北京高考近5年三角、数列考题.doc

2017数列（2017年文科数列1道大题）（2017年理科数列1小题、1大题）2017年北京高考文科第15题15. 已知等差数列 和等比数列 满足 ，（1）求 的通项公式；（2）求和：15. （1） 等差数列 ，可得：，解得 ，所以 的通项公式：（2） 由（） 可得 ，等比数列 满足 ，可得 （等比数列奇数项符号相同），所以 ， 是等比数列，公比为 ，首项为 ， 2017年北京高考理科第10题（10）若等差数列和等比数列满足a1=b1=1，a4=b4=8，则=_.【答案】1【解析】2017年北京高考理科第20题20. 设 和 是两个等差数列，记 ，其中 表示 ， 这 个数中最大的数（1）若 ，求 ， 的值，并证明 是等差数列；（2）证明：或者对任意正数 ，存在正整数 ，当 时，；或者存在正整数 ，使得 ， 是等差数列20. （1） ，当 时，当 时，当 时，下面证明：对 ，且 ，都有 ，当 ，且 时，则 由 ，且 ，则 ，则 ，因此，对 ，且 ，又 ，所以 对 均成立，所以数列 是等差数列（2） 设数列 和 的公差分别为 ，下面考虑 的取值，由 ，考虑其中任意 （，且 ），则 下面分 ， 三种情况进行讨论，若 ，则 ，当 ，则对于给定的正整数 而言，此时 ，所以数列 是等差数列；当 ，则对于给定的正整数 而言，此时 ，所以数列 是等差数列；此时取 ，则 ，是等差数列，命题成立；若 ，则此时 为一个关于 的一次项系数为负数的一次函数，故必存在 ，使得 时，则当 时， 因此当 时，此时 ，故数列 从第 项开始为等差数列，命题成立；若 ，此时 为一个关于 的一次项系数为正数的一次函数，故必存在 ，使得 时，则当 时， 因此，当 时，此时 令 ，下面证明： 对任意正整数 ，存在正整数 ，使得 ，若 ，取 ， 表示不大于 的最大整数，当 时， 此时命题成立；若 ，取 ，当 时， 此时命题成立，因此对任意正数 ，存在正整数 ，使得当 时，；综合以上三种情况，命题得证2017三角（2017文科一小题一大题）（2017理科一小题一大题）2017年北京高考文科第9题9. 在平面直角坐标系 中，角 与角 均以 为始边，它们的终边关于 轴对称，若 ，则 9. 2017年北京高考文科第16题16. 已知函数 （1）求 的最小正周期；（2）求证：当 时，16. （1） 所以 ，所以 的最小正周期为 （2） 因为 ， 所以 ，所以 ，所以 2017年北京高考理科第12题（12）在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，=_.【答案】【解析】2017年北京高考理科第15题（15）（本小题13分）在ABC中， =60，c=a.（）求sinC的值；（）若a=7，求ABC的面积.【答案】（1）根据正弦定理（2）当时，ABC中 2016数列（2016文科一大题）（2016理科一小题一大题）2016年北京高考文科第15题15. 已知 是等差数列， 是等比数列，且 ，（1）求 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 项和15. （1） 等比数列 的公比 ，所以 ，设等差数列 的公差为 因为 ，所以 ，即 所以 （2） 由（1）知，因此 从而数列 的前 项和 2016年北京高考理科第12题12. 已知 为等差数列， 为其前 项和，若 ，则 12. 【解析】 为等差数列，所以 ，解得 所以 2016年北京高考理科第20题20. 设数列 ：，如果对小于 的每个正整数 都有 ，则称 是数列 的一个“ 时刻”记 是数列 的所有“ 时刻”组成的集合（1）对数列 ：，写出 的所有元素；（2）证明：若数列 中存在 使得 ，则 ；（3）证明：若数列 满足 ，则 的元素个数不小于 20. （1） 的元素为 和 （2） 因为存在 使得 ，所以 记 ，则 ，且对任意正整数 ，因此 从而 （3） 当 时，结论成立以下设 由（2）知 设 ，记 ，则 对 ，记 如果 ，取 ，则对任何 ，从而 且 又因为 是 中的最大元素，所以 从而对任意 ，特别地，对 ，因此 所以 因此 的元素个数 不小于 2016三角（2016文科一小题一大题）（2016理科一小题一大题）2016年北京高考文科第13题13. 在 中，则 13. 【解析】在 中，由正弦定理知 ，又 ，所以 ，解得 ，又 为锐角，所以 ，所以 2016年北京高考文科第16题16. 已知函数 的最小正周期为 （1）求 的值；（2）求 的单调递增区间16. （1） 因为 ， .所以 （2） 由 可知 ， ， ， 所以单调递增区间是 2016年北京高考理科第7题7. 将函数 图象上的点 向左平移 个单位长度得到点 若 位于函数 的图象上，则 A. ， 的最小值为 B. ， 的最小值为 C. ， 的最小值为 D. ， 的最小值为 7. A【解析】因为点 在 的图象上，所以 点 向左平移 个单位长度得到 因为 在 的图象上，所以 所以 ，所以 又 ，所以 2016年北京高考理科第15题15. 在 中，（1）求 的大小；（2）求 的最大值15. （1） 因为 ，所以 ，所以 （2） 在 中， 所以当 时， 的最大值为 2015数列（2015文科一大题）（2015理科一小题一大题）2015年北京高考文科第16题16. 已知等差数列 满足 ，（1）求 的通项公式；（2）设等比数列 满足 ，问： 与数列 的第几项相等?16. （1） 设等差数列 的公差为 因为 ，所以 又因为 ，所以 ，故 所以 （）（2） 设等比数列 的公比为 ，因为 ，所以 ，所以 由 得 ，所以 与数列 的第 项相等2015年北京高考理科第6题6. 设 是等差数列，下列结论中正确的是 A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 6. C【解析】数列 是等差数列，如数列 ，满足 ，则 ；如数列 ，满足 ，则 ；所以A，B不正确；对于等差数列 ，所以D不正确；等差数列若 ，则数列 是单调递增数列，有 ，所以C正确2015年北京高考理科第20题20. 已知数列 满足：，且 记集合 （1）若 ，写出集合 的所有元素；（2）若集合 存在一个元素是 的倍数，证明： 的所有元素都是 的倍数；（3）求集合 的元素个数的最大值20. （1） ，（2） 因为集合 存在一个元素是 的倍数，所以不妨设 是 的倍数由 可归纳证明对任意 ， 是 的倍数如果 ，则 的所有元素都是 的倍数如果 ，因为 或 ，所以 是 的倍数，于是 是 的倍数类似可得 ， 都是 的倍数从而对任意 ， 是 的倍数，因此 的所有元素都是 的倍数综上，若集合 存在一个元素是 的倍数，则 的所有元素都是 的倍数（3） 由 ， 可归纳证明 （）因为 是正整数， 所以 是 的倍数从而当 时， 是 的倍数如果 是 的倍数，由（2）知对所有正整数 ， 是 的倍数因此当 时，这时 的元素个数不超过 如果 不是 的倍数，由（2）知对所有正整数 ， 不是 的倍数因此当 时，这时 的元素个数不超过 当 时， 有 个元素综上可知，集合 的元素个数的最大值为 2015三角（2015文科一小题一大题）（2015理科一小题一大题）2015年北京高考文科第11题11. 在 中，则 11. 2015年北京高考文科第15题15. 已知函数 （1）求 的最小正周期；（2）求 在区间 上的最小值15. （1） 因为 ，所以 的最小正周期为 （2） 因为 ，所以 当 ，即 时， 取得最小值所以 在区间 上的最小值为 2015年北京高考理科第12题12. 在 中，则 12. 【解析】因为 中，所以 ，所以 ，所以 2015年北京高考理科第15题15. 已知函数 （1）求 的最小正周期；（2）求 在区间 上的最小值15. （1） 由题意得 ，所以 的最小正周期为 （2） 因为 ，所以 当 ，即 时， 取得最小值所以 在区间 上的最小值为 2014数列（2014文科一大题）（2015理科两小题一大题）2014年北京高考文科第15题15. 已知 是等差数列，满足 ， ，数列 满足 ， ，且 是等比数列（1）求数列 和 的通项公式；（2）求数列 的前 项和15. （1） 设等差数列 的公差为 ，由题意得： 所以 设等比数列 的公比为 ，由题意得： 解得 所以 从而 （2） 由（1）知， 数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 所以数列 的前 项和为 2014年北京高考理科第5题5. 设 是公比为 的等比数列，则 “ ” 是 为递增数列的 A. 充分且不必要条件B. 必要且不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. D2014年北京高考理科第12题12. 若等差数列 满足 ，则当 时， 的前 项和最大12. 【解析】根据等差数列的性质，得 ，于是 ，即 ，故 为 的前 项和中的最大值2014年北京高考理科第20题20. 对于数对序列 ，记 ，其中 表示 和 两个数中最大的数（1）对于数对序列 ，求 ， 的值；（2）记 为 四个数中最小值，对于由两个数对 ， 组成的数对序列 ， 和 ，试分别对 和 时两种情况比较 和 的大小；（3）在由 个数对 ， 组成的所有数对序列中，写出一个数对序列 使 最小，并写出 的值（只需写出结论）20. （1） （2） 当 时，因为 是 中最小的数，所以 ，从而当 时，因为 是 中最小的数，所以 ，从而综上，这两种情况下都有 （3） 数对序列 （不唯一）对应的 最小，此时 2014三角（2014文科一小题一大题）（2014理科一小题一大题）2014年北京高考文科第12题12. 在 中，则 ； 12. ，2014年北京高考文科第16题16. 函数 的部分图象如图所示（1）写出 的最小正周期及图中 ， 的值；（2）求 在区间 上的最大值和最小值16. （1） 的最小正周期为 ，（2） 因为 ，所以于是，当 ，即 时， 取得最大值 ；当 ，即 时， 取得最小值 2014年北京高考理科第14题14. 设函数 （ ， 是常数， ）若 在区间 上具有单调性，且 ，则 的最小正周期为 14. 【解析】记 的最小正周期为 由题意知 ，又 ，且 ，可作出示意图如图所示（一种情况）： 所以 ， ，所以 ，所以 2014年北京高考理科第15题15. 如图，在 中， ， ，点 在 上，且 ， （1）求 ；（2）求 的长15. （1） 因为 所以（2） 在 中 ， 即 解得 在 中， 所以 2013数列（2013文科一小题一大题）（2013理科一小题一大题）2013年北京高考文科第11题11. 若等比数列 满足 ，则公比 ；前 项和 11. ，2013年北京高考文科第20题20. 给定数列 ，对 ，该数列前 项的最大值记为 ，后 项 ， 的最小值记为 ，（1）设数列 为 ，写出 ， 的值；（2）设 ， 是公比大于 的等比数列，且 ，证明：， 是等比数列；（3）设 ， 是公差大于 的等差数列，且 ，证明：， 是等差数列20. （1） ，（2） 因为 ，公比 ，所以 ， 是递增数列因此，对 ，故 ，因此， 且 ，即 ， 是等比数列（3） 设 为 ， 的公差对 ，因为 ，所以又因为 ，所以从而 ， 是递增数列因此又因为所以因此 ，所以所以因此对 ， 都有即 ， 是等差数列2013年北京高考理科第10题10. 若等比数列 满足 ，则公比 ；前 项和 10. ，2013年北京高考理科第20题20. 已知 是由非负整数组成的无穷数列，该数列前 项的最大值记为 ，第 项之后各项 的最小值记为 ，（1）若 为 ，是一个周期为 的数列（即对任意 ），写出 的值；（2）设 是非负整数，证明： 的充分必要条件为 是公差为 的等差数列；（3）证明：若 ，则 的项只能是 或者 ，且有无穷多项为 20. （1） （2） （充分性）因为 是公差为 的等差数列，且 ，所以因此（必要性）因为 ，所以又因为 ，所以于是，因此即 是公差为 的等差数列（3） 因为 ，所以故对任意 假设 中存在大于 的项设 ，并且对任意 又因为 ，所以于是，故与 矛盾所以对于任意 ，有 ，即非负整数列 的各项只能为 或 因为对任意 ，所以 故因此对于任意正整数 ，存在 满足 ，且 ，即数列 有无穷多项为 2013三角（2013文科一小题一大题）（2013理科一小题一大题）2013年北京高考文科第5题5. 在 中，则 A. B. C. D. 5. B【解析】由正弦定理： 及已知得 所以 2013年北京