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第一章勾股定理1探索勾股定理学法导引 学习本节，首先经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，了解利用拼图验证勾股定理的方法，抓住勾股定理的特征，并能运用勾股定理解决一些实际问题，体会数形结合的数学方法，本节是本章的重要内容思维整合 解析重点利用勾股定理求边长【例1】在ABC中，C90，若a6，b8，求c的值 剖析难点通过计算面积的方法探索勾股定理并用有关知识解决实际问题【例2】 如图111，分别以直角三角形三边为边长作正方形A，B，C已知正方形A、B面积分别为81，225，求正方形C的面积 解析因为正方形A、B面积分别为81、225，所以直角三角形两直角边平方分别为81，225由勾股定理可知斜边平方为81225306故C的面积为306 解C的面积81225306 点拨题目呈现形式虽然特殊，但仍然是勾股定理的应用 点击易错点【例3】已知直角三角形两条边长分别为3、4，求第三边的长 错解5 错解分析题中给出的3和4错认为是两条直角边，实际题中并没有指明是哪两条边，应分情况讨论 正解 当斜边为4，直角边为3时，另一直角边平方为7在现有知识范围内，找不到一个数平方等于7，学完第二章，这个问题自然就会解决 想一想 勾股定理是几何教学中的重要定理，重点是三边之间的平方关系，难点是勾股定理的综合应用，并能用勾股定理解决实际问题，在解题过程中要注意勾股定理的应用范围；分清直角边，斜边，避免发生一些解题错误 能力升级平台 综合能力升级综合应用勾股定理及三角形面积公式能够灵活运用所学知识，以提高应用数学的能力【例4】如图113，RtABC中，ACB90，AC7，BC24，求斜边上的高CD 解析根据已知条件利用勾股定理求出斜边，再利用同一个三角形中面积的不同表示方法来解 点拨已知直角三角形两条边求斜边上的高时，往往采用面积相等来求，这种解题方法在以后解题过程中会经常遇到 应用能力升级把实际问题抽象出几何图形直角三角形，然后用勾股定理解决问题，培养数学建模思想【例5】一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面垂直高度为8米，梯子的顶端下滑2米后，底端水平滑动2米吗？试说明理由（如图114） 解析梯子底端滑动距离AAACAC，在RtABC中，由勾股定理可求出AC，又BB2，可求出BC，在RtABC中可求出AC 梯子的顶端下滑2米后，底端将水平滑动2米 点拨本题由两次利用勾股定理，求出底端水平滑动仍然为2米 想一想在例5中当梯子顶端下滑1米后，底端水平滑动1米吗？梯子顶端下滑距离与底端水平滑动距离一定相等吗？ 创新能力升级在飞机的飞行过程中，构造出直角三角形，从而求出飞机速度【例6】飞机在空中飞行，某一时刻正好飞到学校上空4800米处，过了10秒，飞机距离学校5000米，飞机每小时飞行多少千米？ 解析飞机飞行过程中，正好构成直角三角形利用勾股定理求出10秒钟走过的路程，然后再求速度 点拨注意在解题过程中单位的变化1探索勾股定理【想一想】（教材第4页） 答：售货员没有搞错【习题11】（教材第6页） 1答：A所代表的正方形的面积是625B所代表的正方形的面积是144 2答：（1）x10（2）x12【习题12】（教材第9页） 2答：8米 提示：已知直角三角形斜边长为10米，一条直角边长为6米，根据勾股定理可求得另一条直角边长为8米，即是固定点到电线杆底部的距离.2能得到直角三角形吗学法导引 本节在上一节基础上，掌握直角三角形的判别条件，熟记一些勾股数，能对直角三角形判别条件进行一些综合应用，继续培养数形结合思想，培养学生大胆猜想，勇于探索的创新精神思维整合 解析重点给出已知三角形三边，判定这个三角形是否是直角三角形【例1】一块三角形板的三边长分别是25，7，24，这块铁板是直角三角形铁板吗? 剖析难点综合应用直角三角形的知识解题，先利用勾股定理再利用逆定理解例2的实际问题【例2】如图121，一块四边形菜地ABCD，B90，AB4 m，BC3 m，CD12 m，DA13 m求四边形的面积 点拨对于不规则四边形求面积时，一般把四边形分成两个三角形再求面积 点击易错点在用勾股定理的逆定理时，分不清用哪一条边作斜边，易产生错误【例3】以线段a、b、c为边组成三角形是不是直角三角形其中a0.3，b0.5，c0.4 错解分析本题是没有辨清哪条边是斜边而导致错误，验证时应找最大边平方等于其他两边平方和 弄清直角三角形的判别条件以及勾股数概念，并能进行简单的应用，注意勾股定理及勾股定理逆定理的联系与区别，为以后的几何学习打下坚实的基础能力升级平台 综合能力升级利用已知条件判定三角形形状，把代数知识和几何知识综合起来应用 应用能力升级根据已知条件，将已知条件进行适当变形，得到相关的结论来判定三角形形状 点拨以上两个例题给出的已知条件都是一个含有多个未知数的等式，常常采用分解因式或配方法， 创新能力升级勾股定理及逆定理综合应用还和三角形中线及面积综合起来【例6】在ABC中，AB13 cm，BC10 cm，BC边上的中线AD12 cm 解析因为AD是中线，BDCD5在ABD中三边长度均有，可根据勾股定理逆定理判定ABD为直角三角形，再利用面积公式求解2能得到直角三角形吗【随堂练习】（课本第11页） 答：（1）、（2）可以作为直角三角形的三边长【习题13】 （课本第12页） 2答：仍然是直角三角形3蚂蚁怎样走最近学法导引 能运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单实际问题，并将空间想像、动手操作和思考结合起来，将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题能力及形成数学建模的思想思维整合 解析重点用勾股定理及逆定理，解决实际生活问题，体验数学学习的实用性【例1】某人欲渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B240米，结果他在水中实际游了510米，求该河的宽度（如图131） 解在RtABC中，将BC，AC长度同时缩小30倍后得8，17 若na，nb，nc为勾股数，则a，b，c也为勾股数，所以在实际问题计算时，由于数据较大，可以采用以上方法 剖析难点路程最短问题利用数学中建模思想构成直角三角形，利用勾股定理解决【例2】如图132， 解析将圆柱侧面剪开展成一个长方形，利用两点之间线段最短，构成直角三角形，利用勾股定理来解 点拨蚂蚁从圆柱下底面一点爬到上底面一点，且要求路线最短，看上去是一个曲面上路线问题，实际上通过圆柱侧面展开而转化成为平面上路线问题，再利用勾股定理求解 点击易错点实际应用问题考虑不全【例3】有一个长为12 cm，宽4 cm，高3 cm的长方体铁盒，在其内部要放一根笔直的铁丝，则铁丝最长是多少？（如图133） 错解3 cm 错解分析铁丝垂直放置是一种形式，而斜放铁丝要比垂直放置长一些，斜放时放在BC位置最长 在原有平面图形的基础上，把一个曲面图形首先展成一个平面图形，然后构造出直角三角形，体现转化的数学思想，再次展现两点间线段最短这个公理，解题时要把问题考虑全面，以免出错能力升级平台 综合能力升级勾股定理及逆定理综合应用 点拨注意勾股定理及逆定理的区别 应用能力升级勾股定理与台风问题是近年中考常见题型，重点是选定问题中的直角三角形【例5】如图135，某沿海城市A的正南方向的B处有一台风中心，沿BC方向以15千米时速度行驶6小时到达D，已知A距台风中心最短距离AD120千米，求AB的值 解析由A距台风中心最短距离可知ADBC，所以ABD为直角三角形再根据已知条件求出BD，利用勾股定理即可 点拨把实际问题抽象成数学问题，建立数学模型是解此类题的关键 创新能力升级把有趣的生活问题，变成数学问题，抽象出几何图形，用数学知识来解决【例6】在一棵桃树10米高处有两只猴子，其中一只猴子爬下树去走向离树20 m处的水塘，而另一只猴子爬到树顶后直扑水塘，如果两只猴子经过的路程相等，问这棵树有多高？ 解析两只猴子运动的路线与桃树正好构成直角三角形利用勾股定理建立方程来解第二章实数1数怎么又不够用了学法导引 本节是在有理数的基础上把数再一次进行了扩充，引入一种既不能用整数表示，也不能用分数表示的数即它不是有理数，但它确实存在，我们称它为无理数学习本节的关键是能利用无限逼近的思想去理解无理数是无限不循环小数；利用对比的方法体会有理数和无理数的区别思维整合 解析重点1体会无理数的存在及无理数的概念【例1】边长为1的正方形对角线长为x，那么x的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？判断x是有理数吗？ x的整数部分是1，十分位是4，百分位是1，千分位是4；x是无理数，因为它是无限不循环小数 点拨此题是在探索什么叫无理数，采用了无限逼近的思想，即将x的范围逐渐缩小，2能判断一个数是有理数还是无理数【例2】长方形的长为3，宽为2，设对角线长为a，a可能是整数吗？可能为分数吗？可能为有理数吗？ 又因为两个相同的最简分数的乘积仍为分数，所以a不可能为分数；a既不是整数也不是分数，所以a不是有理数 点拨这类题目是说明一个数不是有理数，从而引出无理数的概念，既不是整数，又不是分数的数不是有理数 剖析难点对无理数概念的理解理解无理数概念应从以下两点入手： （1）无理数必须是无限小数； （2）无理数必须是不循环小数，两个条件缺一不可【例3】下列说法中，正确的个数是（ ） （1）无限小数都是无理数 （2）不循环小数都是无理数 （3）无理数都是无限小数 （4）0既是有理数也是无理数 A1个 B2个 C3个 D4个 解A 点击易错点对“无限不循环小数”和“无限小数”理解错误 A1个 B2个 C3个 D4个 错解C 错解分析“无限不循环小数”不能化成分数，是无理数，“无限小数”即可以是“无限不循环小数”，也可以是“无限循环小数”，即可以是无理数或有理数 是无限不循环小数，是无理数，错认为是有理数 正解B能力升级平台 综合能力升级无限逼近思想与勾股定理相结合，应用勾股定理求得的结果可能不是某一个数的平方，此时可用无限逼近的思想求出结果 E、F、G、H分别是正方形四条边的中点，依次连结E、F、G、H得一个正方形，求这个正方形的边长（结果保留两个有效数字） 解析利用勾股定理求出正方形EFGH的一个边长的平方，再利用无限逼近的方法求出其边长 其边长为4 cm 又E、F、G、H分别为各边的中点， 点拨利用小学所学的正方形的性质，即四条边相等，四个角都是直角，再利用勾股定理及无限逼近的思想求出正方形EFGH的边长 创新能力升级把实际问题转化为数学问题，认真体会转化的思想【例6】如图212所示，要从离地面6 m的电线杆上的A处向地面B处拉一条钢丝绳来固定电线杆，要固定点B到C处的距离为5 m求钢丝绳AB的长度（精确到十分位） 点拨此类问题在实际生活中应用较为广泛，主要考查学生对勾股定理和无限逼近思想的应用能力 2平方根学法导引 学习本节的关键是要认真体会各个知识点之间的联系及应用认真分析平方根和算术平方根的概念，理解它们的联系与区别，利用对比的方法体会开方运算和乘方运算互为逆运算思维整合 解析重点1正确理解平方根和算术平方根的意义及概念 解2；16 点拨这两道题的条件和结论互换了位置，但都考查的是平方根和算术平方根的意义2理解开平方与平方互为逆运算 求一个数的平方根的运算叫开平方，开平方与平方运算就如加法与减法，乘法与除法互为逆运算类似 解2，5 点拨这两题的运算互换了顺序，一个是先平方再开方，一个是先开方再平方，但都考查的是开方与乘方互为逆运算的关系3会用开平方运算，求某些非负数的平方根和算术平方根 求一个非负数的平方根的一般步骤是： 求一个非负数的算术平方根的过程，类似于求平方根的过程，只是算术平方根取单值，即正值（或0），而平方根取双值，且互为相反数 剖析难点正确理解算术平方根和平方根的联系与区别 联系：一个正数的算术平方根是它的平方根中的一个 只有非负数才有平方根及算术平方根（即a0） 区别：正数的算术平方根只有1个，但平方根有两个，且它们互为相反数【例4】下列语句中正确的是（ ） 解D 点拨解答此题的关键是正确分清平方根与算术平方根的联系与区别 点击易错点1平方根与算术平方根两概念混淆3对算术平方根的非负性理解不足能力升级平台 综合能力升级算术平方根常与绝对值，平方运算相结合考查对算术平方根、绝对值、平方的结果的非负性的理解 解析根据绝对值、算术平方根、平方根的意义，求x、y、z的值 解由题意得， x30，y10，z20 x3，y1，z2 xyz3（1）（2）6 点拨平方、绝对值及算术平方根的运算结果都是非负数当几个非负数之和为0时，只有每个加数都为0时才成立 应用能力升级平方根在实际生活中应用较广，尤其是算术平方根的应用【例9】盖房时，在墙上留出1.44平方米的正方形空间预留安装窗户用，求正方形窗户的边长 x1.2（x1.2不合题意舍去） x1.2 答：正方形窗户的边长是1.2米 创新能力升级在学习中不断地学会总结、归纳知识点，掌握知识的多层应用【例10】若对于正数x和y，有下列命题： 根据以上三个命题所提供的规律猜想： 点拨在学习的过程中，进行大胆地猜想是很有必要的，猜想的结论要经过适当的方法（如举例，归纳等）去验证其正确性，这就需要我们积累丰富的知识 3立方根学法导引 本节通过探究式的学习方法，了解立方根的概念和性质，并要熟练地求出一个数的立方根，理解开立方与立方互为逆运算在此基础上关键是搞清平方根与立方根的联系与区别思维整合 解析重点立方根的意义和性质 性质：正数的立方根是正数且只有一个；0的立方根是0；负数的立方根是负数且只有一个【例1】求下列各数的立方根 点拨运用立方运算求一个数的立方根是常用的方法求带分数的立方根，先将带分数化为假分数 剖析难点立方根与平方根的联系与区别 联系：（1）都与相应的乘方运算互为逆运算即开平方与平方互为逆运算，开立方与立方互为逆运算 （2）0的立方根与平方根都是它本身 区别：（1）在用符号表示平方根时，根指数2可省略，而用符号表示立方根时，根指数3不能省略 （2）只有非负数才有平方根，而任何数都有立方根 （3）正数的平方根有两个，而正数的立方根只有一个【例2】下列说法正确的是（ ） 点拨A中正数1的立方根只有1个是1，而1的平方根才是1； 点拨这两道题是把条件和结论互换了位置，但都考查的是立方根与平方根的概念 点击易错点1易把平方根与立方根的概念混淆，在计算时出错【例4】64的立方根是_；27的立方根是_ 错解4；没有 错解分析错解是把平方根与立方根的概念混淆了，错认为正数的立方根有两个，而负数没有立方根，这只是平方根的性质，而对于立方根来说，不管是正数还是负数都只有一个立方根 正解4；3 点拨正数、负数、零均有立方根，且立方根的符号与被开方数的符号一致2审题不清 错解4 错解分析错解是由于知识掌握不清楚，没有理解题意，而导致错误的 而直接对64进行了立方根的运算，以致出现了错误 正解2能力升级平台 综合能力升级立方根常与平方根、立方、相反数相结合，应用彼此的不同性质解题【例6】若a、b互为相反数，c、d互为负倒数， 解析根据相反数、倒数、立方根、平方根的意义求解 解 点拨学会不断地积累知识，归纳相关的知识点 应用能力升级平方根与立方根在实际中的应用都较为广泛，它使我们能更熟练地应用各自的性质去解题【例7】某商品的价格逐年上涨，到第四年销售价已变成了原来的3.375倍假设每年的上涨率是相同的，试求该商品每年的上涨率 解设该商品的原价格为a元，每年的上涨率为x，根据题意，得 答：该商品的上涨率为50% 创新能力升级立方根知识与新思维方式的结合应用【例8】 点拨本题引入一个新元，通过代换，使两个条件得以沟通4公园有多宽学法导引 学习本节关键是掌握估算的方法，形成估算的意识，利用估算检验计算结果的合理性，通过练习来估算无理数的大致范围，并通过估算比较两个数的大小思维整合 解析重点1能通过估算检验结果的合理性，能估计一个无理数的大致范围，并能通过估算比较两个数的大小【例1】下列结果估算正确的是（ ） 解C 点拨选项A、D均属于数量级错误，选项B正确结果为2.2，故选C2掌握估算的方法，形成估算的意识，培养学生数感理念，发展学生数感思想 点拨在比较实数的大小时，若能用推理的方法，显得较简单，若不能用推理，可先将无理数取近似值，再进行比较 剖析难点估算无理数的近似值时，确定某一位上的数字 但确定十分位时要进行尝试，为减小盲目性，可以看出，6小于4和9的平均数6.5， 但6较接近6.5，故可对2.4或2.5进行平方，看是否非常逼近6 当误差小于0.1时，a的值约为2. 4或2.5 点击易错点对无理数进行估算时，结果的数量级最易出错能力升级平台 综合能力升级本节内容常与平方、平方根、立方根及勾股定理等知识相结合应用 点拨综合应用了完全平方及算术平方根的意义与开立方的知识 应用能力升级把生活中的典型例子转化为数学问题，培养我们联系实际，应用知识的能力【例7】生活经验表明，靠墙摆放梯子时，则梯子比较稳定，现有一长度为9米的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到8.5米高的墙头吗？ 答：梯子稳定摆放时，它的顶端不能够达到8.5米高的墙头 创新能力升级在发现中归纳，在归纳中创新 解析因A是x3的算术平方根，则指数2xy2；又因B是2y8的立方根，则指数3x2y3，且本题中还要注意有一个隐含条件x30，而2y8可取任何值由上可组成方程组，从而求出x，y的值 点拨应用平方根和立方根的性质5用计算器开方学法导引 利用计算器会进行开平方运算和开立方运算.通过练习学生应自觉探索计算器的用法，能用计算器探索一些数学规律思维整合 解析重点1会求一个非负数的平方根及一个数的立方根【例1】用计算器求下列各式的值 点拨注意计算器的按键顺序 2会利用计算器探索数学规律【例2】利用计算器探讨下列各组数的算术平方根有什么规律 （1）0.0144，1.44，144，14400； （2）78000，780，7.8，0.078，0.00078 规律：被开方数的小数点向右（或向左）每移动两位，它的算术平方根的小数点相应的向右（或向左）移动一位能力升级平台 综合能力升级把动脑和动手操作结果结合起来解决实际问题，培养学生的综合素质【例3】已知一个正方体的棱长为10 cm，再做一个正方体，使它的体积是原来的3倍，求所做的正方体的棱长（精确到0.1 cm） 答：所做的正方体的棱长为14.4 cm 应用能力升级利用计算器求值，会给结果带来很大的方便，且会更加准确【例4】利用计算器计算（结果精确到0.01） 点拨结果精确到0.01时，计算的中间过程要精确到0.0016实数学法导引 实数这一节内容是对所认识的数的范围的再一次扩充，它和以前由自然数扩充到整数，由整数扩充到有理数一样，是我们认识数的范围的一次大的跨越新加入的无理数也是数，以前学习的一些关于数的运算公式仍然成立，但新加的数有其自身的特点，这些特点决定了它有一些独特的性质思维整合 解析重点对实数的理解 有理数和无理数统称为实数实数若按定义分，可分为： 若按数性分类，可分为：【例1】在下列数中，选择合适的数填入相应的集合中： 有理数集合： ； 无理数集合： ； 正实数集合： ； 负实数集合： 解 点拨无理数是无限不循环小数，它包括三种： 有特定结构的数，如0.1010010001；有特定意义的数，如2对实数运算的理解 在实数范围内，可进行加、减、乘、除、乘方、开方运算和它们间的混合运算；有理数范围内的运算律、运算法则在实数范围内仍适用 剖析难点对“实数与数轴上的点一一对应”的理解【例3】下列说法正确的是（ ） A每一个整数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个整数 B每一个有理数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个有理数 C每一个无理数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个无理数 D每一个实数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数 解D 点拨D答案正好说明了实数与数轴上的点是一一对应的，这两个条件缺一不可 点击易错点1对“一一对应”理解不够清楚如剖析难点中的例3，有的同学会选B，错认为只有有理数才能在数轴上表示2对实数的运算结果不能化到最简 点拨最简结果是被开方数不应该含分母及开尽方的因数，整个结果中的分母应为有理数能力升级平台 综合能力升级把平方、平方根、绝对值相结合，利用它们的共性解决问题 解析应用算术平方根的性质去掉括号；绝对值的化简，需先确定绝对值符号内的实数的符号，以便顺利去掉绝对值符号 点拨应用算术平方根，绝对值的意义，这两种运算的结果都是非负数 应用能力升级数从有理数扩大到实数后，应用更为广泛【例6】如图261所示是一条隧道的横截面，上方是一个半圆，下半部分是一个长方形一辆货车装满货物后，高4 m，宽2.8 m请计算说明这辆装满货物的货车能否顺利通过这条隧道 解析如图261中只要AB的长达到4 m，货车便能顺利通过隧道 故这辆货车能顺利通过 创新能力升级实数在勾股定理，体积，面积的计算中的应用可培养学生的归纳能力，总结能力，创新能力【例7】图262是三个周长相同的长方形，不同的组合方法，它们的面积不一样了，对角线的长也不一样了，请分别计算出它们的面积和对角线，并且根据计算结果观察一下对角线与面积之间有什么关系？ 从上面的结论可以看出这三个长方形的周长都是24，按不同的方式组合，对角线短的面积反而大，对角线长的面积反而小 点拨上述结论也可以看作是在周长相同的长方形中，长与宽的差越大，面积越小，长与宽的差越小，面积越大，这样我们就知道了在周长相同的长方形中，正方形的面积最大的道理了第三章图形的平移和旋转1生活中的平移学法导引 平移，是现实生活中广泛存在的现象，是现实世界运动变化的最简捷的形式之一，如电梯等，它不仅是探索图形性质的必要手段，而且也是解决现实世界中的具体问题以及进行数学交流的重要工具，应充分挖掘和利用现实生活中大量存在的平移现象思维整合 解析重点平移的性质平移不改变图形的形状和大小且平移时图形上的每一点都沿着同一方向移动了相同的距离【例1】如图311，ABC平移后成为ABC，说出在这两个三角形中你所知道的关系 解ABC是由ABC平移得到的，因此，ABC与ABC全等，ABAB，BCBC，ACAC；且ABAB，BCBC，ACAC，又AA，BB，CC 点拨平移是全等的变化，要找到相等关系，平行关系，关键是找到图形中的对应点，在本题中A与A对应，B与B对应，C与C对应ABC 剖析难点对平移基本内涵的理解【例2】下列说法正确的是（ ） A照镜子时，镜里镜外的人是平移关系 B若ABCDEF，则ABC可以看作是由DEF平移得到的 C若AB，则A可看作由B平移得到的 D若A经过平移后为A，则AA 解D 点拨在平面内将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的运动称为平移，这里是从整体的角度刻画平移的关键特征，“将一个图形沿某个方向移动一定的距离”，意味着“图形上的每一点，都沿着同一个方向移动了相同的距离”，同时，“平移不改变图形的形状和大小”作为“定义”的补充内容，也从平移的结果上刻画了平移的特征，即平移是全等的变化，但条件和结论不能互换 点击易错点把所有相等或平行，全等关系错认为都是由平移得到的【例3】在图311中，找出图中的等量关系，并判断是否由平移得到的 错解ABAB且ABAB是由平移得到的，ABCABC，是由平移得到的 错解分析ABAB且ABAB，是根据平移的性质所得到的，而ABCABC， 是根据平移不改变图形的形状和大小得到的 正解ABAB且ABAB，是由平移的性质得到的；同理BCBC且BCBC，ACAC且ACAC也是由平移的性质得到的ABCABC是由平移的性质得到的 点拨经过平移，对应线段、对应角分别相等；对应点所连的线段平行且相等应注意平移图中的有些等量关系，并不是由平移得到的 想一想滑冰运动员在冰场上滑行是平移现象吗？能力升级平台 综合能力升级通过平移运动锻炼学生的动手能力【例4】如图312，是由10枚硬币摆成的三角形，现在只许移动3枚硬币，使图312（1）中变成图312（2）的倒三角形，请移移看 解方法很多，选择其一：如312中图（3）、（4） 点拨动手能力与知识能力相结合 应用能力升级在方格上进行图形的平移，可培养学生的识图能力和对知识的应用能力【例5】请将图313中的小船向左平移8个格 解如图313中左边的船 点拨小船向左平移8个格，是指小船上的每一个点都向左平移8个格 创新能力升级几种图形变化的作图，是本节平移知识的创新之处，考查学生对知识的综合应用能力【例6】ABC为等边三角形，其位置如图314（1）所示，作出以AB为轴的轴对称图形后，再将其按图示方向平移3 cm 解析本题综合考查了平移变换和轴对称等知识，只要按照轴对称和平移的性质，先作出ABC的轴对称图形，再按要求进行平移 解（1）过C点作COAB，垂足为O，延长OC到C，使OCCO，连结AC，BC，则ABC为ABC的轴对称图形 （2）过A、B、C按图示方向作线段ADBECF3 cm，连结DE、EF、DF则DEF即为所求作的三角形，如图314（2） 点拨作此类题，要分清作图步骤，找到作图的关键点，一般三角形的三个顶点线段的交点都为关键点 2简单的平移作图学法导引 平移是生活中常见的问题，根据平移的基本性质作图，关键是找到平移的方向和距离，本节没有明确要求要严格的尺规作图学习中要掌握有关作图技巧，发展初步的审美能力，通过简单的图形设计，深化对图形基本变换的认识思维整合 解析重点按要求作出平移后的图形，根据平移的性质（经过平移，对应线段、对应角相等，对应点所连的线段相等且平行）解题【例1】经过平移，图321中的长方形的A点移到了E点，作出平移后的图形 解法一 （1）过E作EFAB，且EFAB，如图322； （2）过E作EHAD，且EHAD； （3）过F作FGBC，且FGBC； （4）连结HG，则长方形EFGH是长方形ABCD沿AE方向平移后得到的图形 解法二（1）连结AE，如图323； （2）作BFAE，且BFAE； （3）作DHAE，且DHAE； （4）作CGAE，且CGAE 连结EF，EH，HG，GF，则长方形EFGH是长方形ABCD沿AE方向平移后得到的图形 点拨方法（一）是利用了在平移的过程中，平移后的线段与原图形中的对应线段平行且相等；方法（二）是利用了把基本图形中的每一个点都沿相同方向移动同样的距离，连结相应的线段，就得到了平移后的图形任选其一即可 剖析难点探索图形之间的平移关系【例2】用不同的方法分析图324的形成过程 解方法一：可以看作由一个正八边形经过11次平移后得到的 方法二：可以看作由左边上下三个正八边形为基本图形经过三次平移后得到的 方法三：可以看作由上面四个正八边形为基本图形向下平移两次得到的 点拨一个平移图案的形成可以理解为多种方案，关键是由所选的基本图形不同而导致的 点击易错点在给出的格纸上把一个图形沿指定方向平移若干个格易发生错误【例3】作出图325中1向左平移2个格后的图案 错解如图325中2 错解分析错解是把向左平移2个格理解为平移前后两个图形之间空两个格 正解如图325中3 点拨向左平移两个格是指图形上所有点都向左平移两个格 想一想奥运五环旗图案是怎么形成的？能力升级平台 综合能力升级图形的平移变换，尤其是三角形的平移常与三角形的一些性质结合应用【例4】如图326，将ABC沿着射线BC的方向平移后得到DEF，已知A30，B72，BC3 cm，AC5 cm你能说出DEF中哪些角的度数，哪些边的长度？ 解在ABC中，A30，B72， ACB180AB180307278 又DEF是由ABC平移后得到的， DA30，DEFB72，DFEACB78，EFBC3 cm，DFAC5 cm 点拨综合应用三角形的内角和定理及平移变换的特征 应用能力升级平移变换在现实生活中应用相当广泛，如窗棂、地毯等各种装饰上都能见到漂亮的经过平移的图案【例5】图327是一种窗棂的图案，仔细观察，分析图中运用了怎样的平移变换 解图案可看作是以一朵七瓣花为基本图案，经过上下平移和左右平移得到的 点拨判断一个图案的形成应先找到基本图案，再看它的平移方向3生活中的旋转学法导引 旋转和平移一样，也是图形的变换，它也不会改变图形的形状和大小，学习本节要通过具体实例，理解旋转的性质，即旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等学习本节还要认真体会用数学的眼光看待生活中的有关旋转问题思维整合 解析重点旋转的性质： （1）经过旋转的图形的形状和大小没有发生改变； （2）旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的距离相等； （3）对应点到旋转中心的连线所成的角彼此相等【例1】如图331，把ABC绕点C按顺时针方向旋转40，得到DEF若A50，ACE15，BC3 cm，AB4 cm，求DEF各内角度数及EF、DE的长 DEF是由ABC绕点C顺时针旋转40得到的， BCEAFD40 又ACE15， ACB401555 B180AACB180505575 根据旋转的性质 DA50，DEFB75，DFEACB55， EFBC3 cm，DEAB4 cm 点拨这一类题都是应用旋转的性质即由一对对应点与旋转中心的连线所夹的角都是旋转角，可得BCEAFD40；由旋转前后的两图形的对应角相等可得DA50，DEFB75，DFEACB55；由对应点到旋转中心的距离相等得EFBC3 cm 剖析难点对旋转图的分析关键是找到旋转角、旋转中心、旋转方向和基本图案【例2】分析图332中的旋转现象 解图形可以看作是以中心点O为旋转中心，将ABC作为“基本图案”顺时针旋转120，240得到的， 点拨分析图形的旋转应指明什么“基本图案”绕着某个旋转中心沿着顺（逆）时针方向旋转多少角度形成的由于选择的“基本图案”不同，旋转情况也有差别因此可以有多种旋转方案 点击易错点对旋转角理解不清【例3】如图333是以一个花瓣为“基本图案”，通过连续4次旋转所形成的图形，求旋转角度 错解以一个花瓣为“其本图案”，通过连续4次旋转所形成的，旋转角为72 错解分析错解是把旋转角看成是两个花瓣之间的角度了，应是每一次旋转的角度 正解旋转角度分别为72，144，216，288能力升级平台 综合能力升级旋转和平移现象在几何图形中最为常见，如平行四边形、矩形、菱形、圆等【例4】指出图334中平行四边形中的旋转和平移 解析从线段、角、三角形等方面考虑 解AD可看作是由BC平移得到的，AB可看成是由DC平移得到的； AO可看作是由CO绕点O按顺（或逆）时针旋180得到的，BO可看成是由DO绕点O按顺（或逆）时针旋转180得到的； AOD可看作是由COB绕点O按顺（或逆）时针旋转180得到的，AOB可看作是由COD绕点O按顺（或逆）时针旋转180得到的 点拨综合应用旋转和平移的性质 应用能力升级旋转现象在我们的实际生活中的应用较为广泛，如钟表中时针、分针、秒针的旋转，自行车车轮的转动等【例5】钟表的分针匀速转一周需要60分 （1）经过20分，分针旋转了多少度？ （2）分钟旋转了90，经过了几分钟？ 解析由钟表实物可知分针是绕着表的轴心旋转的，它旋转一周的度数360，需要60分钟，因此每分钟分针可转6，由此可解此题 点拨通过熟悉的钟表实物，进一步掌握旋转的性质 创新能力升级把旋转和平移应用到几何证明题中，这是一种很新颖的题型，这就要求学生必须熟练掌握旋转和平移的性质，能够举一反三，应用灵活【例6】如图335，点P为正方形ABCD内一点，若PAPBPC123，求APB的度数 解如图336，为使分散的PA、PB、PC相对集中，可将PAB绕点B顺时针旋转90，使P点落在P的位置，连结PP， 在PBP中，BPBP，PBP90，BPP45 CPB4590135，即APB135 点拨注意观察图形，灵活应用旋转知识解决问题4简单的旋转作图学法导引 旋转作图和平移作图一样，都是根据它们的基本性质来作的，旋转作图要找到旋转方向，旋转中心和旋转角，它们是旋转作图必不可少的三个条件旋转作图和平移作图都是图形的全等变换思维整合 解析重点简单平面图形旋转后的图形的作法【例1】将大写字母H绕它左上侧的顶点按逆时针方向旋转90，作出旋转后的图形（图341图a） 解方法1： （1）找到字母H的6个关键点；（如图341图b） （2）以各顶点与左上侧顶点连结的线段为一边作直角； （3）在直角的另一边上截取线段，使它与角的一边等长； （4）连结各点 方法2： （1）用三角板作直角； （2）截取； （3）连结 点拨作旋转图也要先找到图形上的几个关键点，再根据旋转的性质作图，应注意旋转前后的图形必须是全等形 剖析难点理解和准确把握旋转，分析图形旋转前后的关系，体会旋转图的价值和内涵【例2】利用旋转画一个五角形 解（1）用铅笔画一个圆；（图342a） （2）任意画一条半径；（图342b） （4）继续旋转，将这个圆分成5等分；（图342d） （5）用橡皮将圆擦去，因为这个圆只是起辅助作用；（图342e） （6）将所有不相邻的半径的端点相连（图342f） 试一试你也能得到这样的图案吗？动手试一试吧！ 点击易错点旋转作图中分不清旋转方向【例3】把ABC绕着点O逆时针旋转90（图343） 错解如图344 错解分析错解是把ABC按顺时针旋转了90，理解不清方向 正解如图345能力升级平台 综合能力升级把几何图形的性质和旋转的性质结合应用【例4】如图346，正方形ABCD，ADE旋转后能与ABF重合请找出旋转中心和旋转角，并判断AEF的形状 解旋转中心为A ADE旋转后与ABF重合，即D与B重合，E与F重合 D与B，E与F是对应点且DAB90 旋转角为90 AEF是等腰直角三角形 理由：E与F是一对对应点，EAF是旋转角，EAF90， AEAFAEF是等腰直角三角形 解析综合应用正方形的每个角都是直角以及旋转图形的性质 应用能力升级旋转变换在一些平面图形中常常出现，要分析它的旋转现象，这就要求学生必须具有很好的识图能力【例5】已知ACD，AMB都是正三角形，画出ACM以点A为旋转中心，逆时针方向旋转60后的三角形（如图347） 解连结BD，ADB就是ACM以点A为旋转中心逆时针旋转60后的三角形 点拨注意观察图中的角与线段的关系 5它们是怎样变过来的学法导引 平移、旋转和轴对称是三种基本变换本节内容把这三种变换融合在图案中，认识和理解这三种变换的区别，是识别图案的基础，这也有利于提高综合运用变换解决问题的能力思维整合 解析重点探索图形之间的变换关系，利用旋转、平移和轴对称分析图形的形成【例1】图351是由三个正三角形拼成的，它可以看作由其中一个三角形经过怎样的变换而得到的？ 解把中间的正三角形看作基本图案，以三个正三个角形的公共顶点为旋转中心分别按顺时针，逆时针方向旋转60，即可得到该图案；也可以中间的正三角形为基本图案，分别以这个三角形与相邻三角形的公共边所在的直线为对称轴作中间正三角形的对称图形，便得到该图案 点拨图案的形成不仅只包含平移、旋转、轴对称中的一种，也可以是它们三者的任意组合 剖析难点对复杂图案的分析【例2】分析图352的变换过程 解把图中的五边形看成是“基本图案”，以O为圆心，按顺时针依次旋转60，120，180，240，300后得到图中阴影部分，再把阴影部分进行连续平移，便得到此图案能力升级平台 综合能力升级在几何证明题中体会旋转的思想培养学生的识图能力及转化思想 求证：ABEADF 点拨综合应用三角形的全等里面又渗透旋转的思想即ABE绕点A按逆时针方向旋转90，可得到ADF 创新能力升级在方格纸中分析图案的形成，这也为学生自创图形埋下了伏笔【例4】如图354，运用所学知识说明图中的阴影图案是怎样运动到另一个阴影图案的？ 解先向下平移4格再绕其公共点按逆时针方向旋转90再向左平移6格 点拨也可先旋转，再平移，也可应用轴对称 6简单的图案设计学法导引 在掌握平移、旋转，轴对称的知识的基础上，分析图案的形成过程，进而利用这三种变换能进行简单的图案设计思维整合 解析重点灵活运用平移、旋转与轴对称的组合进行简单的图案设计本章中考点拨考点平移和旋转的性质的综合应用，本知识在中考中大约占5%【例】（2004