高中数学 （学习目标+合作探究+反思感悟）11+正弦定理和余弦定理+学案（pdf）新人教A版必修5.pdf

解三角形第一章 ! 学!习 札记! 第 一 章 解三角形 ! ! !正 正弦弦定定理理和和余余弦弦定定理理 学习目标 !通过对任意三角形边长和角度关系的探索! 掌握正弦 定理“ 余弦定理! 并能利用它们解决一些简单的三角形度量 问题! “!灵活运用正弦定理解决如下四类问题# $!% 已知三角形的两角和任意一边! 求其他两边和一角!;$! 则#2%2等于$!% 56 !;!;$!槡76 !;!; “ 槡槡 86 !;!; #96 !;“; “ 探究三!正弦定理的简单应用 一般地! 把三角形的三个角(“)“*和它们的对边#“ %“ 叫做三角形的元素!已知三角形的几个元素求其他元素的过 程叫做解三角形! 问题%!观察正弦定理的形式! 想一想我们利用正弦定 理可以解决一些怎样的解三角形问题呢( 议一议! 如果已知三角形的任意两个角与一边! 根据三 角形的内角和定理可以计算出第三个角! 运用正弦定理可以 把其他两边计算出来! 如果已知三角形的任意两边及其中一边的对角! 应用正 弦定理可以计算出另一边所对角的正弦值! 从而求出该角! 进而求出第三个角与第三边! 例!在( ) *中! 已知();4! 求( ) *的最大内角 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ! 新新学案高中数学必修%“ 人教实验&版# &! 学 习 札记 例#!根据所给条件判定( ) *是钝角三角形还是锐 角三角形或直角三角形! $!% #&!%&! &!&4& $“% #&“4$#!%&4 “$# 4$#!&4 “$“ 4$4-&%! 分 析 利用余弦定理的推论确定最大角的余弦值的符 号! 判定最大角是什么角! 从而确定三角形的类型! 跟踪练习! $! ( ) *的三边分别为$“ 4“(! 则此三角形 为$!% 56锐角三角形!76直角三角形 86钝角三角形96不存在 例!在( ) *中! 若# “& % “$ “$ % ! 求角(! 分 析 题中所给条件符合余弦定理的形式! 可通过转化! 求出0 1 .(! 进一步求得角(! 跟踪练习! )!在( ) *中! 角(“)“*的对边分别为#“ %“! 若$# “$ “. % “% * + ,)&槡# ! 则角)的值为$!% ! !56 ! 4 76 ! # 86 ! 4 或) ! 4 96 ! # 或“ ! # 反思感悟 !余弦定理及其推论指出了三角形中! 之间的关系! 每一个等式中都包含四个不同的量! 知道其中 的三个量代入等式便可求出! “!由于余弦定理及其推论的公式中! 既有!运算 又有!运算和!运算! 形式比较复杂! 在解决 有关问题时一定要认真观察! 结合公式的特点进行适当的 变形! #!根据大边 对 大 角“ 小 边 对 小 角 原 理! 若 三 边 已 知 可运用余弦定 理 求 出! ! ! ! ! !角!解 此 类 问 题 时! 首先要根据所给条件分析出哪条边最大! 从而明确谁是 最大角! $!运用余弦定理判断三角形的形状时! 往往将! 转化为!进行化简! 化简的过程中不要随便约分! 以 免漏解! 第四课时 情境创设 请同学们回忆以下公式! !正弦定理“ 三角形面积公式# # . / ,(& % . / ,)& . / ,*&“ 0!#“%“为( ) *三边!0为 ( ) *外接圆半径& 3( ) *& ! “ % . / ,(& ! “# . / ,)& ! “# % . / ,*! “!正弦定理的变形# #“%“为( ) *三边!0为其外接圆半径! $!% #&“0. / ,(!%&“0. / ,)!&“0. / ,*& $“%. / ,(&# “0! . / ,)&% “0! . / ,*& “0& $#%. / ,(2. / ,)2. / ,*%2! #!余弦定理# #“%“为( ) *三边! # “& % “$ “.“ % 0 1 .(&% “& # “$ “.“ # 0 1 .)& “& # “$ % “.“ # %0 1 .*! $!余弦定理的推论# #“%“为( ) *三边! 0 1 .(& % “$ “. # “ “% & 0 1 .)& # “$ “. % “ “# & 0 1 .*& # “$ % “. “ “# % ! 通过前面的学习和练习! 我们可以这样认为# 有了正弦 定理和余弦定理几乎可以解决三角形中的所有问题! 是这样 的吗( 综合运用这两个定理解三角形要注意什么呢( 这一 节我们进一步探究! 合作探究 探究一!判断三角形的形状 例!在( ) *中! 已 知%0 1 .(� 1 .)! 试 判 断 ( ) *的形状! 分 析 利用正弦定理边化角或利用余弦定理角化边! 再 通过等式变形得出角或边的关系! 从而确定三角形的形状 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ! 解三角形第一章 ! 学!习 札记! 跟踪练习!在( ) *中! 若 # 0 1 .(& % 0 1 .)& 0 1 .*! 则 ( ) *是$!% 56直角三角形76等边三角形 86钝角三角形96等腰直角三角形 探究二!利用正$ 余弦定理化简与证明 议一议! 利用正“ 余弦定理化简与证明的思想方法与判 定三角形形状的方法基本相同! 都要认真观察分析等式或代 数式的特点! 确定应将边化角! 还是角化边! 最终实现边或角 的统一! 这样便于确定边或角的三角函数的比例关系或等量 关系! 使代数式得到化简! 恒等式得以证明! 例“!在( ) *中! 化简# %0 1 .*$0 1 .)! 分析 式子中既有角! 又有边! 可以边化角! 也可以角化边! 跟踪练习!“!已知(“)“*是( ) *的三个内角! 且满 足$. / ,($. / ,)% “ / ,“*&# . / ,( . / ,)! 求证#($)&! “ & - ! 探究三!利用正弦定理$ 余弦定理解决简单的三角形度 量问题 议一议! 解三角形需要几个独立条件( 结合三角形全等的判定及正弦定理“ 余弦定理! 应有三 个独立条件! 且三个条件中至少有一边长! 图!“!“! # 例#!如 图!“!“! #!在 四 边 形 ( ) * ,中!( *平 分“,( )!“( ) *& $ ) -!( *&)!(,&4!3( , *& 槡 ! ) # “ ! 求 ( )的长! 分 析 在(, *中! 先 求 出“! 然 后 在( ) *中 求 出( )! 图!“!“! $ 跟踪练习! #!如图!“!“! $所示! 已 知在四边形( ) * ,中!(,4* ,!(, &! &!( )&! $!“) ,(&4 & -!“) * ,& ! # ) -! 求) *的长! 分 析 本题图形是由两个三角形 组成的四边形! 在( ) ,中! 已知两边 和一边的对角! 用正弦定理可求出另 一边的对角!但得不到其与) * ,的联系! 可再考虑用余弦 定理求 出) ,!) ,恰 是 两 个 三 角 形 的 公 共 边! 这 样 可 在 ) * ,中应用正弦定理求得) *! 跟踪练习! $!在( ) *中!(& ! 4 ! #&) &!%& 槡 ) & “! 解 三角形! 反思感悟 !利用正弦“ 余弦定理证明有关三角形的三角函数恒等 式和判定三角形的类型! 主要是将已知条件中的边“ 角关系 转化为角的关系或边的关系!一般地! 利用公式! ! 可将边转化为角的三角函数关系! 然后利 用三角函数恒等式进行化简! 其中往往用到三角形内角和定 理!利用公式! ! 可将有关三角形中的角的关系化 为边的关系! 然后充分利用代数知识来解决问题! “!在解三角形时常用的结论有# 在( ) *中!(-)5 #!%5. / ,(!. / ,)50 1 .(!0 1 .)& 在( ) *中!($)$*&!($)& ! ! ! ! ($) “ & ! 则0 1 .$($)%&!0 1 .($) “ & ! ! !. / ,$($)%& ! ! ! !. / , ($) “ & !& 在( ) *中!# “$%“.“50 1 .* ! &5*! ! “