考研数二真题及解析.doc

Born to win1992年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1) 设其中可导,且,则.(2) 函数在上的最大值为.(3) .(4) .(5) 由曲线与直线所围成的图形的面积.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 当时,是的 ( )(A) 低阶无穷小 (B) 高阶无穷小(C) 等价无穷小 (D) 同阶但非等价的无穷小(2) 设,则 ( )(A) (B) (C) (D) (3) 当时,函数的极限 ( )(A) 等于2 (B) 等于0(C) 为 (D) 不存在但不为(4) 设连续,则等于 ( )(A) (B) (C) (D) (5) 若的导函数是,则有一个原函数为 ( )(A) (B) (C) (D) 三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.)(1) 求.(2) 设函数由方程所确定,求的值.(3) 求.(4) 求.(5) 求微分方程的通解.四、(本题满分9分)设,求.五、(本题满分9分)求微分方程的通解.六、(本题满分9分)计算曲线上相应于的一段弧的长度.七、(本题满分9分)求曲线的一条切线,使该曲线与切线及直线所围成的平面图形面积最小.八、(本题满分9分)已知,试证：对任意的二正数和,恒有成立.1992年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】【解析】由复合函数求导法则可得 ,于是.【相关知识点】复合函数求导法则:如果在点可导,而在点可导,则复合函数在点可导,且其导数为 或 .(2)【答案】【解析】令,得内驻点.因为只有一个驻点,所以此驻点必为极大值点,与端点值进行比较,求出最大值.又 ,可见最大值为.(3)【答案】【解析】由等价无穷小,有时,故,上式为“”型的极限未定式,又分子分母在点处导数都存在,由洛必达法则,有原式.(4)【答案】【解析】令,原式(分项法) (凑微分法).(5)【答案】【解析】联立曲线和直线的方程,解得两曲线的交点为,则所围图形面积为,再利用分部积分法求解,得.注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题,如果选择不当可能引起更繁杂的计算,最后甚至算不出结果来.在做题的时候应该好好总结,积累经验.【相关知识点】分部积分公式：假定与均具有连续的导函数,则 或者 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(B)【解析】为“”型的极限未定式,又分子分母在点处导数都存在,连续运用两次洛必达法则,有 ,故选(B).【相关知识点】无穷小的比较：设在同一个极限过程中,为无穷小且存在极限 ,(1) 若称在该极限过程中为同阶无穷小；(2) 若称在该极限过程中为等价无穷小,记为；(3) 若称在该极限过程中是的高阶无穷小,记为.若不存在(不为),称不可比较.(2)【答案】(D)【解析】直接按复合函数的定义计算.所以应选(D).(3)【答案】(D)【解析】对于函数在给定点的极限是否存在,需要判定左极限和右极限是否存在且相等,若相等,则函数在点的极限是存在的.,.,故当时函数没有极限,也不是.故应选(D).(4)【答案】(C)【解析】 ,故选(C).【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：若,均一阶可导,则.(5)【答案】(B)【解析】由的导函数是,即,得, 其中为任意常数.所以的原函数,其中为任意常数.令,得.故选(B).三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.)(1)【答案】【解析】此题考查重要极限：将函数式变形,有.(2)【答案】【解析】函数是一个隐函数,即它是由一个方程确定,写不出具体的解析式.方法1：在方程两边对求导,将看做的函数,得,即 ,把代入可得.两边再次求导,得,把,代入得.方法2：方程两边对求导,得；再次求导可得,把代入上面两式,解得,.【相关知识点】1.复合函数求导法则:如果在点可导,而在点可导,则复合函数在点可导,且其导数为 或 ,2.两函数乘积的求导公式：.3.分式求导公式： .(3)【答案】 其中为任意常数.【解析】方法1：积分的凑分法结合分项法,有 其中为任意常数.方法2：令,则,其中为任意常数.方法3：令,则, 此后方法同方法1,积分的凑分法结合分项法,其中为任意常数.(4)【答案】【解析】注意不要轻易丢掉绝对值符号；绝对值函数的积分实际上是分段函数的积分.由二倍角公式 ,则有.所以 .(5)【答案】,其中为任意常数【解析】所给方程为一阶线性非齐次方程,其标准形式为 .由一阶线性微分方程的通解公式,得 其中为任意常数.【相关知识点】一阶线性非齐次方程的通解为,其中为任意常数.四、(本题满分9分)【解析】分段函数的积分应根据积分可加性分段分别求积分.另外,被积函数的中间变量非积分变量,若先作变量代换,往往会简化计算.令,则当时,；当时,于是五、(本题满分9分)【解析】所给方程为常系数的二阶线性非齐次方程,对应的齐次方程的特征方程有两个根为,而非齐次项为单特征根,因而非齐次方程有如下形式的特解,代入方程可得,所求解为,其中为任意常数.【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设是二阶线性非齐次方程的一个特解.是与之对应的齐次方程的通解,则是非齐次方程的通解.2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解,可用特征方程法求解：即中的、均是常数,方程变为.其特征方程写为,在复数域内解出两个特征根；分三种情况：(1) 两个不相等的实数根,则通解为(2) 两个相等的实数根,则通解为(3) 一对共轭复根,则通解为其中为常数.3.对于求解二阶线性非齐次方程的一个特解,可用待定系数法,有结论如下：如果则二阶常系数线性非齐次方程具有形如的特解,其中是与相同次数的多项式,而按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.如果,则二阶常系数非齐次线性微分方程的特解可设为,其中与是次多项式,而按(或)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为或.六、(本题满分9分)【解析】由于,所以 .【相关知识点】平面曲线弧长计算：已知平面曲线的显式表示为,则弧微分为 ,弧长,其中在有连续的导数.七、(本题满分9分)【解析】过曲线上已知点的切线方程为,其中当存在时,.O2如图所示,设曲线上一点处的切线方程为,化简即得 .面积 ,其一阶导数 .令解得唯一驻点,而且在此由负变正,即在单调递减,在单调递增,在此过程中在时取极小值也是最小值,所以将代入先前所设的切线方程中,得所求切线方程为.八、(本题满分9分)【解析】证法一：用拉格朗日中值定理证明.