天津市南开区2016届高三一模考试 理科数学试题及答.doc

1 20162016 届天津市南开区高三一模考试数学（理）试卷届天津市南开区高三一模考试数学（理）试卷 本试卷分第本试卷分第卷（选择题）和第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部卷（非选择题）两部 分共分共 150150 分，考试时间分，考试时间 120120 分钟第分钟第卷卷 1 1 至至 2 2 页，第页，第卷卷 3 3 至至 9 9 页页 祝各位考生考试顺利！祝各位考生考试顺利！ 第第 卷卷 注意事项：注意事项： 1答第答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科 目涂在答题卡上；目涂在答题卡上； 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标 号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号 3本卷共本卷共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的要求的 （1）i 是虚数单位，满足是虚数单位，满足( (1+2i) )z=3+4i 的复数的复数 z=（ ） （a）12i （b）+2i 5 11 （c）1+2i （d）4+2i （2）已知集合已知集合 a=1，a，b=1，2，3，则则“a b”是是“a=3” 的的（ ） （a）充分不必要条件）充分不必要条件（b）必要不充分条件）必要不充分条件 2 （c）充要条件）充要条件 （d）既不充分也不必要）既不充分也不必要 条件条件 （3）以下茎叶图记录了在一次数学模拟考试中甲、乙两组各五名）以下茎叶图记录了在一次数学模拟考试中甲、乙两组各五名 学生的成绩（单位：分）学生的成绩（单位：分） 已知甲组数据的中位数为已知甲组数据的中位数为 106，乙组数据的平，乙组数据的平 均数为均数为 105.4，则，则 x，y 的值分别为的值分别为（ ） （a）5，7 （b）6，8 （c）6，9（d）8，8 （4）执行如图所示的程序框图，若输入执行如图所示的程序框图，若输入 n 的值为的值为 4， 则输出则输出 s 的值为的值为（ ） （a）4 （b）6 （c）7 （d）11 （5）已知实数已知实数 x，y 满足约束条件满足约束条件则则 x ， ， ， 00 62 62 yx yx yx 3y0 的概率是的概率是（ ） （a） （b） 4 1 3 1 （c） （d） 4 3 5 3 （6）已知双曲线）已知双曲线=1（a0，b0）与抛物线）与抛物线 y2=4cx（其中（其中 2 2 x a 2 2 y b c=）交于）交于 a，b 两点，若两点，若| |ab| |=4c，则双曲线的离心率为，则双曲线的离心率为 22 ba 甲组甲组乙组乙组 589 x 2 1 0 6 y 9 7 4 1 1 5 3 （ ） （a） （b）23 （c） （d）+1 52 （7）如图，已知如图，已知 ab 为为o 的直径，的直径，c、f 为为o 上的两点，上的两点， ocab，过点，过点 f 作作o 的切线的切线 fd 交交 ab 的延长线于点的延长线于点 d，连，连 结结 cf 交交 ab 于点于点 e若若 ab=6，ed=4，则，则 ef=（ ） （a）2 （b）5 （c） （d） 3 54 5 104 （8）在）在abc 中，中，d 为边为边 bc 上一点，上一点， tanbad= ，tancad= ，ab=ac，bc=3，则，则 ad=（ 3 1 2 1 2 ） （a） （b） 2 7 2 53 （c）2 （d）310 o f e d b c a 4 南开区南开区 20152016 学年度第二学期学年度第二学期高三年级总复习高三年级总复习质量检测质量检测 （一）（一） 答答 题题 纸纸（理工类）（理工类） 三三 题题 号号 二二 ( (15 ) ) ( (16 ) ) ( (17 ) ) ( (18 ) ) ( (19 ) ) ( (20 ) ) 总分总分 得得 分分 第第 卷卷 注意事项：注意事项： 1用黑色墨水的钢笔或签字笔答题；用黑色墨水的钢笔或签字笔答题； 2本卷共本卷共 12 小题，共小题，共 110 分分 得得 分分 评卷评卷 人人 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 个小题，每个小题，每 小题小题 5 分，共分，共 30 分请将答案填分请将答案填 在题中横线上。在题中横线上。 （9）设）设 f( (x) )为定义在为定义在 r 上的奇函数，若当上的奇函数，若当 x0 时，时，f( (x) )=3x+1， 则则 f( (log3) )= 2 1 （10）一个棱长为一个棱长为的正方体被一个平面截去一部分后，剩余部的正方体被一个平面截去一部分后，剩余部 3 6 分的三视图如图所示，则此剩余部分的体积为分的三视图如图所示，则此剩余部分的体积为 主主视视图图左左视视图图 俯俯视视图图 5 （11）若）若 a=，则，则( (x) )6的二项展开式中的常数项为的二项展开式中的常数项为 2 2 )sin 1 ( dxx x a （用数字作答）（用数字作答） （12）已知在平面直角坐标系已知在平面直角坐标系 xoy 中，直线中，直线 l 的参数方程为：的参数方程为： （t 为参数）为参数） ，以，以 ox 为极轴建立极坐标系，圆为极轴建立极坐标系，圆 c 的极坐的极坐 ， ， ty tx 2 2 2 2 2 1 标方程为：标方程为： =2cos ，则圆则圆 c 上的点到直线上的点到直线 l 距离的最小值为距离的最小值为 （13）在等腰梯形）在等腰梯形 abcd 中，已知中，已知 abdc，ac 与与 bd 交于点交于点 m，ab=2cd=4若若=1，则，则 cosbmc= acbd （14）已知函数已知函数f( (x) )=若函数若函数g( (x) )=a| |f( (x)|)|有四个零有四个零 ， ， 02 0)(log2 xx xx 点点x1，x2，x3，x4，且，且x1x2x3x4，则，则x1+x2x3+x2x4的取值范围的取值范围 是是 三、解答题：（本大题共三、解答题：（本大题共 6 个小题，共个小题，共 80 分解答应写出文字说分解答应写出文字说 明，证明过程或演算步骤）明，证明过程或演算步骤） 得得 分分 评卷评卷 人人（15） （本小题满分（本小题满分 13 分）分） 已知函数已知函数 f( (x) )=2cos xcos( ( x+) )+2sin2 x（ 0）的最小正）的最小正3 2 周期为周期为 6 （）求）求 的值和函数的值和函数 f( (x) )的单调增区间的单调增区间； （）求函数）求函数 f( (x) )在区间在区间上的取值范围上的取值范围 ， 3 7 得得 分分 评卷评卷 人人（16） （本小题满分（本小题满分 13 分）分） 某家电商场开展购物抽奖促销活动，顾客购物满某家电商场开展购物抽奖促销活动，顾客购物满 500 元即可获得元即可获得 一次抽奖机会，若每一次抽奖机会，若每 10 张券中有一等奖券张券中有一等奖券 1 张，可获价值张，可获价值 100 元元 的奖品；有二等奖券的奖品；有二等奖券 3 张，每张可获价值张，每张可获价值 50 元的奖品；其余元的奖品；其余 6 张张 没有奖，某顾客从这没有奖，某顾客从这 10 张券中任抽张券中任抽 2 张，求：张，求： （）该顾客中奖的概率；）该顾客中奖的概率； （）该顾客获得的奖品总价值）该顾客获得的奖品总价值 （元）的概率分布列和期望（元）的概率分布列和期望 e 8 得得 分分 评卷评卷 人人（17） （本小题满分（本小题满分 13 分）分） 已知在直三棱柱已知在直三棱柱 abc a1b1c1中，中， abbc，且，且 aa1=2ab=2bc=2，e，m 分别分别是是 cc1，ab1的中点的中点 m a1 b1 c1 a b c e 9 （）证明：证明：em平面平面 abc； （）求求直线直线 a1e 与平面与平面 aeb1所成角的正弦值；所成角的正弦值； （）求二面角求二面角 b em b1的余弦值的余弦值 10 得得 分分 评卷评卷 人人（18） （本小题满分（本小题满分 13 分）分） 设设 sn为数列为数列an的前的前 n 项和，且项和，且 sn=n2，数列，数列bn为等比数列已为等比数列已 知知 a1b1+a2b2+a3b3+anbn=( (n1) )3n+1+3 （）求数列）求数列an，bn的通项公式；的通项公式； （）设）设( (an+1) )log3bn+2cn=1，求证：数列，求证：数列cn的前的前 n 项和项和 tn 8 3 11 得得 分分 评卷评卷 人人 （19） （本小题满分（本小题满分 14 分）分） 12 椭圆椭圆 c：（ab0）的两焦点为的两焦点为 f1( (c，0) )，f2( (c，0) )，1 2 2 2 2 b y a x 椭圆的上顶点椭圆的上顶点 m 满足满足=0mf1mf2 （）求椭圆求椭圆 c 的离心率的离心率 e； （）若以点若以点 n( (0，2) )为圆心，且与椭圆为圆心，且与椭圆 c 有公共点的圆的最大有公共点的圆的最大 半径为半径为26 （）求此时椭圆）求此时椭圆 c 的方程；的方程； （）椭圆）椭圆 c 上是否存在两点上是否存在两点 a，b 关于直线关于直线 l：y=kx 1（k0）对称，若存在，求出）对称，若存在，求出 k 的取值范围；若不存在，请说明的取值范围；若不存在，请说明 理由理由 13 得得 分分 评卷评卷 人人（20） （本小题满分（本小题满分 14 分）分） 已知函数已知函数 f( (x) )=xlnxx+1 （）求曲线）求曲线 f( (x) )在点在点( (1，f( (1) ) )处处的切线方程；的切线方程； （）若函数）若函数 g( (x) )=af( (x) ) x2（ar）在其定义域内有两个不同）在其定义域内有两个不同 2 1 的极值点，求的极值点，求 a 的取值范围；的取值范围； （）在（）在（）的条件下，记两个极值点分别为）的条件下，记两个极值点分别为 x1，x2，且，且 x1x2若不等式若不等式 amx1+( (1m) )x2（m0）恒成立，求）恒成立，求 m 的取的取 值范围值范围 14 南开区高三一模南开区高三一模 数学试卷（理工类）参考答案数学试卷（理工类）参考答案 15 一、选择题：一、选择题： 题题 号号 （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） （ 4 ） （ 5 ） （ 6 ） （ 7 ） （ 8 ） 答答 案案 c b b c a d d b 二、填空题：二、填空题： （9）6； （10）5； （11）15； （12）1； （13）； （14） 5，4 2 17 1 三、解答题：（其他正确解法请比照给分）三、解答题：（其他正确解法请比照给分） （15）解：（）解：（）f( (x) )=2sin xcos x+1cos2 x 3 2 分分 =sin2 xcos2 x+13 =2sin( (2 x+) )+1 6 4 分分 函数函数 f( (x) )的最小正周期为的最小正周期为 t= ， 2 2 =1 5 分分 f( (x) )=2sin( (2x+) )+1 6 由由 2k +2x+2k +， 2 6 2 3 16 得得 k +xk +， 6 3 2 函数函数 f( (x) )的单调增区间为的单调增区间为 k +，k + ，kz 6 3 2 8 分分 （）x ， 3 f( (x) )在区间在区间 ， 单调递增，在区间单调递增，在区间 ， 单调递减，单调递减， 3 3 2 3 2 10 分分 f( () )=2sin+1=0，f( () )=2sin+1=3，f( ( ) )= 3 6 5 3 2 2 3 2sin+1=0， 6 因此因此 f( (x) )的取值范围为的取值范围为 0，3 13 分分 （16）解：（）解：（）p=1=1= ，即该顾客中奖的概率为，即该顾客中奖的概率为 2 10 2 6 c c 45 15 3 2 3 2 4 分分 （） 的所有可能值为：的所有可能值为：0，50，100，150（元）（元） 5 分分 p( ( =0) )= ， p( ( =50) )= ， 2 10 2 6 c c 45 15 3 1 2 10 1 3 1 6 c cc 45 18 5 2 p( ( =100) )= ，p( ( =150) )=， 2 10 2 3 1 1 1 6 c ccc 45 9 5 1 2 10 2 3 1 1 c cc 45 3 15 1 所以所以 的分布列的分布列为为 050100150 p 3 1 5 2 5 1 15 1 17 11 分分 的数学期望的数学期望 e( ( ) )=0 +50 +100 +150=50 3 1 5 2 5 1 15 1 13 分分 （17）解：）解：在直三棱柱在直三棱柱 abc a1b1c1中，中，bb1ab，bb1bc， 又又abbc， ab平面平面 bcc1b1 1 分分 如图，以点如图，以点 b 为原点，为原点，分别为分别为 x 轴、轴、y 轴、轴、zbc 1 bbba 轴正方向，轴正方向， 建立空间直角坐标系，则建立空间直角坐标系，则 b( (0，0，0) )，c( (1，0，0) )， b1( (0，2，0) )， a( (0，0，1) )，c1( (1，2，0) )，a1( (0，2，1) ) 3 分分 （）e，m 分别是分别是 cc1，ab1的中点，的中点， e( (1，1，0) )，m( (0，1， ) )， 2 1 =( (1，0， ) ) em 2 1 易知易知平面平面 abc 的的法向量为法向量为 m=( (0，2，0) )， m=0，memem 又又em 平面平面 abc，em平面平面 abc 18 6 分分 （）=( (0，2，1) )，=( (1，1，0) )，=( ( 1 ab 1 eb 1 ea 1，1，1) ) 设设 n1=( (x1，y1，z1) )为面为面 aeb1的法向量，则的法向量，则 n1=n1=0， 1 ab 1 eb 即即取取 y1=1，则，则 x1=1，z1=2，从而，从而 n1=( (1，1，2) )， ， ， 0 02 11 11 yx zy 设直线设直线 a1e 与平面与平面 aeb1所成角为所成角为 ， 则则 sin =| |cos|=， 1 ea | | 11 11 nea nea 36 2 3 2 即直线即直线 a1e 与平面与平面 aeb1所成角的正弦值为所成角的正弦值为 3 2 10 分分 （）=( (1，1，0) )，=( (0，1， ) )bebm 2 1 设设 n2=( (x2，y2，z2) )为面为面 bem 的法向量，则的法向量，则 n2=n2=0，bebm 即即取取 z2=2，则，则 x2=1，y2=1，从而，从而 n2=( (1，1，2) )， ， ， 0 2 1 0 22 22 zy yx cos = ， | 21 21 nn nn 3 2 由图形可知所求二面角的平面角为钝角，由图形可知所求二面角的平面角为钝角， 二面角二面角 b em b1的余弦值为的余弦值为 3 2 19 13 分分 （18）解：（）解：（）当）当 n2 时，时，an=snsn1=n2( (n1) )2=2n1， n=1 时，时，a1=s1=1，满足上式，满足上式， an=2n1 3 分分 a1b1+a2b2+a3b3+anbn=( (n1) )3n+1+3， a1b1=3，a1b1+a2b2 =30， 解得解得 b1=3，b2 =9 bn的通项公式为的通项公式为 bn=3n 6 分分 （）(an+1) )log3bn+2cn=2n( (n+2) ) cn =1， cn= ( ( ) ) )2(2 1 nn4 1 n 1 2 1 n 9 分分 tn= ( (1 ) )+ ( ( ) )+ ( ( ) )+ ( ( ) ) 4 1 3 1 4 1 2 1 4 1 4 1 3 1 5 1 4 1 4 1 6 1 + ( () )+ ( ( ) ) 4 1 1 1 n1 1 n4 1 n 1 2 1 n = ( (1+ ) )= ( (+) ) 4 1 2 1 1 1 n2 1 n8 3 4 1 1 1 n2 1 n 13 分分 8 3 （19）解解：（：（）=( (c，b) ) ( (c，b) )=c2+b2=0，mf1mf2 20 b=c，从而，从而 a=c，2 椭圆椭圆 c 的离心率的离心率 e= = a c 2 2 3 分分 （）由（由（）可得）可得椭圆椭圆 c 的方程为的方程为1 2 2 2 2 2 b y b x 设设 p( (x，y) )是椭圆上任一点，依题意，是椭圆上任一点，依题意，| |pn| |的最大值为的最大值为 ，26 则则| |pn| |2=x2+( (y2) )2=( (2b22y2) )+( (y2) )2=( (y+2) ) 2+2b2+8（ （byb） （）若）若 b2，则，则 y=2 时，时，| |pn| |max=，82 2 b26 b=3，此时椭圆方程为，此时椭圆方程为 1 918 22 yx 7 分分 （）若）若 0b2，则，则 y=b 时，时，| |pn| |max=b+2=， 26 b=22，矛盾，矛盾 26 综上得椭圆方程为综上得椭圆方程为 1 918 22 yx 9 分分 设直线设直线 ab 的方程为的方程为 x=ky+m， 联立方程组联立方程组 mkyx yx，182 22 化简得：化简得：( (k2+2) )y22kmy+m218=0， 21 由由=4k2m24( (k2+2)()(m218) )0，解得：，解得：9k2m2+180 由韦达定理得：由韦达定理得：ya+yb=， 2 2 2 k km 可求得可求得 ab 的中点坐标为的中点坐标为( (，) )， 2 2 2 k m 2 2 k km 代入直线代入直线 y=kx1 得得=1，求得，求得 m=， 2 2 k km 2 2 2 k km k k2 2 代入代入 9k2m2+180 得得 9k2+180， 2 2 2 k k 解得解得 k(， )()( ，+) ) 2 1 2 1 14 分分 （20）解解：（：（）f( (1) )=0，f ( (x) )=lnx，切线斜率切线斜率 f ( (1) )=0， 曲线曲线 f( (x) )在点在点( (1，f( (1) ) )处处的切线方程为的切线方程为 y=0 3 分分 （）g( (x) )=a( (xlnxx+1) ) x2，g ( (x) )=alnxx， 2 1 设设 h( (x) )=alnxx，从而转化为函数，从而转化为函数 h( (x) )在在( (0，+) )有两个有两个 不同零点，不同零点， 而而 h ( (x) )= 1=， x a x xa 若若 a0，则，则 h ( (x) )0 在在( (0，+) )上恒成立，所以上恒成立，所以 h( (x) )在在 ( (0，+) )单调递减，单调递减， 此时此时 h( (x) )不可能有两个不同零点不可能有两个不同零点 5 分分 若若 a0，在，在 0xa 时，时，h ( (x) )0，在，在 xa 时，时，h ( (x) ) 22 0， 所以所以 h( (x) )在在( (0，a) )上单调递增，在上单调递增，在( (a，+) )上单调递减，上单调递减， 从而从而 h( (x) )极大值 极大值=h( (a) )=alnaa， ， 又因为在又因为在 x0 时，时，h( (x) )，在，在 x+时，时，h( (x) ) ，于是只须：，于是只须： h( (x) )极大值 极大值 0，即，即 alnaa0，所以，所以 ae 综上所述，综上所述，ae 8 分分 （）由（）由（）可知）可知 x1，x2分别是方程分别是方