基于热光源压缩关联成像方案研究.pdf

单位代码： 10293 密 级： 硕 士 学 位 论 文 论文题目： 基于热光源压缩关联成像方案研究 1010010421 白旭 赵生妹 教授 信号与信息处理 无线通信与信号处理技术 工学硕士 二一三年 四月 学号 姓名 导 师 学 科 专 业 研 究 方 向 申 请 学 位 类 别 论 文 提 交 日 期 compressive correlated imaging with thermal light thesis submitted to nanjing university of posts and telecommunications for the degree of master of engineering by bai xu supervisor: prof. zhao shengmei april 2013 南京邮电大学学位论文原创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得南京邮电大学或其它 教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的 任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 本人学位论文及涉及相关资料若有不实，愿意承担一切相关的法律责任。 南京邮电大学学位论文使用授权声明 本人授权南京邮电大学可以保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子文 档；允许论文被查阅和借阅；可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索； 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编本学位论文。本文电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致。论文的公布（包括刊登）授权南京邮电大学研究生院办理。 涉密学位论文在解密后适用本授权书。 研究生签名：_ 日期：_ 研究生签名：_ 导师签名：_ 日期：_ i 摘要摘要 关联成像，也叫“鬼”成像，可提供一种运用常规手段难以获得清晰图像的方法，能够 解决一些常规成像技术不易解决的问题，是近些年来量子光学领域的前沿和热点之一。传统 关联成像在实现时，存在采样次数较多、成像时间长、成像质量有待提高等问题。基于压缩 感知的关联成像方案可在提高关联成像的成像效率的同时保证关联成像的质量，是关联成像 的实用化的参考。 首先，论文对传统关联成像方案进行了详细的理论分析，阐述了关联成像的物理本质， 并对信息领域的压缩感知理论做了介绍。接着在差分关联成像方案的基础上，提出一种基于 压缩感知的差分关联成像方案，将高斯分布的热光源强度分布作为压缩感知的测量矩阵，差 分物体信息作为被成像物体信息，利用差分关联成像方案的高成像信噪比和压缩感知技术的 低采样次数，通过正交匹配追踪算法，高质量地恢复出物体信息。研究结果表明，该方案极 大地提高了关联成像的信噪比，降低了成像时间。 其次，论文基于条件部分测量关联成像方案，提出了一种基于条件部分测量的压缩关联 成像方案，以二灰度“双缝” 、 “nupt”图像和多灰度 lena 图、boats 图为例，通过仿真验证 了成像质量的提高，且在减少 50%的测量数据的情形下，提高了一倍的成像效率。 最后，通过理论分析得出参考臂差分也能够实现关联成像，并将该理论与压缩感知相结 合，提出参考臂差分关联成像方案，对差分关联成像方案做了补充。研究结果表明，基于压 缩感知的新型关联成像方案不仅降低采样次数，减少测量数据，缩短了成像时间，而且在成 像质量上也有较大的改善。 本文所提出的压缩感知关联成像方案，均能不同程度地减少成像时间，提高成像质量。 关键词关键词: 关联成像，热光源，压缩感知，差分关联，均方误差，条件部分测量，参考臂差分 ii abstract correlated imaging, also called ghost imaging, offers great potentiality, with respect to standard imaging, to obtain the imaging of objects located in optically harsh or noisy environment. it can solve the problems which are difficult to solve by standard imaging techniques. recently, it has become one of the hot topics in quantum optics. traditional correlated imging still has some problems in the realization process, such as large sampling times, long imaging time and low imaging quality. the correlated imaging schemes based on compressive sensing can improve the efficiency of the correlated imaging with high imaging quality, is a good reference of in practical use. first of all, this thesis introduces the physical nature of the traditional correlated imaging scheme and the theory of compressive sensing in detail. later, taking advantage of the high signal-to-noise ratio of the differential correlated imaging and low sampling frequency of the compressive sensing technique, a new scheme based on differencial correlated imaging scheme is proposed, named differential compressive correlated imaging. in the new scheme, gaussian distribution matrix from the intensity of the thermal light is used as the measurement matrix of compressive sensing. orthogonal matching pursuit algorithm is adopted as the recovery algorithm, and the object information is retrieved as the image of the object differential information with high quality. the results show that the scheme improves the signal-to-noise rate of the correlated imaging greatly while has a reducing imaging time. next, a compressive correlated imaging scheme based on the conditioned partial measurements is presented. two kinds of gray-scale images are selected as the example, such as double-slit and nupt, as well as the two multi-grayscale images (lena and boats). the image quality is verified by the numerical simulation with the double efficiency and 50% measurement data. at last, a combination of reference arm differential and compressive sensing is used to analyse the correlated imaging, named reference arm differential compressive correlated imaging scheme. the numerical results show that the new correlated imaging schemes can not only reduce the number of samples, measurement data, and the imaging time, but also improve the quality of correlated imaging. it is an supplement to the the differential correlated imaging. in summary, this thesis presents some compressive correlated imaging schemes. they could all reduce the imaging time and improve the imaging quality to different degrees. iii key words: correlated imaging, thermal light, compressive sensing, differential correlated, mean square error, conditioned partial measurements, reference arm differential iv 目录目录 专用术语注释表 . 1 第一章 绪论 . 2 1.1 课题研究背景 2 1.1.1 课题研究背景及现状分析 . 2 1.1.2 本文研究点 . 4 1.2 论文主要内容 5 第二章 关联成像和压缩感知理论基础 . 6 2.1 纠缠光关联成像 6 2.2 （赝）热光关联成像 10 2.3 压缩感知理论基础分析 15 2.4 数值仿真结果 20 2.5 本章小结 22 第三章 基于物体差分信息的压缩关联成像方案 24 3.1 差分压缩关联成像方案理论分析 24 3.1.1 差分关联成像方案 . 24 3.1.2 压缩感知差分关联成像方案 . 26 3.2 赝热光源的模拟 28 3.3 数值仿真结果及性能分析 29 3.3.1 dgi 与 gi 仿真对比 29 3.3.2 cdgi 与 dgi 仿真对比. 30 3.3.3 cdgi 与 cgi 仿真对比 . 32 3.4 本章小结 33 第四章 基于条件部分测量的压缩关联成像方案 34 4.1 条件部分测量压缩关联成像方案理论分析. 34 4.1.1 条件部分测量热光关联成像方案 34 4.1.2 压缩感知条件部分测量关联成像方案 37 4.2 参考臂差分压缩关联成像方案理论 39 4.3 数值仿真及性能分析 40 4.3.1 ccgi 方案仿真分析 40 4.3.2 crdgi 方案仿真分析 . 43 4.4 本章小结 45 第五章 总结与展望 . 47 5.1 课题研究总结 47 5.2 进一步的工作 48 参考文献 . 49 附录 1 攻读硕士学位期间撰写的论文 52 附录 2 攻读硕士学位期间参加的科研项目 53 致谢 . 54 南京邮电大学硕士研究生学位论文 专用术语注释表 1 专用术语注释表专用术语注释表 缩略缩略词词说明：说明： gi ghost imaging “鬼”成像 3d 3 dimensional 三维 ccd charge-coupled device 电荷耦合器件 ccgi compressive conditioned partial measurements ghost imaging 压缩感知条件部分测量关 联成像方案 cdgi compressive differential ghost imaging 差分压缩关联成像方案 ci correspondence imaging 符合成像方案 crdgi compressive reference differential ghost imaging 参考臂差分压缩关联成像 方案 cs compressive sensing 压缩感知 dct discrete cosine transform 离散余弦变换 dft discrete fourier transform 离散傅里叶变换 dgi differential ghost imaging 差分关联成像方案 dwt discrete wavelet transform 离散小波变换 mp matching pursuit 匹配追踪 mse mean square error 均方误差 ngi normalized ghost imaging 归一化关联成像方案 omp orthogonal matching pursuit 正交匹配追踪 rip restricted isometry property 有限等距性质 snr signal-to-noise ratio 信噪比 spdc spontaneous parametric down conversion 自发参量下转换 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第一章 绪论 2 第一章第一章 绪论绪论 1.1 课题研究背景课题研究背景 二十世纪以来，伴随着量子力学的发展，传统光学领域出现了许多新的研究方向。其中， 量子关联成像（quantum imaging） ，这一传统光学领域在量子世界的最新发现，自其诞生之 日起就一直是量子光学领域的前沿课题之一，得到了国内外学者的广泛关注1-50,60-65。量子关 联成像具有广泛的应用前景，正在成为取代传统成像技术的实用化候选技术之一，可应用于 多种成像领域，如卫星遥感，激光雷达，医学成像，军事，工业成像以及深空探测等。 1.1.1 课题研究背景及现状分析 关联成像（correlated imaging） ，又称为“鬼”成像（ghost imaging, gi） ，是上个世纪九 十年代逐渐发展起来的一种新型成像方式，由于其区别于经典成像方式的特殊性质，关联成 像受到越来越多的关注与研究。 最早的关联成像实验是 pittman 等人1在 1995 年根据前苏联学者 klyshko2的理论实现， 利用自发参量下转换 （spontaneous parametric down conversion, spdc） 产生的两路纠缠光子， 一支为包含物体的信号光路，对其做桶测量；另一支为不含物体的参考光路，对其做空间分 辨测量，在接收端对这两路光子进行符合计数，在参考光路即能呈现出物体清晰的像。关联 成像的这种在不包含物体的光路上呈现其像的特点，相异于经典光学成像只能在同一光路得 到物体的像，体现了纠缠光量子的非定域性，是 einstein 等人3（epr）所提出的量子纠缠特 性的表现之一。随后人们开始多角度、深入地探讨关联成像的本质，有关纠缠双光子“鬼” 成像和“鬼”干涉等的许多理论和实验研究工作相继发表4-11。由于关联成像的首次实现利 用的是纠缠光子对，abouraddy 等人12一度认为纠缠光是关联成像的必备条件，只有纠缠光 源产生的双光子才能实现关联成像，而经典非纠缠光源不能实现关联成像。 然而，2002 年，bennink 等人13-14设计了一个精巧的装置，利用经典光源（he-ne 激光） ， 将旋转的反射镜随机反射的针状激光通过光学分束器分成两束，在其中的一条光路上放置光 学成像系统（凸透镜）和一个目标成像物体（幅度掩膜） ，并用无空间分辨的桶探测器对其探 测，而在另一个光路放置空间分辨的电荷耦合器件（charge-coupled device, ccd）进行探测， 通过对两个测量光路的关联运算后成功得到了物体的像。 该结果和量子纠缠关联成像相类似， 完成了基于经典光源的“鬼”成像实验。通过实验对比，他们还发现量子纠缠光源在近场或 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第一章 绪论 3 远场都能成像，而经典光源只能在其中一个场成像。这一极具启发性的工作，客观上否认了 量子纠缠是实现关联成像的必备条件，引发了学术界关于量子关联成像本质的广泛讨论。 2003 年起，意大利的 gatti 等人15-16首先从理论上指出，不仅针状光束可以实现“鬼” 成像，类似热光的散斑光束也可以实现“鬼”成像。从 2004 年开始，史砚华等人17-19、ferri 等人20以及 bogdanski 等人21分别从实验上观察到了热光源的关联成像。大量的理论和实验 都表明了热光可以作为一种新型的光源模仿 spdc 产生的纠缠光源用以实现关联成像。 在同一时期，国内韩申生等人22-23利用统计光学理论分析了经典热光关联成像，并提出 了利用 x 光源实现无透镜傅里叶变换关联成像的应用方案。汪凯戈等人24-26从几何光学角度 对量子纠缠关联成像和经典关联成像进行了比较，研究了关联成像和亚波长干涉效应。朱诗 尧等人27-28也从“鬼”干涉和“鬼”成像的角度出发，分析了相干光源和非相干光源的异同 点。2005 年，吴令安等人29-30利用铷空心阴极电子管作为真热光源实现了关联成像和关联干 涉的一系列实验。随后，人们对热光关联成像及其对比度、可见度、信噪比、分辨率等方面 进行了更加深入的理论探索与实验研究31-35。 最近几年，关于热光源强度关联成像的研究已成为量子光学领域的前沿和热点，使热光 强度关联成像从理论到实验，进而不断朝着实用化方向发展。如 shapiro36从理论、bromberg 等人37从实验上先后提出了计算“鬼”成像（computational ghost imaging）系统，只利用一 个单像素探测器，通过一定的计算即能高分辨地呈现物体的像，使得关联成像可以用在无本 底成像以及三维（3 dimensional, 3d）成像中。白艳峰等人38-40探讨了热光源高阶关联成像方 案，分析了二阶关联成像和高阶关联成像的异同点。meyers 等人41-43阐明了反射式“鬼”成 像理论，与传统透射式“鬼”成像不同，反射式“鬼”成像系统更适合在实际场景中应用。 程静等人44-45通过理论分析，归纳出了有大气湍流噪声情况下热光关联成像的性噪比、可见 度等性质。karmakar 等人46首次应用太阳光作为光源，成功实现了热光关联成像实验。特别 是，2010 年 ferri 等人47对传统 gi 二阶关联算法进行了改进和实验验证，提出了差分“鬼” 成像方案 （differential ghost imaging, dgi） ， 这种方案可有效地提高热光源二阶强度关联成像 的信噪比，可用于现实复杂物体的成像。随后，2012 年 sun 等人48在 dgi 的基础上，进一 步提出归一化“鬼”成像（normalized ghost imaging, ngi）方案，对于特定场景下的成像， snr 比传统关联成像有较大幅度的提高，获得和 dgi 相当的性能。此外，罗开红等人49通过 理论与实验研究，提出一种热光关联成像方案（correspondence imaging, ci） ，这种方案以物 臂中桶探测器的测量值的均值为判决条件，将探测值分为高于和低于均值的两部分，同时将 对应次的参考臂 ccd 探测器的测量值也分为两部分，仅利用物臂与参考臂的部分测量数据， 即能完整地恢复出原始物体的正图像或负图像。随后，wen jianming50对该方案做了进一步 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第一章 绪论 4 的理论分析，指出该方案的成像可见度能够突破传统关联成像理论极限，达到 100%，并讨论 了实际场景中的应用。 然而，以上所介绍的热光强度二阶关联成像系统，要想获得不错的成像质量，必须进行 大量的采样，用远多于目标图像分辨率的探测点数来恢复物体图像，这就使其一方面成像速 度不够快，另一方面对海量数据的存储、传输及处理的硬件设备要求极为严苛，造成针对关 联成像的进一步实验研究和其实际应用的发展受到限制，如何提高关联成像的成像效率和成 像质量成为亟待解决的问题。 另一方面，注意到信息处理领域近年兴起并逐渐成熟的压缩感知理论（compressive sensing, compressed sensing, or compressive sampling, cs） ， 该理论将信号获取与压缩相合并， 能够用远少于物体信息的 nyquist 采样极限的采样点数来精确地恢复出原始物体图像51-55， 现已被广泛地应用于经典成像系统，例如，核磁共振成像56、天体成像57、太赫兹成像58、 和单像素相机59等。 特别值得注意的是， 2009 年 katz 等人60最早将 cs 理论引入热光源关联 成像系统，使得测量次数大大减少，成像效率明显提高。其后，基于压缩感知的关联成像理 论也成为热点61-64， 其实际应用研究也迅速得到了关注， 如 2012 年韩申生等人65利用压缩感 知关联成像技术实现了远距离雷达探测实验，并与传统雷达系统作了比较。 1.1.2 本文研究点 综合考虑关联成像方案和压缩感知技术的特点，本文首先将压缩感知理论与差分鬼成像 dgi 相结合，提出差分压缩关联成像方案，通过 cs 有效降低采样次数，差分算法有效提高 成像信噪比。这样新方案不仅减少关联成像的采样次数，而且能够进一步提高成像信噪比， 获得高质量的图像。由于新方案基于 dgi 关联成像方案，它克服了背景噪声的干扰，保留了 物体信息的相对值，使得新型成像方案不仅可应用于简单的二进制物体（如“双缝” ） ，而且 可适用于低对比度物体（如 lena 图像） 。 其次，基于条件部分测量关联成像方案，将压缩感知恢复算法用于关联成像，提出条件 部分测量压缩关联成像方案，进一步降低了成像时间，减少了约 50%的测量数据。并且恢复 的图像质量仍然保持较高，成像对比度突破了传统上限1 3，达到 1。最后通过理论推导，提 出参考臂差分压缩关联成像方案，成像性能比 dgi 方案有极大的提高，与差分压缩关联成像 方案相一致。 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第一章 绪论 5 1.2 论论文主要内容文主要内容 本文主要研究了关联成像的理论及压缩感知在热光关联成像中的应用，全文主要分五个 章节完成，各章主要内容如下： 第一章，介绍了关联成像课题研究的背景情况，对关联成像历史发展及最新研究进展进 行了简要叙述，将现有成像方案中存在的的问题做了归纳总结，简单规划出全文的内容安排。 第二章，首先对关联成像的光学原理进行分析阐述，介绍了纠缠双光子关联成像和非纠 缠热光源关联成像的光学理论基础，分析了两种关联成像的量子物理本质，指出了它们的异 同之处。并且介绍了热光的统计光学理论基础，讨论了热光与赝热光的区别，推导出了热光 关联成像的统计光学表达。最后给出信息处理领域中压缩感知理论的基础知识，以离散余弦 稀疏变换为例介绍了信号压缩领域的正交基变换，描述了稀疏信号重构的条件，给出了正交 匹配追踪算法的原理与步骤，并用 omp 算法在 dct 域对普通灰度图像做了压缩感知恢复仿 真，以及对热光关联成像进行了仿真。 第三章，对差分关联成像的理论基础做了推导说明，在此基础上提出一种新的基于压缩 感知的差分关联成像方案，详细分析了该实现方案的理论原理，对其信噪比公式做了说明， 指出对于强透射物体，其信噪比提高较大。并对新方案进行了详细的模拟仿真，计算了 dgi 方案、cdgi 方案以及 cgi 方案对二灰度图“双缝” 、 “nupt”和多灰度 lena 图、boats 图恢 复的均方误差 mse，将结果做了对比分析，从主客观两方面说明了新方案比传统方案的性能 有较大的提升。 第四章，分析了条件部分测量关联成像方案的成像原理，推导出其可见度公式，指出利 用物臂桶探测器探测值的均值做为判决条件，将桶探测器的测量值分成两部分，一部分高于 均值，另一部分低于均值。相对应地将参考臂的测量值也分成两部分，用高于均值的部分恢 复出的物像为正图像，反之为负图像。并且正、负图像的可见度不再是传统热光关联的上限 1 3，而是接近于纠缠光关联成像的 100%的可见度。基于此，提出压缩感知条件部分测量关 联成像方案，给出其理论分析，并做了相应仿真。通过与 cgi 方案的对比，新方案比采样数 据减半的 cgi 方案成像效果好，与采样数相同的 cgi 方案成像质量相当。最后提出一种参考 臂差分压缩关联成像方案，从理论上推导出了成像的等价条件，与 dgi 方案和 cdgi 方案做 了仿真对比，得出了新方案与 cdgi 方案兼比 dgi 方案成像质量和成像效率均有较大提高的 结论，新的理论方案作为 cdgi 方案的补充，可共同作为一种候选的关联成像实用方案。 第五章，总结概括全文内容，并对本研究方向做合理展望，提出潜在的研究点。 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第二章 关联成像和压缩感知理论基础 6 第二章第二章 关联关联成像成像和和压缩感知理论压缩感知理论基础基础 关联成像是起源于量子理论的一种全新的成像理论，它利用量子的非局域特性实现了非 局域成像，后进一步发展为利用经典热光源实现的关联成像。然而，关联成像在实现时，存 在采样次数较多、成像时间长、成像质量有待提高等问题。压缩感知是集采样、压缩和编码 于一身的、利用信号稀疏性进行信号压缩和采样的一种新型理论，能够突破传统采样极限， 在保证质量的同时可大大减少采样次数，可以用来提高成像系统的成像时间和质量。论文主 要研究基于压缩感知的新型关联成像方案。为此，本章主要阐述关联成像和压缩感知的基本 原理。 2.1 纠缠光纠缠光关联关联成像成像 最早的关联成像实验由 pittman 等人，在 klyshko 的理论方案启发下，于 1995 年实现， 实验装置图如图 2.1 所示： 图 2.1 纠缠光源“鬼”成像实验装置示意图 一束波长 351.1nm，直径 2mm 的连续波激光泵浦一个型非线性 bbo 晶体，通过非线 性光学过程，即自发参量下转换（spdc）过程，产生相互正交极化的纠缠光子对，分别叫做 信号光与闲置光。泵浦光与信号光和闲置光几乎共线，它们的频率满足如下关系： 2 sip ， (2.1) 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第二章 关联成像和压缩感知理论基础 7 其中，s 代表信号光（signal） ，i 代表闲置光（idler） ，p 代表泵浦光（pump） ，为光的 频率。 从 bbo 晶体出射的光再经过一个分光棱镜分离出信号光与闲置光，然后在一个极化分 束器 pbs 的作用下，分别将两路光分送至两套不同的光学系统。其中，信号光先透过一个焦 距为 400mm 的凸透镜和一个干涉滤光片，照射一个固定的透射物体，如写着字母“umbc” 的掩膜，其后置一短焦距集束透镜，在焦点处放置一个桶探测器 d1对其测量，实验过程中 d1的相对位置保持不动。闲置光经过一定距离的自由传播，透过一个干涉滤光片后，在探测 平面由探测器 d2进行逐点空间扫描测量。d1和 d2分别独立进行光子计数，单独观测任何一 个探测器的输出，都不能得到“umbc”图像。最后，将两个探测器所激发的光电脉冲同时 送入符合电路进行联合测量。在满足一定实验条件下，随着探测器的扫描，却能够出人意料 地观察到一个探测物体的“鬼”像。 图 2.1 所示“鬼”成像系统中，信号光路包含了物体，但是只对其做桶测量，并没有任 何空间分辨能力；闲置光路虽然做了空间分辨测量，但并不含任何物体信息。然而对二者做 符合计数测量，却能观察到物体的像。这一令人惊奇的结果，与传统成像方式必须在包含物 体的光路上做空间分辨测量才能呈现物体的像有很大的不同，这种新的成像方式能够在不包 含物体的光路上，呈现物体的像，因此叫做“鬼”成像，它体现了光量子的 epr 非定域性。 pittman 等对基于 spdc 纠缠光源的“鬼”成像做了如下解释：对应于传统几何光学成像 系统，将图 2.1 展开成图 2.2 所示，由于纠缠双光子沿直线传播，不难发现物体平面上的任何 一个几何光学点都与像平面上的几何光学点一一对应。因此物体的“鬼”像在像平面上非定 域地呈现。若将像距记为图 2.2 中 i s，物距为 o s，f为成像透镜的焦距，使三者满足高斯薄 透镜成像公式： 111 oi ssf ， (2.2) 实验中的几何光线实际上代表了一对纠缠光子的双光子振幅，平面之间点对点的一一对 应关系是这些双光子振幅相干叠加的结果。或者说，对于某一个光子来说，其位置和传播方 向都是不确定的，但由自发参量下转换产生的纠缠双光子的位置和动量差是确定的，一对光 子就携带了物体的全部信息，而恢复图像则需大量的光子计数。 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第二章 关联成像和压缩感知理论基础 8 图 2.2 纠缠光源“鬼”成像展开图 如果在物体平面上 o x位置测量到的一个信号光子（ o x表示物体平面横向坐标矢量） ，则 在像平面 i x位置处会有唯一一个对应的闲置光子出现，满足() oo xxm，其中 io ms s。 理想情况下，spdc 纠缠双光子的量子态可由下式表示： 0 ()()(,)(,) 0 sisisisipssii ddddaa ， (2.3) 其中， j ，(, , ) j js i p分别是信号光、闲置光和泵浦光的频率和横向波矢量， a为横向光 场产生算符。为简便起见，已假设实验中连续泵浦激光的波矢量0 p 。则信号光和闲置光 的单光子态可计算如下： (,) 0 0(,), (,) 0 0(,). sissssss isiiiiii trddaa trddaa (2.4) 其中，a为横向光场产生算符。假设泵浦光沿z轴传播，spdc 纠缠源的出射平面坐标0 j z 。 根据 glauber 的理论66-67，在 j 平面， j t时刻（,js i） ，spdc 纠缠光的一阶关联函数为： (1)( )( ) (, )(, )(, ) jjjjjj gttr et et ， (2.5) 其中 ( ) e 和 ( ) e 分别表示光子的正、负频率场算符。容易得到信号光与闲置光的一阶关联函 数分别是一个常数： (1)(1) 00 (, ),(, ) ssii gtcgtc， (2.6) 这表明，在任一时刻，任一位置，spdc 出射面分别观察到信号光子和闲置光子的概率 是相同的。光子分别通过光学系统后，d1、d2探测器的符合测量的二阶关联函数如下： 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第二章 关联成像和压缩感知理论基础 9 (2) ( )( )( )( ) 2 ( )( ) 2 (, ;, ) (, )(, )(, )(, ) 0(, )(, ) (, ;, ) , ssii sssiiiiiisss iiisss ssii gtt et et et et et et tt (2.7) 在公式(2.3)纠缠双光子波函数中，加入格林函数（或称传递函数，其物理意义代表光子 传播的几率振幅） ，并考虑其对易关系，得到： 12 1112220 1122 (, ;, )()() (,;,)(,;,). si sisisisip itit ssii z tz tdddd gz egz e (2.8) 其中，信号光路（物臂）的格林函数可计算如下： 2 1 1 22 1 111 2 1 22 (,;,) 2 , 2 s s sl ss ss ll o sso i iz icd s c ls lenssouurce ii cscf s o gzds i eddee cd i ee cs (2.9) 其中， s 和 l 分别是源平面和像平面的横向矢量。闲置光路（参考臂）的格林函数计算如下： 2 2 2 2 222 2 1 (,;,) 2 i i s is ii i id icd s c s souurce gzd i edee cd ， (2.10) 其中， s 和 2 分别是源平面和 d2探测器平面的横向矢量。 将公式(2.9)和公式(2.10)带入公式(2.8)中，得到： 2 1 22 12 2 121122 () 2 222 (,)() (, ;,) (, ;,) () sl oi ss si lsl ois sisssi i iss icd c sissls lenssouurce iii csicdcf s ddgz gz eddddee eedee 2 , souurce (2.11) 经过化简，得到： 2 12 111 () 2 2 121 (,)() l l oi oi ii c ssfc ss l lens o r deesomb s cm ， (2.12) 其中，r 为成像透镜的半径，m 为比例因子，帽子函数( )somb x定义如下： 1 2( ) ( ) j x somb x x ， 其中，)( 1 xj为一阶 bessel 函数。若采取无穷积分，并利用高斯透镜公式（2.2） ，则波函数可 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第二章 关联成像和压缩感知理论基础 10 近似表示为： 1212 (,)()() oi mm ， (2.13) 其中，用 o 和 i 来分别代表物面与像面，以强调这种点到点的 epr 关联。将公式(2.13)带入 公式(2.7)，得到 spdc 纠缠双光子“鬼”成像系统的二阶关联函数为： 2 (2)2 (,)() (,) (,)() i oisisisoiio o r gddggsomb s cm ， (2.14) 物体的透射函数记为() o t，则光子透过物体后做联合测量的过程可如下表示： 2 (2) 12 222 2 22 ()()(,) ()(,)()() ioooi obj oooi obj rdtg dttmtm (2.15) 于是，随着点探测器 d2的扫描，一个“鬼”像在其与桶探测器 d1的联合测量下清晰的 呈现出来。 基于纠缠光子对的关联测量可以实现“鬼”成像，人们自然会联想到，是否也可以利用 非纠缠的热光或者混沌光来模拟“鬼”成像实验。于是，关于非相干热光源的关联成像成为 随后的热门研究方向。 2.2 （赝）热光关联成像（赝）热光关联成像 关联成像这一新型的光学现象似乎有悖于经典光学的理论和朴素的物理直观，且最初是 用纠缠光源实现的，因此，人们有理由相信纠缠光源是实现关联成像的必备条件，2001 年 abourraddy 等人指出只有纠缠光才能实现“鬼”成像，纠缠光子所具有的量子非定域性是其 他非纠缠的、经典的光源所不能模拟的。后来无论从理论还是实验上都证明了用热光也可以 模拟纠缠光关联成像的所有性质。2002 年，bennink 等人首先在实验上证明热光也可以模拟 纠缠光实现关联成像。 2004 年 gatti 等在理论上提出了可以利用非相干的热光源实现相干 “鬼” 成像。2005 到 2006 年，scarcelli 等人最先完成了近场无透镜“鬼”成像实验17-19。下面，我 们首先给出热光场的理论描述与统计模型。 绝大多数光源，例如太阳光、白炽灯、气体放电管等，都是热光源。热光源中的大量原 子、分子彼此独立地、随机地通过自发辐射发出的光称为热光，或者混沌光（chaotic light） 。 热光场中任一时空点上的光场振动是各个基元辐射体在该点的贡献叠加而成。由于热光源中 大量辐射体发光的独立性和随机性，热光光场振动是大量独立随机变量之和。根据中心极限 定理，光场振动服从高斯分布，不同时空点上的光场振动服从联合高斯分布，也就是说，热 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第二章 关联成像和压缩感知理论基础 11 光场是个高斯随机过程68。 讨论 x 方向的偏振光，设( , ) x ut为光场在点和t时刻观察到的电场矢量在 x 方向的分 量，则： 2 ( , )( , ) jt x utat e ， (2.16) 其中，( , )at为其复包络，为中心频率。由上面的介绍可知，( , ) x ut和( , )at都是高斯过 程。此外，由于各个基元辐射体的贡献互相独立无关，同一原子的辐射的振幅和相位也独立 不相关，并且每一原子的辐射的随机相位是在区间(, ) 上均匀分布的，即相位分布概率密 度( )p满足： 1 2 , ( ) 0, p other (2.17) 于是( , ) x ut和( , )at还是圆对称复数高斯过程，其平均值为零。 由于光波频率大约为 14 3.8 7.6 10赫兹，目前没有哪一种探测器能够跟得上这样快的变 化。现有光探测器都只能探测光功率（或光强） ，而不能测出光振动的波形（位相） 。定义偏 振光波的瞬时强度( , ) x it为光场解析信号表示的模的平方，即： 22 ( , )( , )( , ) xx itutat， (2.18) 则光场强度的时间平均( )( , )( ) xxx iiti。由于( , )at是圆高斯过程，( , )aat 服从 rayleigh 分布，即： 2 22 2 exp,0 ( ) 0,other aa a p a (2.19) 其中， 2 代表圆高斯随机变量( , )at的方差。记 2 ( , ) x iita，通过变量变换可求得： 22 1 22 exp,0 ( ) 0,other i i p i (2.20) 因此，热光场中某点的瞬时光强度服从负指数分布。 实际测量中，由于热光的相干时间很短（约为 1014 1010 秒） ，远远小于现有光探测器的 响应时间，因此无法测出热光涨落的瞬时强度。可以用一种模拟热光统计性质的光源，称作 赝热光。它可由一束相干光照在一块转动的毛玻璃上，运动的毛玻璃对相干光散射而成。通 过毛玻璃上一个散射元胞的光的相位会发生一定的变化，大量散射元胞相当于无数个独立的 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第二章 关联成像和压缩感知理论基础 12 辐射体，它们所组成的漫射光场是许多独立贡献之和，根据中心极限定理，它是一个高斯随 机过程。如果毛玻璃的厚度涨落比光波波长大得多，则可以认为相位在(, ) 内均匀分布， 这时光场更是一个圆高斯过程。但是，每当毛玻璃转动360，光场将回复到原来的位置，这 种周期性对于真正的热光场是不从在的，而且通过控制转速，容易使相干时间在 5 10秒至 1 秒的范围内调节，因此把这种光叫做赝热光。实验中，用它来代替真实的热光源，同样可以 实现热光关联成像。 如图 2.3 所示，在 2006 年 scarcelli 等人19的“鬼”成像实验中，赝热光源射出的光，经 过一个分束器被分成两路，其中 a 支路在距光源139 a dmm处放置一个物体，后被一个桶探 测器 d1接收。b 支路在距离光源 ba dd处有一个点探测器 d2扫描光路横向平面。用一个短 焦距（25fmm）凸透镜将透过物体的光线聚集在桶探测器 d1的感光区域，而点探测器则 由一个针状孔径收集。二者的光电二极管输出电流先经过放大器放大并被阻容滤波器过滤， 然后送入拥有射频混合器和低通滤波器的关联电路。类似于纠缠光关联成像方案，热光源关 联成像在只在信号光路包含物体信息，但是不对其做任何空间分辨测量。显然，参考光路的 点探测器所作的空间分辨测量也不能反映物体的任何空间分布信息。那么二者通过关联测量 得到物体的像的过程，也应为“鬼”成像过程。 图 2.3 赝热光源“鬼”成像示意图 由关联理论可以得到，关联测量的二阶关联函数如下： (2)( )( )( )( ) 112211222211 ( , ; , )( , )( , )( , )( , )gr t r ttrer t er ter ter t ， (2.21) 其中， ( )( , ) er t 、 ( )( , ) er t 分别代表在时空坐标点( , )r t处的负、正频率场算符。两探测器的 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第二章 关联成像和压缩感知理论基础 13 符合