《数学归纳法》word版.doc

数学归纳法1用数学归纳法证明11)时，在证明过程的第二步从nk到nk1时，左边增加的项数是 ()A2k B2k1 C D2k12观察式子：，则可归纳出式子（ ） 3用数学归纳法证明“”对于的正整数均成立”时，第一步证明中的起始值应取（ ）A. 1 B. 3 C. 6 D. 104用数学归纳法证明不等式，且时，第一步应证明下述哪个不等式成立（ ）A B C D 5用数学归纳法证明,在验证成立时,左边所得的项为 ( )A. 1 B. 1+ C. D. 6在用数学归纳法证明时，在验证当时，等式左边为（ ）A. 1 B. C. D. 7用数学归纳法证明，则当n=k+1时左端应在n=k的基础上增加 （ ） Ak2+1 B（k+1）2C D（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+（k+1）28用数学归纳法证明命题时，此命题左式为，则n=k+1与n=k时相比，左边应添加( )A. B.C. D.9用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时的不等式左边（ ）A增加了项B增加了项C增加了“”，又减少了“”D增加了，减少了“”10 用数学归纳法证明：1+时，在第二步证明从n=k到n=k+1成立时，左边增加的项数是（ ）A. B. C. D.11证明时，假设当时成立，则当时，左边增加的项数为（ ）A B C D12用数学归纳法证明不等式“”时的过程中，由到时，不等式的左边（ ）A. 增加了一项 B. 增加了两项C. 增加了两项，又减少了；D. 增加了一项，又减少了一项；13用数学归纳法证明 （）时，第一步应验证不等式（ ）A B C D14观察下列式子 , ,则可归纳出_ _15用数学归纳法证明“对于的自然数都成立”时，第一步证明中的起始值应取_16（本小题满分10分）设，其中为正整数（1）求，的值；（2）猜想满足不等式的正整数的范围，并用数学归纳法证明你的猜想17（本小题满分12分） 已知数列用数学归纳法证明：数列的通项公式18（12分）数列满足，前n项和（1）写出；（2）猜出的表达式，并用数学归纳法证明19（本小题满分10分）已知数列中，（）求；（）猜想的表达式，并用数学归纳法加以证明.20求证：21在数列中，（1）写出；（2）求数列的通项公式22数列中，用数学归纳法证明：23在数列中，求数列的通项公式24已知数列是正数组成的数列，其前n项和为，对于一切 均有与2的等差中项等于与2的等比中项。（1）计算并由此猜想的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中你的猜想。25（本小题满分12分）已知数列满足，且（）。求、的值；猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明。26已知正数数列中，前项和为，且，用数学归纳法证明：27若不等式对一切正整数都成立，求正整数的最大值，并证明结论28数列an满足Sn=2n-an(nN*).(1)计算a1,a2,a3,a4,并由此猜想通项公式an;（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.29已知数列an的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=n2an（nN*）.（1）试求出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式；（2）证明你的猜想，并求出an的表达式.30已知等差数列an的公差d大于0，且a2,a5是方程x2-12x+27=0的两根，数列bn的前n项和为Tn，且Tn=1-.（1）求数列an、bn的通项公式；（2）设数列an的前n项和为Sn，试比较与Sn+1的大小，并说明理由.31已知数列满足，且。（）求，的值；（）猜想的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想。32.数列满足：，且（1）设，证明数列是等差数列；（2）求数列、的通项公式；（3）设，为数列的前项和，证明.33已知C为正实数,数列由,确定. ()对于一切的,证明：； ()若是满足的正实数,且,证明：. 34（本小题满分12分）数列满足（1）写出并猜想的表达式（2）用数学归纳法证明你的猜想.35（本题满分12分）在各项为正的数列中，数列的前n项和满足（1）求；（2） 由（1）猜想数列的通项公式；（3） 求36（本小题满分16分）已知数列an的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=n2an（nN*）.（1）试求出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式； （2）用数学纳法证明你的猜想，并求出an的表达式. 37在数列中，。（）计算，的值； （）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明. 38数列中，其前n项和满足，(1)计算；(2)猜想的表达式并用数学归纳法证明。39（本小题满分10分）已知数列中，（）.（1）计算，；（2）猜想数列的通项公式并用数学归纳法证明.40已知数列 a n的各项都是正数，且满足：a0=1，an+1=an（4-an）（nN）.证明：anan+12（nN）.设为常数，且41证明对任意42假设对任意有，求的取值范围43（本小题满分14分）已知函数f(x)=xax + (a1)，（I）讨论函数的单调性；（II）若，数列满足若首项，证明数列为递增数列；若首项为正整数，数列递增，求首项的最小值44（本小题满分14分）已知数列的前n项和满足，其中b是与n无关的常数，且（1）求；（2）求的关系式；（3）猜想用表示的表达式（须化简），并证明之。45已知 ，数列满足：。 （1）用数学归纳法证明：； （2）已知； （3）设Tn是数列an的前n项和，试判断Tn与n-3的大小，并说明理由。46（1）当时，等式是否成立？呢？（2）假设时，等式成立能否推得时，等式也成立？时等式成立吗？试卷第7页，总7页本卷由【在线组卷网】自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。参考答案1A【解析】试题分析：n=k时，观察不等式中左端分母依次为1,2,3，nk1时，分母依次为1,2,3,4，。所以增加项的分母依次为，共有2k个，故选A。考点：本题主要考查数学归纳法的概念。点评：简单题，注意观察式子的结构特点，明确和式中项数。2C【解析】试题分析：所以选项C正确.考点：本小题主要考查归纳推理的应用，考查学生归纳推理的能力.点评：解决此类问题，关键是找清楚它们的递推关系.3C【解析】经检验当n5时，成立.所以验证n的超始值为6.4C【解析】第一步应验证当n=2时, 不等式成立.5C【解析】解：因为用数学归纳法证明,在验证成立时,左边所得的项为选C6C【解析】解：用数学归纳法证明：“1+a+a2+an+1=1-an+2 （1-a ）（a1）”时，在验证n=1时，把当n=1代入，左端=1+a+a2故答案为：1+a+a2，选C7D【解析】解：当n=k时，等式左端=1+2+k2，当n=k+1时，等式左端=1+2+k2+（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+（k+1）2，增加了2k+1项故选D8C【解析】解：因为用数学归纳法证明命题时，此命题左式为，则n=k+1与n=k时相比，左边应添加，选C9C【解析】解：因为当n=k时，左边为当n=k+1时，则左边为可见左边的变化为选C10A【解析】解：因为左边的特点：分母逐渐增加1，末项为；由n=k，末项为到n=k+1，末项为，应增加的项数为，选A11D【解析】解：n=k时，不等式的左边等于 1+1 /2 +1 /3 +1 /4 +1 /(2k-1) ，且 kN+，当n=k+1时，不等式的左边等于 1+1 /2 +1/ 3 +1/ 4 +1 /2k-1 +(1 /2k +1 /(2k+1) +1/ (2k +2) +1 /(2k +2k -1 )，当n=k+1时，不等式的左边比n=k时增加的向为1 /2k +1 /(2k+1) +1/ (2k +2) +1 /(2k +2k -1 ) ，共增加了 2k 项故选D12C【解析】解：n=k时，左边=，n=k时，左边=故增加了两项，又减少了；故选C13B【解析】数学归纳法中，一般情况下第一步验证时的情况。因为本题中要求，所以第一步验证的情况，而，所以此时验证不等式，故选B。14(nN*)【解析】根据前几项的特点得第个式子的左边有项，分母从到，右边的分母是分子是.155【解析】由于n=1时，;n=2时，;n=3时，,n=4时，;n=5时，.所以当时，成立16，【解析】（1） 3分（2）猜想： 4分证明：当时，成立 5分假设当时猜想正确，即 由于 8分，即成立由可知，对成立 10分17解：1 当n=1时，； 2分2 假设当n=k时结论正确，即，那么 4分当n=k+1时， 6分， 10分即当n=k+1时结论也正确，根据1与2知，对所有的，数列都有。12分【解析】略181/12,1/20,1/30;1/(n+2)(n+1)【解析】假设当n=k时，结论成立，即，则当n=k+1时，即当n=k+1时结论成立.由可知，对一切nN+都有成立.19【解析】20证明略【解析】(1)当n=1时，左端=1 ，右端=，左端=右端，等式成立；(2)假设n=k时，等式成立，即，则.所以，当n=k+1时，等式仍然成立由(1)(2)可知，对于等式依然成立.21（1），（2）【解析】，猜想下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，由上面的探求可知猜想成立（2）假设n=k时猜想成立，即则所以当n=k+1时，猜想也成立综合（1）（2），对猜想都成立22证明略【解析】(1) 当n=1时, ,不等式成立（2）假设当n=k时等式成立，即，则，当n=k+1时， 不等式也成立综合（1）（2），不等式对所有正整数都成立23【解析】点拨：本题有多种求法，“归纳猜想证明”是其中之一解析：猜想下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，猜想成立（2）假设当n=k时猜想成立，则当n=k+1时猜想也成立综合（1）（2），对猜想都成立24解：（1）由得可求得，5分由此猜想的通项公式。7分（2）证明：当时，等式成立；9分假设当时，等式成立，即，11分当时，等式也成立。13分由可得成立。15分 【解析】略25（1），（2）有成立。【解析】解：（1）由题得，又，则，3分（2）猜想。 5分证明：当时，故命题成立。假设当时命题成立，即7分则当时，故命题也成立。 11分综上，对一切有成立。 12分26同解析 【解析】（1）当时，又，时，结论成立（2）假设时，结论成立，即，当时，解得，时，结论成立，由（1）（2）可知,对都有27的最大值等于25【解析】当时，即，所以而是正整数，所以取，下面用数学归纳法证明：（1）当时，已证；（2）假设当时，不等式成立，即则当时，有因为，所以，所以所以当时不等式也成立由（1）（2）知，对一切正整数，都有，所以的最大值等于2528（1）a1=1，a2= a3= a4= an=(nN*)（2）证明略【解析】（1）解 当n=1时，a1=S1=2-a1,a1=1.当n=2时，a1+a2=S2=22-a2,a2=.当n=3时，a1+a2+a3=S3=23-a3,a3=.当n=4时，a1+a2+a3+a4=S4=24-a4,a4=.由此猜想an=(nN*).（2）证明 当n=1时，a1=1，结论成立.假设n=k(k1且kN*)时,结论成立，即ak=,那么n=k+1时，ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1.2ak+1=2+ak,ak+1=,这表明n=k+1时，结论成立，由知猜想an=（nN*）成立.29（1）Sn=（nN*）（2）an=【解析】（1）解 an=Sn-Sn-1（n2）Sn=n2（Sn-Sn-1），Sn=Sn-1（n2）a1=1，S1=a1=1.S2=，S3=，S4=，猜想Sn=（nN*）.（2）证明 当n=1时，S1=1成立.假设n=k（k1,kN*）时，等式成立，即Sk=，当n=k+1时，Sk+1=（k+1）2ak+1=ak+1+Sk=ak+1+，ak+1=，Sk+1=（k+1）2ak+1=，n=k+1时等式也成立，得证.根据、可知，对于任意nN*，等式均成立.又ak+1=，an=.30（1）an=2n-1，bn=（2）n4时，Sn+1.【解析】1）由已知得,又an的公差大于0，a5a2,a2=3,a5=9.d= =2，a1=1.an=2n-1.2分Tn=1-bn，b1=，当n2时，Tn-1=1-bn-1,bn=Tn-Tn-1=1-bn-(1-bn-1),化简，得bn=bn-1,bn是首项为,公比为的等比数列，即bn=,4分an=2n-1，bn=.5分(2)Sn=n2,Sn+1=（n+1）2，=.6分以下比较与Sn+1的大小：当n=1时，=，S2=4，S2,当n=2时，=,S3=9,S3,当n=3时，=,S4=16,S4,当n=4时，=,S5=25,S5.猜想：n4时，Sn+1.8分下面用数学归纳法证明：当n=4时，已证.假设当n=k (kN*,k4)时，Sk+1,即(k+1)2.那么n=k+1时，=33(k+1)2=3k2+6k+3=(k2+4k+4)+2k2+2k-1(k+1)+12=S(k+1)+1,n=k+1时，Sn+1也成立.11分由可知nN*,n4时，Sn+1都成立.14分综上所述，当n=1,2,3时，Sn+1,当n4时，Sn+1.16分31（）,（）（）,证明见解析 【解析】本试题主要是考查了数列的递推关系式的运用根据赋值的思想得到数列的前几项的值，然后归纳猜想数列的通项公式，然后运用数学归纳法证明即可。关键是证明中假设的运用，是解决的关键所在。解：（）由题意知将代入解得 1分同理可得 3分（）由（）可猜想（） 4分证明：（1）当时，左边右边猜想成立。（2）假设当（）时猜想成立，即 5分那么，由可得 6分即当时猜想也成立。根据（1）和（2），可知猜想对任意都成立 7分32(1) 见解析； (2) ； (3)证明:见解析。【解析】(1) 由,从而证明是等差数列.(2)在（1）的基础上，可先求出的通项公式，再根据求出的通项公式.（3）先求出下面解题的关键是确定,然后再考虑数学归纳法进行证明即可.(1) ,为等差数列 (2)由(1),从而 (3),当时,不等式的左边=7,不等式成立高考资源网版权所有当时, 故只要证, 如下用数学归纳法给予证明:当时,时,不等式成立;假设当时,成立当时, 只需证: ,即证: 令,则不等式可化为:即