甘肃五年(2007-2011)高考立体几何试题汇编.doc

专业资料为你而备甘肃五年（2007-2011）高考立体几何试题汇编2007年7已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的正弦值等于（ ）ABCD15一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为 cmAEBCFSD19（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面分别为的中点（1）证明平面；（2）设，求二面角的大小参考答案：7.A; 15.；19解法一：（1）作交于点，则为的中点连结，又，AEBCFSDHGM故为平行四边形，又平面平面所以平面（2）不妨设，则为等腰直角三角形取中点，连结，则又平面，所以，而，所以面取中点，连结，则连结，则故为二面角的平面角所以二面角的大小为AAEBCFSDGMyzx解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系设，则，取的中点，则平面SAD,平面，所以平面（2）不妨设，则中点又，所以向量和的夹角等于二面角的平面角所以二面角的大小为2008年10已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE、SD所成的角的余弦值为 ( ) A B. C. D. 12已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于( )A B. C. D. 16平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行.类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件 ;充要条件 .(写出你认为正确的两个充要条件)19( 本大题满分12分)如图，正四棱柱中，,点E在上且.()证明：平面;()求二面角的大小.参考答案：10.C;12.C;16. 两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；ABCDEA1B1C1D1FHG对角线交于一点；底面是平行四边形。(注：上面给出了四个充要条件,如果写出其他正确答案，同样给分。)19解法一：依题设知，（）连结交于点，则由三垂线定理知，在平面内，连结交于点，由于，故，与互余于是与平面内两条相交直线都垂直，所以平面（）作，垂足为，连结由三垂线定理知，故是二面角的平面角 ，又，ABCDEA1B1C1D1yxz所以二面角的大小为 解法二：以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系依题设，（）因为，故，又，所以平面（）设向量是平面的法向量，则，故，令，则， 等于二面角的平面角，所以二面角的大小为 2009年5. 已知正四棱柱中，为中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 12.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现有沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“”的面的方位是（ ）A. 南 B. 北 C. 西 D. 下 15.设是球的半径，是的中点，过且与成45角的平面截球的表面得到圆。若圆的面积等于，则球的表面积等于 18（本小题满分12分） 如图，直三棱柱中，、分别为、的中点，平面,ACBA1B1C1DE（I）证明：（II）设二面角为60，求与平面所成的角的大小。参考答案：5.C;12.B;15. 18、解法一：（）取BC中点F，连接EF，则EF，从而EFDA。连接AF，则ADEF为平行四边形，从而AF/DE。又DE平面，故AF平面，从而AFBC，即AF为BC的垂直平分线，所以AB=AC。（）作AGBD，垂足为G，连接CG。由三垂线定理知CGBD，故AGC为二面角A-BD-C的平面角。由题设知，AGC=600.设AC=2，则AG=。又AB=2，BC=，故AF=。由得2AD=，解得AD=。故AD=AF。又ADAF，所以四边形ADEF为正方形。因为BCAF，BCAD，AFAD=A，故BC平面DEF，因此平面BCD平面DEF。连接AE、DF，设AEDF=H，则EHDF，EH平面BCD。连接CH，则ECH为与平面BCD所成的角。. 因ADEF为正方形，AD=，故EH=1，又EC=2，所以ECH=300，即与平面BCD所成的角为300.解法二：（）以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系Axyz。设B（1，0，0），C（0，b，0），D（0，0，c），则（1，0，2c）,E（，c）.于是=（，0），=（-1，b,0）.由DE平面知DEBC， =0，求得b=1，所以 AB=AC。（）设平面BCD的法向量则又=（-1，1， 0），=（-1，0，c）,故 令x=1, 则y=1, z=,=(1,1, ).又平面的法向量=（0，1，0）由二面角为60知，=60，故 ，求得 于是 ， ，所以与平面所成的角为302010年9已知正四棱锥中，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ）（A）1 （B） （C）2 （D）311与正方体的三条棱、所在直线的距离相等的点（ ）（A）有且只有1个 （B）有且只有2个 （C）有且只有3个 （D）有无数个16已知球的半径为4，圆与圆为该球的两个小圆，为圆与圆的公共弦，若，则两圆圆心的距离 19（本小题满分12分）如图，直三棱柱中，为的中点，为上的一点，（）证明：为异面直线与的公垂线；（）设异面直线与的夹角为45，求二面角的大小参考答案：9.C；11.D；16.3；19解法一：（）连接，记与的交点为F.因为面为正方形，故，且.又，所以，又D为的中点，故，.作，G为垂足，由知，G为AB中点.又由底面面，得面.连接DG，则，故，由三垂线定理，得.所以DE为异面直线与CD的公垂线. （）因为，故为异面直线与CD的夹角，.设，则.作，H为垂足.因为底面面，故面，又作，K为垂足，连接，由三垂线定理，得，因此为二面角的平面角.，（）因为等于异面直线与CD的夹角，故，即，解得，故.又，所以.设平面的法向量为，则，即且.令，则，故.设平面的法向量为，则，即.令，则，故.所以.由于等于二面角的平面角，所以二面角的大小为.2011年6已知直二面角 ，点A，AC，C为垂足，B，BD，D为垂足若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于(A) (B) (C) (D) 1 11已知平面截一球面得圆M，过圆心M且与成二面角的平面截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为4，则圆N的面积为（ ）(A)7 (B)9 (C)11 (D)1316己知点E、F分别在正方体ABCD-A1B2C3D4的棱BB1 、CC1上，且B1E=2EB, CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 .19如图，四棱锥中， ,，侧面为等边三角形，.（）证明：;（)求与平面所成角的大小.参考答案：6.C;11.D;16. ；19解法一：（I）取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2，连结SE，则 又SD=1，故， 所以为直角。 由，得平面SDE，所以。 SD与两条相交直线AB、SE都垂直。所以平面SAB。 （II）由平面SDE知，平面平面SED。 作垂足为F，则SF平面ABCD， 作，垂足为G，则FG=DC=1。连结SG，则， 又，故平面SFG，平面SBC平面SFG作，H为垂足，则平面SBC。，即F到平面SBC的距离为 由于ED/BC，所以ED/平面SBC，E到平面SBC的距离d也