2016线性变换习题库.doc

线性变换习题1、设三维线性空间v上的线性变换在基下的矩阵为，则在基下的矩阵为 。解：设基到基下的矩阵为，即有。而，则，得到。2、设是n维线性空间v上的线性变换，与分别表示的值域与核，证明下列条件等价：（1）；（2）；（3）若是的一组基，则是的一组基；（4）秩=秩.（注：表示直和）证明：显然成立令，设的一组基为，并扩充为的一组基，。由于， ，则，即线性无关，从而线性无关。则，故1）成立。令，则。存在，使得。又因为是的一组基，则存在，满足，。把扩充为的一组基，则为的一组基。即，从而，故，则线性无关。又因为，则，故，从而为的一组基。见第4题。3、设是维线性空间v上的线性变换，记，。求证下列命题等价：（1）；（2）；（3）；（4）。证明：见第2题。4、设为维线性空间的线性变换关于某基的矩阵，证明：的秩的秩当且仅当。 证明：设。因为，且对于，存在，使得。设，其中，。即，。即。从而有，故的秩的秩。反过来，设秩=秩，则秩,即秩。于是，但，从而。又因为，存在，有，且，即。，则，即，即证。5、 给定上二维线性空间的线性变换，在一组基下的矩阵表示为，。求的不变子空间。 解：由。当时，特征值为，。对应的特征向量分别为，。故不变子空间有，。 当时，不存在特征根，则不变子空间为。6、 设是数域上的一个维线性空间，是的一个基，用表示由生成的线性子空间，令（1） 证明是的子空间（2） 证明，（3） 设上线性变换在基下的矩阵是置换矩阵（即：的每一行与每一列都只有一个元素为1，其余元素全为0），证明与都是的不变子空间。证明：（1），则，故是的子空间。（2），而，则。若有交集的话，则，而这时矛盾的。则，从而。（3），不妨设置换矩阵，则，。，则；，则。故与都是的不变子空间。7、设是维线性空间上可逆线性变换，（1） 试证的逆变换可表成的多项式。（2） 如令为的特征多项式，试证当多项式与互素时，是可逆线性变换。证明：（1），（是可逆变换）。又因为，则，故。（2），则存在，使得，即，故，则是可逆线性变换。8、 设与是向量空间的子空间，且有（即是与的直和），若定义映射： 其中，. 证明：1）是的线性变换；2），3） （零变换）， （的恒等变换）。 证明：1），则，则是的线性变换。同理可得是的线性变换。2），则，同理可证。3），且，则。又由于，其中，其中，从而。9、已知中线性变换对基的作用为.则在下的矩阵为 .解：，则，即。10、为数域 为的线性变换，,且对任,有，求的全部特征值。若，中是否存在一组基，使在这组基下的矩阵为对角矩阵?为什么?解：令，由，得，即，故。特征多项式为，则为全部特征值。若，又由于，线性变换有两个不同的特征值，故中存在一组基，使在这组基下的矩阵为对角矩阵。11、设，其中为任意3维实向量，则线性变换在下的矩阵表示为解：。12、设是n维线性空间的一组基，对任意n个向量，证明：存在唯一的线性变换使得。证明：设，定义线性变换。令，则，则是一个线性变换。又，即存在唯一的线性变换使得。13、设是数域p上的3维线性空间，线性变换在的基下的矩阵为（1） 求线性变换在的基下的矩阵（2） 求线性变换的特征值和特征向量（3） 线性变换可否在的某组基下矩阵为对角形，为什么？证明：（1），则。则在的基下的矩阵为。（2）在的基下的矩阵，则特征多项式，故特征值为（三重）。当时，由得基础解系为，则属于的线性无关的特征向量为，属于的全部特征向量为，其中。（3）由于（的重数），线性变换不可在的基下矩阵化为对角形。14、设是数域p上的3维线性空间，线性空间在的基下的矩阵为，问可否在的某组基下矩阵为，为什么？解：，则具有相同的特征值。而得到基础解系为，线性无关的特征向量为，。特征向量的个数小于特征值的重数，故不可以对角化。同理不可以对角化。故不能在的某组基下的矩阵为。15、设是维向量空间,是上的线性变换(即)，且有个互异的特征根.证明:的充要条件是是(恒等变换),的线性组合。证明：由是,的线性组合。可令，则，而，故。由，令，则，故。即。16、设为数域上线性空间上的线性变换,多项式互素,且满足.求证且为的不变子空间,这里，其中表示的核。证明：由于表示的核，则可得，；可得，。而，则存在，。，有。而又因为，则，即。则。，有，则。故，从而有。17、设是数域上全体2阶矩阵所构成的线性空间,给定一矩阵定义上的变换如下:(1) 证明:为上的一个线性变换.(2) 取的一组基求在此组基下的矩阵.(3) 求证如果可相似对角化,则可找到的一组基使在此组基下的矩阵为对角阵.证明：设为的一组基，取向量，则，则是一个线性变换。（2）令，则，所求矩阵为。（3）设可对角化，即存在可逆矩阵，使得，即存在也是的一组基，且，从而。18、设看成上的线性空间，取定。对任，令。求证:(1) 是的线性变换;(2) 当时,可逆的充要条件是证明：，,，则是的线性变换。（2），则，从而有先证充分性：若，则存在，并且,在上定义线性变换为，可证明也是的线性变换。且，其中是上的恒等变换。则可逆。再证必要性。由于可逆，在存在可逆变换，使得。取级单位阵有，两边去行列式，则，即。19、设是线性空间的线性变换且。令.证明:。证明： 由于，又因为，则，即。但是，则。，存在，。而，则，即，从而有。综上可得。20、设是复数域上的维线性空间,是的线性变换,且,证明:(1) 如果是的特征值,那么,(的特征子空间)是的不变子空间;(2) 至少有一个公共的特征向量。证明：（1）令，则，则，即，则是的不变子空间。（2）是的不变子空间，令，则，。而，即，从而至少有一个公共的特征向量。21、设是数域所有3维列向量构成的线性空间,.定义的映射. (1) 证明是线性变换;(2) 求的核和值域的维数;(3) 求的特征值和对应的特征向量。 证明：（1）由，,，则是的线性变换。（2）由可得基础解系为。则，。（3）得特征值为，。设线性空间的一组基为。当时，得基础解系为，则属于1的全部的特征向量为，其中为任意非零常数。得基础解系为，则属于的全部的特征向量为，其中为任意非零常数。22、令为数域上一维线性空间, 是上线性变换,且在中有个不同的特征根证明: 线性无关的充分必要条件是其中是相应于的特征向量 ,。证明：其中是相应于的特征向量。则，。令，且由于线性无关，则有，系数矩阵为范德蒙德行列式，由于互不相同，则，则线性无关。反之，若线性无关，则。，则，。且是相应于的特征向量。23、 设数域上三维线性空间的线性变换在基下的矩阵是,则在基下的矩阵是_解：，其中。令。而，其中，则.24、设是数域上偶数维线性空间上的线性变换,那么与具有不相同的( b )特征值; 行列式; 特征多项式; 在同一基下的矩阵解：设，一组基为，且。则即与具有相同的特征多项式，特征值，在同一基下的矩阵相同。25、设表示实数域上的次数小于3的多项式,再添上零多项式构成的线性空间,而是的一组基,线性变换满足 (1) 求在已知基下的矩阵;(2) 设求。证明：（1），则在这组基下的矩阵为。（2），则。26、 设使二维列向量空间的线性变换,设定义(1) 求值域的基与维数;(2) 求核的基与维数;(3) 求证:证明：（1）。设的一组基为，在这组下的矩阵为。而，则一组基为。（2）由得基础解系为，故核的基为与维数为1。（3）显然有，而，则。27、 设是维线性空间上的线性变换。若则(1) 存在个向量使线性无关.(2) 存在的一个非恒等线性变换,使得。证明：（1）由设的一组基为，并扩充为的一组基为。则，又因为，故，从而线性无关。即存在个向量使线性无关。（2），。则属于的特征值。，。属于的一个特征值。则存在一个非零恒等变换，使得是幂零变换，满足，。，。则，即证。28、设为数域上二阶方阵，定义上变换如下：1）证明为线性变换；2）求在基下的矩阵，其中 。3）证明必以0为特征值，并求出0作为的特征值得重数。证明：（1），则为线性空间的一个线性变换。（2），则在基下的矩阵为。（4），显然是线性变换的四重特征根。29、给定标准度量。求出中所有保持下列正方形（其中，）整体不变（即正方形四条边上的点经过变换后仍落在这四条边上）的正交变换。证明：取上的一组标准正交基，。设上的变换在下的矩阵为。根据题意得不仅是正交变换，而且或者，而或者。满足这样条件的线性变换对应的矩阵为，可以分别取为，。他们的几何意义分别对应的是表示逆时针以坐标原点旋转（）。表示关于轴对称变换，表示关于轴对称变换，表示关于轴对称变换，表示关于轴对称变换。30、设为维复线性空间，是上一些线性变换组成的非空集合，已知中的元素没有非平凡的公共不变子空间，又线性变换满足证明：必存在复数使得，其中为恒等变换。证明：假设不是数乘变换，则中必存在一个特征子空间，且是的一个非平凡子空间。由于，故是的一个不变子空间，这与中的元素没有非平凡的公共不变子空间矛盾。故是一个数乘变换。31、在实维线性空间中是否可能存在线性变换满足？其中为单位变换。证明你的结论。证明：假设存在线性变换满足条件，且设属于特征值的特征向量为，即，则。从而有，由于，则在实数域上无解。这与存在特征值矛盾。故不可能存在这样的线性变换。32、设为维线性空间的线性变换，及分别为的象空间以及核空间，证明。证明：设的一组基为，它们的原像为，即，。取的一组基，则 为的一组基。，有。又因为为的一组基，则存在，使得，即。则有，即，从而为的一组基。而，则。由于，则。33、设和是线性空间的两组基，且到的过度矩阵是，若是上的线性变换，且则在下的矩阵是（ ）。解：，有，即在下的矩阵是。34、设是4维欧式空间，是的一个正交变换。若没有实特征值，求证：可分解为两个正交的二维不变子空间的直和。证明：是4维空间，则的特征多项式为4次，又没有实特征值，从而特征多项式一定是两个实数域不可约二次多项式的乘积。在4维复空间内一定存在复特征值，且其虚部不为0，共轭成对，令为，都不为0，易知共轭的特征值对应的特征向量也共轭，从而，一对共轭特征值对应于两个4维实数列向量，且a(u+iv)=(a1+ib1)(u+iv)，则，。线性无关，否则令，则可得到，这是不可能的，所以线性无关。由此可得的生成子空间即为在下的一个不变子空间，同理可得另一个不变子空间。因为不同特征值的特征向量线性无关，从而这两个不变子空间的直和为。进而可以将不变子空间的基标准化，得到两个这个正交的不变子空间。35、设为中线性变换，且，证明当且仅当，其中为的核。证明：，则，。由的任意性，则，即。，则，同理。36、设为中线性变换，且，。证明，其中为单位变换。证明：，则。37、设是数域上维线性空间的一个线性变换，证明：可以在中选取这样的二个基和，使得对v中的任意向量，若，则，这里。证明：设为的一组基，且在这组基下的矩阵为。不妨设，故存在可逆矩阵，使得。令，则，从而有。，则令，故，则，。从而存在和即为所求的的两组基。38、 已知上的一个线性变换在一组基下的矩阵为：.(1) 求其特征值及对应的特征向量；(2) 求的一组基使的矩阵对角化；解：（1）设，则根据特征多项式，特征值为。当 时 ，由得基础解系为，则线性无关的特征向量为，。当 时 ，由得基础解系为，则线性无关的特征向量为，。（2）令为到的过渡矩阵，则在基的矩阵为对角阵。39、设是数域上的维线性空间，是的个非零向量，为上的线性变换，满足：（1） 证明：是的一个基。（2） 对于求线性变换的值域（也成为的像）的一个基。证明：1）假设线性相关，即，。，这是矛盾的，故线性无关。假设中个向量线性无关，考虑个。不妨令，则，即，则，从而。即线性无关。有归纳假设可得线性无关，即为的一组基。2），其中。，其中中前列和后行元素均为零。即秩秩。则。40、已知全体实的2维向量关于下列运算构成上的线性空间： （1） 求的一组基。（2） 定义变换，证明：是一个线性变换，并求在的一组基下的矩阵表示。证明：1）令，其中为不为零的实数。则，即， ，解得，即线性无关。，则，即，若，则，故，线性相关。若，则，至少一个不为零。从而为线性空间的一组基。2），。，即是一个线性变换。为其一组基。且。41、设，是上的线性空间，是线性变换，使得，求象空间和核空间的基和维数。解：对于进行讨论，当时，当，则，其中，表示第行。秩秩， 。，则。当时，则，其中，秩秩，。同理：时，秩秩，。，秩秩，。，秩秩，。42、线性变换使。则在基下的矩阵是： （ ）解：，则b43、设是欧氏空间，是的对称变换，证明：如果是的不变子空间，则在中的正交补也的不变子空间。证明：是不变子空间，。，。又因为是的对称变换，即证。44、设是维线性空间上的线性变换，证明与有相同的特征值。证明：令，是属于特征值的特征向量。，则的特征值也为。45、设数域上维线性空间上的线性变换，但，。证明：（1）所有与可交换的作一线性变换，即都可表为如下形式：，其中是上的恒等变换，。（2）如果记表示上的所有线性变换构成的向量空间，则是维线性空间，并求的一组基。证明：（1）由，但，则。从而，即，两边作用于可得。（2）可得，。即，则，又因为中，则的一组基。46、数域上维线性空间上的线性变换关于的基的矩阵为对角阵，则向量是线性变换的_（特征向量）47设是数域上的维线性空间的线性变换，如果存在向量，使得，但证明：（1）线性无关，（2）在某基下的矩阵为 证明：（1）令，把等式两边作用，则，故线性无关。（2），则。48、对，定义其上变换如下：（1）、证明是一个线性变换；（2）求在基下的矩阵；（3）求的值域，给出它的一个基和维数；（4）把核的一个基扩张为的一个基，并求在该基下的矩阵。解：（1）任取，则可以验证加法和数乘满足，即是一个线性变换，这里省略。（2），。（3），即。（4），即可得基础解系为，。则。由于，线性无关，因此也可以作为的一个基。且49、设是维线性空间的线性变换，是的子空间，表示由中向量的象组成的子空间，证明：维（）+维维。证明：由于，。根据，则。50、设，是二维向量空间的一组基，。是上的一个线性变换，且，。（1）写出线性变换在基之下的矩阵。（2）求出线性变换的逆变换。（3）求出线性变换的特征值和特征向量。（4）求出线性变换的全部不变子空间。解：（1）（2）。则在基下的矩阵为。（3）令，则，特征值为。属于5的特征向量为，属于6的特征向量为。（4）的全部不变子空间：，。51、如果都是幂等（，）的线性变换。证明：（1）如果，则也是幂等变换。（2）如果是幂等变换，则。证明：（1）（2）则或。若，则，即，这是矛盾的。则。52、证明：数域上的维线性空间的任一子空间都是某一线性变换的核。证明：令的一子空间为，且。若结论显然成立。否则的话，令的一组基为，把看做是的基础解系，则秩，由于，则存在在某基下的矩阵为，即。53、设是数域上的维线性空间，是的线性变换，是的两个非平凡子空间，且试证明：是可逆线性变换的充要条件是。证明：设为的一组基，为的一组基，则是的一组基。且。先证必要性：由于是可逆线性变换，则是可逆的。是的一组基。，则。再证充分性：，设，。则，从而，又由于，从而线性无关，故，则是可逆的，从而是可逆线性变换。54、设的线性变换在标准基下的矩阵为. （1）求的特征值和特征向量。（2）求的一组标准正交基，使得在此基下的矩阵为对角矩阵。解：（1）的特征多项式为，故特征值为(-1(二重)，5).把代入齐次线性方程组得，基础解系为，则属于-1的两个特征值为，而属于-1的全部特征向量为，不全为零。把代入齐次线性方程组得，基础解系为，则属于5的两个特征值为，而属于5的全部特征向量为，不全为零。（2）。标准化为，。令，有。55、 在次数不超过的复系数多项式线性空间中，定义线性变换，其中是的次项系数（若的次数小于，则）。（1） 写出线性变换在基下的矩阵；（2） 是不是可逆变换？如是，求其逆变换的矩阵（基同上）；如果不是，请说明理由。（3） 是否存在使的矩阵为对角形的基？为什么？证明：（1），。故。其中。（2），则是可逆变换。（3）。在复数域内的根为，其中。则可对角化，即。56、证明：线性变换的特征子空间维数不超过的重数。证明：设维，的重数为,在中取一组扩充为的一组基，由，故由，知至少是重，故。57、设是阶实矩阵,若对于任意维非零实向量,恒有。证明：设有实特征值,是有 实特征值,则，由条件知，所以。若有虚特征值，则也有虚特征值，所以，。 58、设为幂零矩阵，且，则。证明：（1）当是可逆矩阵时，由，知，因为为幂零矩阵，所以存在正整数，使得，则，所以。即，从而的特征值全为零，所以的特征值全为1，则，所以。（2）当不是可逆矩阵时，存在，所以，因为两端都是关于的连续函数，故当，。58、设，证明：可对角化。证明：设秩，则秩，对时，解，因为，所以有个线性无关的特征向量。对时，解，因为，所以有个线性无关的特征向量。注意到，知上述个特征向量也是线性无关的，故可对角化。注意：本体结论的应用。如矩阵，满足，则可对角化，是因为秩秩；矩阵，满足，则可对角化。是因为秩秩。59、设是欧式空间的一个正交变换，构造子空间证明：。证明：任意的，任意的，则，所以。由的任意性，知，所以。任意的，考察，所以，从而，所以。综上：。60、设阶实方阵，有，证明：的每一个实特征值的绝对值。证明：设是的属于的特征向量，则，记。因为，所以，则取的个方程，即，故。61、 已知中线性变换，求的值域和核。解：设，则，其中。故所有的反对称矩阵充满的值域，所有的对称矩阵充满的核。62、设是维线性空间上的线性变换，且，求证：上的对称变换。证明：在中取一组标准正交基，设。因为所以，即。设，从而，所以，故上的对称变换。设上的对称变换，则，即，从而为正交矩阵，所以为正交变换。63、设是维线性空间上的线性变换，且，若有个互异的特征值，有个互异的特征值，则至少有个公共的不变子空间。证明：设，令是的个互异的特征值，因为，所以是的不变子空间，又是的不变子空间，所以是的个公共的不变子空间。64、设是数域上的维线性空间，为一组基，（1）证明：是的子空间，（2）。（3）设是上的线性变换，在的基下的矩阵是一个置换矩阵，则是的不变子空间。证明：（1）证明略。（2）任意的，则，则，即。，由，由，知，即。故。（3）.任意的，则。由，知所以，故是的不变子空间。 任意的，所以，即，故是的不变子空间。64、设阶方程满足，证明：（1）不是的特征值。（2）若相似于对角形，则存在可逆矩阵为对角形。证明：（1）若是的特征值，则存在是的属于的特征向量，即。又因为，所以，即，故，这与相矛盾，从而假设不成立，故不是的特征值。（2）因为相似于对角形，所以存在可逆矩阵，又因为，所以，即，从而。因为，所以可逆，从而。65、设是维线性空间，是上的线性变换，证明存在的另一个线性变换，使得，并且维。证明：设，扩充成，则，任取定义，显然是线性变换。所以，则维，从而。，所以。66、设为阶实方阵，证明若对于任何维实向量，都有，则的特征值的实部小于零。证明：设是的特征值，是的属于的特征向量。所以，从而。则，所以故，所以。 67、设为数域上的维线性空间上的一个线性变换，且，证明：；，则。证明：（1）任意的，则，所以，故。又任意的，则，所以，故，故。（2）任意的，有，显然，所以。又显然，故。设任意的，则，所以，所以，故，故。（3）任意，由（2）知。所以 。因为是的不变子空间。故，所以。故。又是的不变子空间，知。所以。反之，因为，所以。，由，知。所以，所以任意的。综上：。68、设是有限维线性空间，是的非零子空间，证明：存在唯一的的子空间，使。 证明：设，（反证）若，则，在扩充成，令，则有 ，令，则有 仍为的基，故。但是，这与题意矛盾，所以假设不正确，从而命题成立。69、设，已知有3个线性无关的特征向量，是的二重特征根，试求可逆矩阵，使为对角形。解：因为有3个线性无关的特征向量，所以可以对角化。又是的二重特征根，所以。注意到 ，知，故。70、用表示元素全为的阶矩阵，设是有理数域上的多项式，令，（1）求的所有特征值。（2）求的所有特征子空间。（3）是否可以对角化。若可以，求可逆矩阵，使得为对角形。解：（1）由 =知的特征值为。（2）当即，。所以，故。当时，解，即，解方程组得。故特征向量为，所以的特征子空间为及。（3）易知线性无关，所以可对角化。取，易知是可逆矩阵，且满足为对角形。71、设是位线性空间，是上的可逆线性变换，为的逆变换，表示恒等变换，证明：（1），（2）。证明：（1）任取，则，所以，从而，故，所以，从而，同理，故。（2）因为，所以，从而=，故结论成立。注意：在有限维线性空间中，可逆，则为双射。但在无限维线性空间中结论不一定成立。另外，还有。72、设是数域上的阶方阵，则。证明：设，由，显然有。，即，则，从而，又，故由条件知，所以，故。：设，由。由，知存在，使得，则。由条件知，所以，故。73、设是维线性空间上的两个线性变换，分别表示的特征多项式，如果互素，则。证明：因为，所以存在多项式，使得，从而。注意到是的特征多项式，知，所以。任意的，则。所以=，故。同理。74、设是维线性空间的两个子空间，则存在的线性变换。证明：设，将。定义，显然这是一个线性变换，并且，事实上：（1）显然，任意的，则。由，两边作用，则，又，知，所以，从而，故。（2）故。75、设是的两个线性变换，如果秩秩，则与有公共特征向量。 证明：因为秩秩，及秩，所以，故，故。这样，存在且，从而，故有公共特征向量。 76、设为阶方阵，且，则（1）与的特征向量是公共的； （2）相似于对角形的充要条件是相似于对角形；（3）秩。证明：（1）设似的特征向量，相应的特征值为，即，由知，即。当时，矛盾。此时不是的特征值。