第07讲__旋转变换(含解答).doc

精品资料为你而备九年级数学竞赛专题 第七讲 旋转变换一、填空题1、如图1，ABC中，M为BC中点，D、E分别在AB、AC上，DMME，则BD+CE_DE（用“”“；2120；345；425+12；略解：1 延长DM到F，使MF=DM，连结EF、CF（如图）易证BDMCFM（SAS）所以BD=CF易证DEMFEM（SAS）所以DE=FE在ECF中，EC+FCEF所以BD+ECDE2 将ABP绕A点逆时针旋转60，使AB与AC重合，P落到P点（如图），则有A PCAPB所以A P=AP=2， PC=PB=2且PAC=PAB，所以PAP=BAC=60所以AP P是等边三角形，所以PP=2，P+ PC=16=P C所以PPC=90，所以PPC=60所以APC=APP+PPC=1203在ABC外作DBA=C，且DB=QC，连结DP，DA（如图，即将AQC绕点A放心转90）所以DBP=2C=90所以DP=DB+BP=QC+BP=PQ所以DP=PQ易证ABDAC（SAS）所以DA=QA，1=2所以ADPAPQ（SSS）所以1+3=PAQ因为2+3+PAQ=90所以1+3+PAQ=90所以PAQ=454设PB=3，PA=4，PC=5，将PBC绕B点逆时针旋转60至BDA（如图），则ADBCPB因为DBA=PBC，DB=PB=3，AD=CP=5所以DBP=ABC=60所以DBP是等边三角形所以A P+DP=4+3=25=AD所以APD=90，所以APB=150延长AP，作BEAP于E（如图）则BPE=30，所以BE=BP=，所以PE=，所以AE=4+所以=25+12二、1略证：连结AD（如图）易证AEPF是矩形，所以AE=FP因为AB=AC，BAC=90，D为BC中点，所以AD=BC，1=2=45=3所以EAD=FCD=135，CPF=45=3，所以CF=PF=AE，所以ADECDF（SAS）所以DE=DF此题也可证BDEADF（BE=AF，B=FAD，BD=AD）2略证：易证DAQ=CDP又因为AD=DC，ADC=DCB=90所以ADQDCP（ASA）所DQ=CP由正方形怀质可知OD=OC，ODQ=OCP=45所以DOQCOP（SAS）所以1=2所以2+3=1+3=90所以OPOQ此题实际上将正方形绕O点顺时针旋转90，旋转后Q点即落在P点处3略解：连结DE、DF（如图）因为D、E、F是各边中点，所以DE平行且等于AC，DF平行且等于BC因为AB=BC=CA所以A=B=C=60所以DE=DF，EDF=DFA=C=60因为等边DHG所以DG=DH，HDG=60=EDF，所以EDF-FDG=HDG-FDG，即1=2所以DEGDFH（SAS）所以FH=EG4略解：延长BC到F，使CF，连结（如图）所以BF=BC+CF=BC+DE=1因为BE=AC，DEB=ACF=90，DE=CF，所以BDEAFC（SAS）所以AF=BD=，B=1所以AF=BF因为B+2=90所以1+2=90所以ABC=305略解：如图因为等边ABC和等边DCE所以ACB=DCE=ABC=ECD=60AC=BC，EC=DC所以1=2，ACEBCD（SAS）所以AEC=BDC=60+3所以AEB=360-AEC-CED-BED =360-（60+3）-60-BED =360-120-（3+BED） =360-120-（180-BED） =360-120-（180-40） =1006略解：将AOB绕点A逆时针旋转60至ADC的位置，连结OD（如图），则有AOBADC，所以AD=AO，CD=BO，ADC=AOB=110易证AOD为等边三角形，所以OD=OA，所以OCD就是以OA、OB、OC为边组成的三角形因为AOB=110，BOC=120，所以AOC=130所以COD=AOC - AOD=70，ODC=ADC-ADO=AOB-AOD=50所以OCD=180-COD-ODC=60所以，以OA、OB、OC为边组成的三角形三内角度数分别为50，60，707略解：延长CB到G，使BG=DF，连结AG（如图）又因为AD=AB，D=ABG=90所以ADFABG（SAS）所以5=G，1=3因为1=2，所以2=3所以2+4=3+4，即FAB=EAG因为CDAB，所以5=FAB=EAG所以EAG=G所以AE=EB+BG=EB+DF8略解：延长CB到G，使GB=DF，连结AG（如图）又因为AB=AD，ABG=D=90所以ABGADF（SAS）所以3=2，AG=AF因为BAD=90，EAF=45所以1+2=45所以1+3=45=EAF又因为AE=AE，所以AGEAFE（SAS）所以GB+BE=EF，所以DF+BE=EF因为AEFAGE所以所以又所以9略解：延长DM到F，使MF=DM，连结CF、EF（如图）又因为ME=ME，DME=FME=90所以DMEFME所以DE=FE因为BM=CM，BMD=CMF，DM=FM所以BDMCFM所以B=1，BD=FC因为B+2=90所以1+2=90所以所以所以DE=10略解：延长AC到E，使CE=BM，连结DE（如图）因为BD=DC，BDC=120所以CBD=BCD=30因为ABC=ACB=60所以ABD=ACD=DCE=90所以BMDCDE所以BDM=CDE因