[高考]全国高中数学联合竞赛内容梳理2011版数列.doc

全国高中数学联合竞赛内容梳理（2011版）数列1 全国高中数学联合竞赛（19782010）中的数列问题1.1 选择题与填空题（1）（1991）将正奇数集合1，3，5，由小到大按第n组有(2n1)个奇数进行分组：1， 3，5，7， 9，11，13，15，17， (第一组) (第二组) (第三组)则1991位于第 组（2）（1992）设数列满足且对任何自然数，都有，又则的值是 （3）（1994）已知数列满足，且，其前n项之和为，则满足不等式的最小整数n是(A)5 (B)6 (C)7 (D)8（4）（1995）设等差数列满足且，Sn为其前项之和，则Sn中最大的是(A)S10 (B)S11 (C)S20 (D) S21（5）（1996）等比数列的首项,公比,用表示它的前n项之积。则()最大的是(A) (B) (C) (D)（6）（1997）已知数列满足， 记，则下列结论正确的是(A)x100=-a，S100=2b-a (B)x100=-b，S100=2b-a(C)x100=-b，S100=b-a (D)x100=-a，S100=b-a（7）（1997）设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为972，则这样的数列共有(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个（8）（1999）给定公比为的等比数列，设，,，, 则数列 ( )(A)是等差数列 (B)是公比q为的等比数列 (C)是公比为q3的等比数列 (D)既非等差数列又非等比数列（9）（2000）等比数列a+log23，a+log43，a+log83的公比是 （10）（2003）删去正整数数列1，2，3，中的所有完全平方数，得到一个新数列这个数列的第2003项是(A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049（11）（2004）已知数列满足关系式，且，则的值是 ；（12）（2005）如果自然数a的各位数字之和等于7，那么称a为“吉祥数”将所有“吉祥数”从小到大排成一列，若2005，则 （13）（2008）设的内角所对的边成等比数列，则的取值范围是A. B. C. D. （14）（2008）设数列的前项和满足：，则通项= （15）（2010）已知是公差不为0的等差数列，是等比数列，其中，且存在常数，使得对每一个正整数都有，则 1.2 在正整数上定义一个函数如下：当为偶数时，当为奇数时，（1）证明：对任何一个正整数，数列中总有一项为或. （2）在全部正整数中，哪些使上述数列必然出现“3”？哪些使上述数列必然出现“1”？1979年全国高中数学联赛 第二试1.3 已知实数列（其中），满足（）求证：对于任何自然数，是一次多项式1986年全国高中数学联赛 第二试1.4 已知数列，其中，试证：对一切1988年全国高中竞赛试题 第二试1.5 个正数排成行列其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等已知，求1990年全国高中竞赛试题 第一试1.6 设n是自然数，令（1） 求证：（2） 用数学归纳法证明： 1992年全国高中竞赛试题 第一试1.7 设正数列满足且，求的通项公式1993年全国高中竞赛试题 第一试1.8 设数列的前n项和（），数列满足，求数列的前n项和1996年全国高中竞赛试题 第二试1.9 给定正整数和正数，对于满足条件的所有等差数列，试求的最大值.1999年全国高中竞赛试题 第一试1.10 设，. 求的最大值.2000年全国高中数学联赛 第一试1.11 设数列和满足，且证明：是完全平方数.2000年全国高中数学联赛 第二试1.12 设为等差数列，为等比数列，且，（） ，又试求的首项与公差2001年全国高中数学联赛 第一试1.13 如图，有一列曲线已知是面积为1的等边三角形，是对进行如下操作得到的：将的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边向形外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉()记为曲线所围成图形的面积（1）求数列的通项公式；（2）求2002年全国高中数学联赛 第一试1.14 在平面直角坐标系XOY中，y轴正半轴上的点列与曲线上的点列满足，直线AnBn在x轴上的截距为，点Bn的横坐标为，（1）证明：，；（2）证明：存在，使得对，都有2004年全国高中数学联赛 第二试1.15 数列满足.证明：（1） 对于任意，为整数；（2）对于任意，为完全平方数.2005年全国高中数学联赛 第一试1.16 已知无穷数列满足（1） 对于怎样的实数，总存在正整数，使当时恒为常数.（2） 求通项.2006年全国高中数学联赛 第二试1.17 设，求证：当正整数时，。2007年全国高中数学联赛 第一试1.18 设，证明：当且仅当时，存在数列满足以下条件：（1）（2）存在；（3）2008年全国高中数学联赛 第二试1.19 已知是实数，方程有两个实根，数列满足，()求数列的通项公式（用表示）；()若，求的前项和2009年全国高中数学联赛 第一试1.20 证明：方程恰有一个实数根，且存在唯一的严格递增正整数数列，使得2010年全国高中数学联赛 第一试2. 等差数列与等比数列等差数列（1） 定义：数列若满足（为常数），则这个数列叫做等差数列，是这个等差数列的公差。（2） 通项公式：若设等差数列首项为，公差为，则通项公式为；对于任意的，有.（3） 前项和公式：若设等差数列前项和为，则（4） 一些重要的性质 若，且，则； 若是等差数列，正整数也成等差数列，则也成等差数列； 若成等差数列，则叫做与的等差中项，有定义知； 若是等差数列前项和，则也成等差数列，且公差为.等比数列（1） 定义：数列若满足（为常数），则这个数列叫做等比数列，是这个等比数列的公比。（2） 通项公式：若等比数列首项为，公比为，则通项公式为；对于任意的，有.（3） 前项和公式：若设等比数列前项和为，则当时，所有项之和.（4） 一些重要的性质 若，且，则； 若是等比数列，正整数成等差数列，则也成等比数列； 若成等比数列，则叫做与的等比中项，有定义知； 若是等比数列前项和，则也成等比数列，且公差为.2.1 将素数从小到大排列为，令.求证：对于任意正常数，存在一个完全平方数，使得.1998年以色列匈牙利数学竞赛题2.2 给定个互不相同的实数，所有的个和中互不相同的数恰好有个的充要条件是成等差数列.3 递推数列3.1 （1）已知，求通项公式.（2）已知，求通项公式.3.2 设数列满足，求通项公式.3.3 已知，且. 求通项公式.3.4 已知满足，. 求通项公式.3.5 已知，求通项公式.3.6 若，且，求通项公式.3.7 已知，（）. 求通项公式.3.8 已知，（）. 求通项公式.3.9 已知，且，求通项公式. 3.10 设，求通项公式.3.11 已知递归方程.其中是自变量，为常数. 求的表达式. 3.12 已知递归方程为，其中为非负常数，已知，为非负常数，规定. 求通项公式.3.13 已知整数，定义数证明：，对所有满足的，成立.3.14 数列中，若，且，求.【解】首先由递推公式得，总结规律，可得.我们假定这个方程当时成立，再来看当时如何.代入得设，与此相关联的差分方程是.这个方程的根为.这样我们有由前面的计算确定和，最后求得实际计算表明所以我们用数学归纳法证明了3.15 求证：存在惟一的正整数列使得（n=1,2,3,）【解】先证惟一性设数列满足题中所有条件.则将上式变形得: 并且当某时,则,所以，于是.所以式等价于, 即. 由知,该数列的所有项被所惟一确定.再证存在性我们只需证明对满足,的数列中每一项都是正整数即可.事实上,先可求得,.对于.假定都是正整数,而 记,显然是正整数,且所以.考虑的最大公因数从而 则 是正整数.综上,原命题成立.3.16 设，且当时，.求的通项公式.1993年中国国家集训队测验题4. 数列一般项性质项的数性项的整除性项的有界性项的最值性4.1 数列定义如下：.证明：不可能有自然数，使得被整除.4.2 数列满足，证明都是整数.4.3 设非零数列满足都是整数，且其中是某个给定的整数.求证：数列的每一项都是整数.4.4 自然数数列满足关系式.求证：为完全平方数.4.5 设，且对有，其中是给定的自然数.求证：对于是整数.4.6 设是正整数，数列满足：求证：每个都是正整数，并且求所有的，使得是偶数.4.7 已知数列的通项（1） 求证：对每个非负整数（2） 球所有的，使得.4.8 任意选定一个自然数作.在任意选取，如此下去，即当选定后，在选定.证明：在所得数列中，必有某项的末两位数相同.4.9 为一数列，通项，其中为自然数.试证明：对自然数，数列的项总可以表示为其他两项的乘积. 4.10 第一项是一个正整数，小唐构造所有的偶数项，小夏构成后面的奇数项.小唐的构成方法是：将前一项减去它本身的任意一个数字.小夏的构成方法是：将一项加上它本身的任何一个数字.如果他们不停地增加新项，求证：有一个整数会在这个数列内出现至少100次.4.11 斐波那契数列定义为.证明：有唯一一组正整数使得，并且对一切正整数都能被整除.4.12 给定正整数.试证：（1） 存在整数，使得.（2） 对任何适合条件的整数组，可构造出满足的整数序列使得.4.13 是否存在数，使得有一个无穷的正整数数列.对，满足4.14 是29个不同的整整数列.对及自然数，定义：数列中的数的个数数列中的数的个数.已知对所有的及每一个自然数证明：至少存在一对使得.5 特征根法求通项公式我们称二次方程为具有递归关系的数列的特征方程。设是特征方程的两个根，我们得出了以下重要结论： 当时，； 当时，；其中都是由原始条件确定的. 当为虚数时，设，其中，则其中是由原始条件确定的.5.1 求斐波那契（Fibonacci)数列的通项公式.注：（1）称为第个斐波那契数； （2）当初使值改为时，所得出的数列称为卢卡斯（E.Lucas)数列，记作. （3）与有一些性质： (i)； (ii)； (iii), ; (iv); ; (v）; (vi)的奇偶性相同，并且； (vii)； (viii)； 以上各式的证明可利用递推式（或通项公式）结合数学归纳法进行.也可利用证明了的性质来推证.5.2 确定的最大值.其中.5.3 已知数列.试证：对于任意正整数有，并指出等号成立的条件.5.4 已知（1） 试证：对一切 （2） 试求的通项公式.6 不动点法求通项公式 设. 数列由初始项及确定，那么，当且仅当是的不动点时，数列是公比为的等比数列. 设有两个不动点，且由确定数列.1） 若，则数列是等比数列；2） 若，则数列是等差数列. 设有两个不动点.若由确定数列，则数列（其中，为保证）是公比为的等比数列. 若数列满足递推公式，且，有：若其特征方程有两个根，则可变形为. 若数列满足递推公式，我们可以通过消去的方法，使之转化为二7 阶线性递推数列.8 周期数列周期数列的性质：性质：周期数列是无穷数列，其值域是有限集。性质：若是数列的周期，则对任意，kT也是的周期。性质：周期数列必有最小正周期。性质：若T是周期数列的最小正周期，是任一周期，则. 性质：值域是有限数集的无穷递归数列必是周期数列。性质：已知数列满足，分别为的前n项和与积，若，则.定理：设无穷数列满足递归式，为方程的判别式，为其两根，其初始值，则（1） 当时，为周期数列（非常值）且周期为2；（2） 当时，为周期数列（非常值） ，且周期为m ；（3） 当时，不可能为非常值的周期函数。8.1 实数列满足条件，. 证明：存在，使当时有. 8.2 已知实数列具有如下性质：存在正整数，满足及.证明：存在正整数m使得当，是满足不等式.9 模周期数列定义：设是整数数列，m是某个取定的大于1的正整数.若是除以m的余数。即，且，则称是关于模的周期数列。定理：任意满足线性递归关系的k阶线性递归数列是模周期数列.9.1 数列定义如下：（1） 试求的末两位数字；（2） 问在00至99中哪些整数是无穷多个的末两位数. 9.2 设为方程的最大正根，证明：能被17整除. 9.3 已知数列的通项公式为. 证明：数列中有无穷多项为奇合数。10 高阶等差数列定义：给定数列，数列称为的差数列，或一阶差数列。 数列的差数列的差数列，称为数列的二阶差数列。 一般地，的阶差数列的差数列，称为数列的阶差数列。 若的阶差数列是一个非零的常数列，则称为阶等差数列。性质：若是阶等差数列，则的差数列为阶等差数列。性质：设，前个正整数的次幂之和记为，即.则 是关于的次多项式. （采用第二数学归纳法证明）10.1 （上海交大自主招生）求. 性质：数列是p阶等差数列等价于数列的通项公式是关于n的p次多项式. （采用数学归纳法证明）性质：数列是p阶等差数列等价于是n的次多项式. 10.2 对于任意实数列，定义为序列，它的第n项是. 设的所有项都是1，且，求. 10.3 已知是整数列，且满足，；对任意，满足都是完全平方数. 求证：数列的所有项都是完全平方数. 10.4 证明：x的k次多项式一定可以写成 （1）的形式，其中. 并证明：对k次多项式（1），当且仅当全为正数时，对的所有值，多项式的值为整数。11 数列不等式【题目1】，对大于1的正整数，令.求证：对所有的正整数.【题目2】正整数列满足条件：对一切正整数，有且都大于1 .证明：存在正整数，使得.【题目3】为非负整数，满足.证明：存在实数，【题目4】为一给定正整数.求证：.【题目5】设两个正整数满足 （1）（2） .求的通项。【题目6】设为个正实数，且方程组有一组不全为零的实数解.这里.求证：.【题目7】设有界数列满足证明：.【题目8】给定实数和正整数.求证：（1）存在唯一的实数数列，满足（2） （1）中的数列满足.【题目9】设是一个正整数，是个正实数，使得.令，证明：.【题目10】已知数列满足条件设为正整数，.证明：当时，有.【题目11】设为任意无穷正实数数列.求证：不等式对无穷多个正整数成立.【题目12】求最大的常数，使得对任意正整数，存在正实数数列及满足：（1）； （2）且.【题目13】设证明：. 其中.【题目14】设.求证：对一切正整数.【题目15】若数列满足任意正整数.证明：.【题目16】已知.证明：.【题目17】已知求证：.【题目18】已知证明：.【题目19】已知（1）求证：对，有. （2）求【题目20】已知。证明：.【题目21】已知.证明：时.【题目22】设为正整数数列，定义为求证：自某项起递减.【题目23】已知证明：.【题目24】已知.证明：.【题目25】若. 证明：.【题目26】已知.求证：.【题目27】已知证明：（1）（2）.【题目28】满足.证明：（1）若则；（2）若则当时，.【题目29】设求证：（1）（2）若则.【题目30】（为正整数）的最小值为，最大值为，且.求证：.【题目31】是否存在数，使得有意无穷正数列满足？【题目32】已知.证明：.【题目33】已知.求证：对每个.【题目34】已知.证明：存在正数使得任意.*【题目35】若为正数，.证明：.【题目36】已知.求证：.【题目37】设是的实根.求证：（1）；（2）.【题目38】已知.若正数满足.求证：.【题目39】实数满足.证明：对任意实数有.【题目40】已知是其反函数.（1）若数列满足，求；（2）设，问：是否存在一个最大的正整数，使对一切，有成立？【题目41】实数列满足证明：.【题目42】若满足(1) ;(2)(3) .证明：.【题目43】非负数列满足对任意正整数有证明：对任意有.【题目44】求所有实数使满足的数列是递增的.【题目45】设为一无穷正数数列.若对任意且对任意正整数.求证：【题目46】设.求.【题目47】构造一无穷有界数列，使对每一对非负整数【题目48】设函数满足对任意，有.求证：对任意，都有.12 凸数列由凸数列的概念可知，数列凸性揭示了数列连续三项之间的一种不等关系，由此可导出一类与凸数列有关的数列不等式，这些不等式我们可统称为凸数列不等式。题1实数（），且，求最小的，使得对所有，都有. 题2设数列是凸数列. 试证：当时，有. 题3设是一个正实数序列，满足（），证明：对一切，有.题4设数列是凸数列. 试证：对大于1的奇数有题5如果对于每一个（）均有则称实数列为一个“凹数列”. 求出最大的实数，使得对于每一个非负的凹数列，均有.题6给定整数，求具有下述性质的最大常数：若实数序列满足及，则有13 20道国内外数学奥林匹克中的数列问题 1 非负整数数列定义是：是小于的非负整数，且证明：数列一定包含无穷多个素数. （2004，澳大利亚数学奥林匹克） 2 设为一非负整数列，且对任意满足（3） 证明：对任意，可以在数列中找到个连续的项；（4） 求出一个满足条件，且存在无限多个非“0”项的数列. （2005，罗马尼亚数学奥林匹克） 3 设是大于1的整数，集合表示各项均为非负整数且满足递推关系的所有非常数数列的集合. 证明：存在中的一个数列，满足对任意一个在中的数列，有（）.（2008，澳大利亚数学奥林匹克） 4 数列定义为，其中，表示不超过的最大整数. 证明：这个数列有无穷的等差子列. （2008，俄罗斯数学奥林匹克） 5 试求最大整数，使得对于任意的正整数数列，该数列对所有的正整数有，则. （2007，泰国数学奥林匹克） 6 两个整数数列和满足方程其中，. 证明：存在，使得. （2008，国际数学奥林匹克美国代表队选拔考试） 7 数列定义为证明：该数列每一项都能表示成的形式.（2008，塞尔维亚数学奥林匹克）,与互素 8 设整数. 数列满足，且对所有的，有,与不互素证明：数列中有无穷多项是素数. （2010，中国数学奥林匹克） 9 对于任意的正整数，是否存在一个无穷正实数数列满足条件：（1） ；（2） ？（2008，巴尔干地区数学奥林匹克） 10 设是一个正整数. 数列按如下方式定义：，（）. 求的一切可能值，使得存在，（）满足是一个正整数的次幂. （2008，巴尔干地区数学奥林匹克） 11 已知，其中（）是非零整数. 数列满足，（）求证：（1）对于正整数（），是的倍数；（2）. （2008，中国香港数学奥林匹克） 12 数列满足：，（）证明：对任意正整数，中存在均能被整除的连续两项. （2008，国际数学奥林匹克爱沙尼亚代表队选拔考试） 13 设是任意正数. 证明：或至少有一个成立.（对于正数，表示当增加时，和无解）（20082009，匈牙利数学奥林匹克） 14 已知数列满足，（）若（），证明：数列有极限，并求其极限。（2009，越南数学奥林匹克） 15 设，定义，（）证明：当时，为整数，且为奇数当且仅当或.（2009，新加坡数学奥林匹克） 16 求证：对任意的正整数，存在一个有理数的等差数列. 其中， （）是互素的正整数，且互不相同. （2009，亚太地区数学奥林匹克） 17 数列定义为：（），（）. 证明：数列中含有无数个可被整除的数. （2009，奥地利数学奥林匹克） 18 设，令对于任意，其中为的次复合，求的表达式. （1991，IMO中国国家集训队测试题） 19 实系数多项式（）满足恰有一个实根，数列，数列满足，. 证明：中包含无穷多个负实数.（2009，国际数学奥林匹克越南国家队选拔考试） 20 给定正整数，定义数列：，（）其中，表示各位上数码之积（如，）.证明：存在正整数和，使得数列中恰有2009个不同的数. （2009，捷克-波兰-斯洛伐克数学竞赛）21 我们知道，如果给定一个数列，那么我们可以定义它的“差数列”：相反的，我们可以定义“和数列”：. 现在，我们考虑两个数列，满足，并且的和数列没有上界。令，存在一个正常数，使得的和序列满足以下两个条件：（3） 对充分大的正整数，有；（4） 对任意正整数，有. 求的所有可能值。22 已知无限项的正整数的数列满足：对任意的正整数都有. 证明或否定：存在一