中更进一步得以体现。透析近年高考试题，其趋势为：考小题多重基础，属中、低档题型主要考察三角函数的基本概念，即：两域（定义域、值域），四性（奇偶性、单调性、周期性、对称性），简单的三角变换（求值、化简）。三角函数的图像、性质及其变换是近年的热点，图像变换已成为“五点法”作图后的另一个热点，与平面向量结合已成为新的考查方向；考大题稳中有降，大题以解答题出现，考查思维能力的难题逐步淡化，而是以考查基础知识与基本技能为主，难度在“较易”到“中等”的程度。二、热点题型范例题型一、三角函数的求值、化简问题例1已知，且（）求的值；（）求解：（）由，得于是（）由，得又，由，得 变式：已知向量,且()求tanA的值；()求函数R)的值域解：（）由题意得mn=sinA-2cosA=0，因为cosA0，所以tanA=2。（）由tanA=2得因为xR,所以，当时，f(x)有最大值；当sinx=-1时，f(x)有最小值-3，所以所求函数f(x)的值域是题型二、三角函数的图像与性质问题例1函数的图象为C, 如下结论中正确的是_. (写出所有正确结论的编号)图象C关于直线对称；图象C关于点对称；函数)内是增函数；由的图象向右平移个单位可以得到图象C。例2. 已知函数（1）求函数的最小正周期和最值；（2）指出图像经过怎样的平移变换后得到的图像关于原点对称。解：（1）最小正周期，的最大值为，最小值为（2）变式：已知函数（）的最小正周期为（1）求函数的单调递增区间；（2）画函数f（x）在区间0，上的图象；（3）将函数图象按向量平移后所得的图象关于原点对称，求向量的坐标（一个即可）解：（1）由周期为得，故由得，所以函数的增区间为Zx0y2101（2）如下表：图象如下：12Oxy（3）题型三、三角形中的三角函数问题例1. 在ABC中，分别是角A，B，C的对边，且(I)求角A的大小；(II) 若=，+ =3，求和的值。解：（I）在ABC中有B+C=A，由条件可得41cos(B+C) 4cos2A+2=7cos(B+C)= cosA 4cos2A4cosA+1=0 解得 （II）由 例2. 已知在中，三条边所对的角分别为，向量，且满足。（1）求角的大小；（2）若成等比数列，且，求的值。解：（1），；又为的内角；（2）成等比数列，由正弦定理知：；又且，即，；变式：已知A、B、C是的三个内角，a，b，c为其对应边，向量（）求角A；（）若解：（） （）由正弦定理，得故.、C为的内角，又为正三角形。题型四、三角函数与其他知识交汇问题例1已知在中，记（1）若的面积S满足，求的取值范围；（2）若，求的最大边长的最小值解：（1）， ， ，. （2）若，则，则其所对的边最长，由余弦定理；当且仅当时取等号，的最大边长的最小值为 . 例2已知ABC的周长为6，成等比数列 （）求ABC的面积S的最大值；（）求的取值范围解：设依次为a，b，c，则a+b+c=6，b=ac，由余弦定理得, 故有，又从而 （），即（） 变式：已知向量a，向量b，若a b +1 （错误！未找到引用源。）求函数的解析式和最小正周期；(错误！未找到引用源。) 若，求的最大值和最小值。解：（错误！未找到引用源。）a, b, a b+1 函数的最小正周期 (错误！未找到引用源。) ， ，；，反馈练习：1已知，则的值是（ C ）ABCD2函数的最小值和最大值分别为（ C ）A，B，C，D，3下列函数中，最小正周期是，且图象关于直线对称的是（ B ）A B C D4函数的一个减区间为 ( C )A. B. C. D.5为了得到函数的图像，可以将函数的图像( D )A 向右平移个单位 B 向右平移个单位C 向左平移个单位 D向右平移个单位6已知函数，则函数的最小正周期T和它的图象的一条对称轴方程是（ D ）AT=2，一条对称轴方程为BT=2，一条对称轴方程为CT=，一条对称轴方程为DT=，一条对称轴方程为7若，则的值为 8在ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c ，若，则 9设，则函数的最小值为 10在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知 则A 11已知的面积为.（1）求的值；（2）求的值。解：（1）， 又，. 由、得.（2）12求值：解：原式13在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且（1）判断此三角形的形状；（2）若a=3, b=4，求的值；（3）若C=600，ABC的面积为，求的值。解：（1） 由正弦定理得 于是sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B A=B或A+B=, 为等腰或直角三角形（2）由（1）得A=B或A+B=，但由于ab，A+B= （3）C=600， A=B，即ABC是正三角形故=322cos1200=-6 14. 设ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知，求：（）A的大小；（）的值.解：() () 15已知函数（）的最小正周期为（）求的值；（）求函数在区间上的取值范围解：（）因为函数的最小正周期为，且，所以，解得（）由（）得因为，所以，所以因此，即的取值范围为16已知函数（）将函数化简成的形式，并指出的周期；（）求函数上的最大值和最小值。解：()f(x)=sinx+.故f(x)的周期为2kkZ且k0.()由x，得.因为f(x)在上是减函数，在上是增函数.故当x=时，f(x)有最小值；而f()=2，f()2，所以当x=时，f(x)有最大值2。三角练习题一、 选择题1、若sin+2icos=2i,则的取值为（ ） |=k,kZ |=, kZ |=2k, kZ |=2k+, kZ2、若角满足条件sin20,且cossin0)，在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为.(1)求；(2)若将函数f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象，求函数g(x)的最大值及单调递减区间.20、 在ABC中，设内角A，B，C的对边分别为，向量(cosA，sinA)，向量(sinA，cosA)，若|2.(1)求角A的大小；(2)若b4，且ca，求ABC的面积.21、 已知向量(sin，1)，(cos，cos2).(1)若1，求cos(x)的值；(2)记f(x)，在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2ac)cosBbcosC，求函数f(A)的取值范围.三角函数、三角变换、解三角形、试题答案（新课标）一 1解析：选C，由复数相等的条件得：sin=0,cos=1,所以的终边落在x轴的正半轴上，故选C；2解析：选B,，即 sin与cos异号 在二、四象限 又cos- sin0, cos sin在第二象限.3解析：选C, =(cos+cos)( cos-cos)+(sin+sin)( sin-sin)=cos+sin-cos=0选项C正确4 解析：选,，又即2|cos，.cos - sin= 5解析：选B,原式=6解析：选A,由原式得2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)=sinC sin(A-B)=0,A=B,因为故选A.7 解析：选,因为f(x)sin2x2cosxcos2x2cosx1(cosx1)22，又其在区间，上的最大值为1，结合选项可知只能取.,故选8解析： 选C,由题意可知，此函数的周期T2()，故，3，f(x)Acos(3x).f()Acos()Asin.又由题图可知f()Acos(3)Acos()(AcosAsin)0，f(0)Acos.9解析:选A,由题意，得2k，kZ.10解析：选B,f(cosx)=f(sin(-x)=sin(-3x)=-cos3x二 填空题11解析：cos-sin=答案：12、解析：,；，故最大值是13解析：由acosBbcosAc及正弦定理可得sinAcosBsinBcosAsinC，即sinAcosBsinBcosAsin(AB)，即5(sinAcosBsinBcosA)3(sinAcosBsinBcosA)，即sinAcosB4sinBcosA，因此tanA4tanB，所以4. 答案：414解析：由图象知，函数的周期为T，T. f()0，f()f()f()f()0. 答案：015解析：，x4，b(4，2)，(6，3)，(1，2y).()()，()()0，即63(2y)0，y4，故向量(8,8)，| |8.答案：8三、解答题16解析：(1)由已知条件得4cos+4sincos+sin=0,(2cos+sin)=0,所以2cos=-sin tan=-2(2) 3cos2+4sin2=-517解析：(1)列表取值：x0f(x)030-30描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图.(2)先把ysinx的图象向右平移个单位，然后纵坐标不变，把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再横坐标不变，把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f(x)的图象.18解析 ：y=sin2x+1=sin2x+=sin2x+cos2x+=(cossin2x+ sincos2x)+ = sin(2x+)+ y的最大值为+=,此时x满足2x+=2k+ ,kZ 即x=k+,kZ 所以y的最大值为，取得最大值时xx| x=k+,kZ19解析：(1)f(x)sin2xcos2xsin(2x).令2x，将x代入可得：1.(2)由(1)得f(x)sin(2x).经过题设的变化得到的函数g(x)sin(x).当x4k，kZ时，函数取得最大值. 令2kx2k，即4k，4k，kZ为函数的单调递减区间.20解析： (1) |2(cosAsinA)2(sinAcosA)242(cosAsinA)44cos(A)，44cos(A)4，cos(A)0，A(0，)，A，A.(2)由余弦定理知：a2b2c22bccosA， 即a2(4)2(a)224acos，解得a4，c8， SABCbcsinA4816.21解析：(1)1，即sincoscos