[其它考试]非寿险第五讲.doc

第二节 贝叶斯方法在信度模型中的应用一、 问题的提出假设保险公司拥有某一风险子集的某个投保人近年来的理赔数据和该风险子集内的平均损失（同类投保人的保费）。但是过去的经验数据表明，对投保人收取保费是也许不合适，因为他的平均理赔额明显与有差别。那么，明年续保时，向该投保人收取多少纯保费(净保费)，、还是两者的加权平均？二、贝叶斯模型设风险子集的一个投保人的风险水平可以通过一个参数来描述，但是的取值随投保人的不同而不同。这样，通过不同取值，我们可以区分不同投保人的风险水平的差异。具有如下特点：是存在的，但是不可观察的，而且我们永远不知道的真实值。随投保人变化，可以看作随机变量的观察值，在风险子集内存在一个关于的概率分布假定是已知的，但每个投保人的具体风险参数的值都是未知的。记号：设投保人的风险参数为，则 为投保人的损失分布函数为投保人的期望损失，称为风险保费。为投保人的方差。设为的分布密度。则任意选取一个投保人的损失X的分布为投保人的平均损失为投保人的方差为其中n 为组内方差的均值（average variance within subgroups）n 为各组均值的方差(variance between subgroup averages)n m称为集体保费（手册保费），可视为不知投保人任何信息时，对其征收的理想保费。例1：假设有两个骰子，D1的2面有标记，另外4面没有标记，D2的3面有标记，另外的3面没有标记。有标记面出现，表示损失事故发生，反之，则说明损失没有发生。还假设有两个转盘，S1 有三扇标记着5，另外两扇标记着10；S2有一扇标记着5，另外四扇标记着10。当损失发生，则转动转盘，指数指向的扇数所标记的值为损失事件的损失额（理赔额）。设X表示投保人的损失，求X的条件分布。解：每个投保人的风险特征都可以用一个骰子和一个转盘来表示。因此，投保人的风险可以分为4个等级 假设每个转盘和骰子的选取都是随机的，那么，。设X表示投保人的损失，则我们可以计算得到对于上述四类风险特征的人的损失分布如下：对于请同学们计算当时，X的分布三、如何续收保费假设我们已经知道了某投保人过去经验值，如何预测明年的平均损失额？（1）如果已知，那么明年的损失的期望为因此，对于一个已知风险水平为的投保人，保险人收取它的风险保费（risk premium），最能反映投保人的损失水平。注：有时也称为individual premium。（2）如果保险人对投保人一无所知，那么保险人就收取平均保费（collective premium）（3）如果保险人知道投保人的过去的损失经验，但风险水平未知。那么保险人将会使用做为对的预测，这种保费称为贝叶斯保费(Bayesian premium)。四、贝叶斯保费的计算假设独立，投保人的风险参数为，未知。设给定时，的分布为，则的条件分布密度为。设的分布密度为，则的联合密度为的边缘密度为于是由条件分布公式，可得到已知条件下，的后验分布(posterior distribution)这时，给定，的分布(the predictive distribution)可以写为这是一个混合分布。因此贝叶斯保费为例1（续）：假设有两个骰子:D1的2面有标记，另外4面没有标记，D2的3面有标记，另外的3面没有标记。有标记面出现，表示损失事故发生，反之，则说明损失没有发生。还假设有两个转盘:S1 有三扇标记着5，另外两扇标记着10；S2有一扇标记着5，另外四扇标记着10。当损失发生，则转动转盘，指数指向的扇数所标记的值为损失事件的损失额（理赔额）。假设我们已知某投保人的上一次的损失X15，求他下次的损失额的期望，即E(X2|X1).解：每个投保人的风险特征都可以用一个骰子和一个转盘来表示。因此，投保人的风险可以分为4个等级 假设每个转盘和骰子的选取都是随机的，那么，设X为投保人的损失额，根据例1，经计算得到X的条件分布为对于，对于，对于，对于，X1的分布为将X的条件分布代入可得因此，由贝叶斯公式有当时，的后验分布为给定，投保人的损失额的期望类似可以计算，则已知第一次的损失额为5，第二次损失额的期望等于例2：设两个坛中装有标记为0或1的球，球的比例如下0的比例1的比例12先随机选取一个坛子，然后在该坛子中抽取3个球（有放回）。已知标记的数总和为2，求如果再一次从该坛子有放回的抽取2个球，则这2个球标记数的总和的期望等于多少？ 解：设分别表示坛子1和坛子2，则风险参数的分布为 表示第次摸出的球的标记，显然是独立同分布 表示第一次抽取3个球的标记数的总和， 表示第二次抽取的2个球的标记数的和，给定， 易证，服从二项分布，即给定X12，Q的后验分布为下面计算X2的贝叶斯估计。由于因此 练习：(SOA 1104-5)You are given:(i) Two classes of policyholders have the following severity distributions:(ii) Class 1 has twice as many claims as Class 2.A claim of 250 is observed.Determine the Bayesian estimate of the expected value of a second claim from the same policyholder.解：设和分别表示class1和class2，给定，的后验分布为类似可计算出X的风险保费等于从而，X的贝叶斯估计为例3：某投保人的理赔额X的分布密度是其中b的先验分布是。已知该投保人上一次的理赔额为2。求他下次理赔额的期望是多少。解：根据全概率公式，X1的密度为注意积分区域是从2到，因为如果，X1不可能等于2。给定，b的后验分布为X的条件期望为因此，他下次理赔额的期望为例4：假设有某类投保人团体，其中每个人的每次索赔额都为常数，但索赔次数服从参数为的泊松分布。假设该团体在第年的人数为，因此该团体的总索赔次数Nj服从均值为的泊松分布，即风险参数服从gamma分布如果每年的理赔额的通货膨胀率为，即0时的损失，在时的值为，假设人均保费等于人均理赔额期望，求在年有个投保人的团体的总贝叶斯保费。解：设表示第年该投保团体的人均理赔额，因此，的条件分布为则的联合分布密度为后验分布为其中A是与无关的常数。从后验分布的形式可以看出，