[高中教育]第五章振动和波.doc

第五章0249Mxl0O 如图，劲度系数为k的弹簧一端固定在墙上，另一端连接一质量为M的容器，容器可在光滑水平面上运动当弹簧未变形时容器位于O处，今使容器自O点左侧l0处从静止开始运动，每经过O点一次时，从上方滴管中滴入一质量为m的油滴，求： (1) 容器中滴入n滴以后，容器运动到距O点的最远距离； (2) 容器滴入第(n+1)滴与第n滴的时间间隔 解：(1) 容器中每滴入一油滴的前后，水平方向动量值不变，而且在容器回到O点滴入下一油滴前， 水平方向动量的大小与刚滴入上一油滴后的瞬间后的相同。依此，设容器第一次过O点油滴滴入前的速度为v，刚滴入第个油滴后的速度为v,则有 3分系统机械能守恒 2分 2分由、解出 2分 (2) 时间间隔( tn+1-tn )应等于第n滴油滴入容器后振动系统周期Tn的一半 3分0318 一个轻弹簧在60 N的拉力作用下可伸长30 cm现将一物体悬挂在弹簧的下端并在它上面放一小物体，它们的总质量为4 kg待其静止后再把物体向下拉10 cm，然后释放问： (1) 此小物体是停在振动物体上面还是离开它？ (2) 如果使放在振动物体上的小物体与振动物体分离，则振幅A需满足何条件？二者在何位置开始分离？ 解：(1) 小物体受力如图 设小物体随振动物体的加速度为a，按牛顿第二定律有（取向下为正） 1分 当N = 0，即a = g时，小物体开始脱离振动物体，已知 1分 A = 10 cm， 有 rads-1 2分系统最大加速度为 ms-2 1分此值小于g，故小物体不会离开 1分(2) 如使a g，小物体能脱离振动物体，开始分离的位置由N = 0求得 2分 cm 1分即在平衡位置上方19.6 cm处开始分离，由，可得 =19.6 cm 1分0321 一定滑轮的半径为R，转动惯量为J，其上挂一轻绳，绳的一端系一质量为m的物体，另一端与一固定的轻弹簧相连，如图所示设弹簧的劲度系数为k，绳与滑轮间无滑动，且忽略轴的摩擦力及空气阻力现将物体m从平衡位置拉下一微小距离后放手，证明物体作简谐振动，并求出其角频率 解：取如图x坐标，平衡位置为原点O，向下为正，m在平衡位置时弹簧已伸长x0 1分设m在x位置，分析受力, 这时弹簧伸长 1分由牛顿第二定律和转动定律列方程： 2分 1分 1分联立解得 2分 由于x系数为一负常数，故物体做简谐振动，其角频率为 2分 2分0327 一轻弹簧，上端固定，下端挂有质量为m的重物，其自由振动的周期为T今已知振子离开平衡位置为x时，其振动速度为v，加速度为a则下列计算该振子劲度系数的公式中，错误的是： (A) (B) (C) (D) B0501 质量为2 kg的质点，按方程 (SI)沿着x轴振动求： (1) t = 0时，作用于质点的力的大小； (2) 作用于质点的力的最大值和此时质点的位置 解：(1) t = 0时， a = 2.5 m/s2 ，| F | = ma = 5 N 2分 (2) | amax | = 5，其时 | sin(5t - p/6) | = 1 1分 | Fmax | = m| amax | = 10 N 1分 x = 0.2 m（振幅端点） 1分0580 一长为l的均匀细棒悬于通过其一端的光滑水平固定轴上，（如图所示），作成一复摆已知细棒绕通过其一端的轴的转动惯量，此摆作微小振动的周期为 (A) . (B) . (C) . (D) . C0584 二小球悬于同样长度l的线上将第一球沿竖直方向上举到悬点，而将第二球从平衡位置移开，使悬线和竖直线成一微小角度a ，如图现将二球同时放开，则何者先到达最低位置？ 解：第一球自由落下通过路程l需时间 2分而第二球返回平衡（即最低）位置需时 3分，故第一球先到。2776 轻质弹簧下挂一个小盘，小盘作简谐振动，平衡位置为原点，位移向下为正，并采用余弦表示。小盘处于最低位置时刻有一个小物体不变盘速地粘在盘上，设新的平衡位置相对原平衡位置向下移动的距离小于原振幅，且以小物体与盘相碰为计时零点，那么以新的平衡位置为原点时，新的位移表示式的初相在 (A) 0p/2之间 (B) p/2p之间 (C) p3p/2之间 (D) 3p/22p之间 D3001 把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度q ，然后由静止放手任其振动，从放手时开始计时若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初相为 (A) p (B) p/2 (C) 0 (D) q C3002 两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同第一个质点的振动方程为x1 = Acos(wt + a)当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大正位移处则第二个质点的振动方程为 (A) (B) (C) (D) B3003轻弹簧上端固定，下系一质量为m1的物体，稳定后在m1下边又系一质量为m2的物体，于是弹簧又伸长了Dx若将m2移去，并令其振动，则振动周期为(A) (B) (C) (D) B3004 劲度系数分别为k1和k2的两个轻弹簧串联在一起，下面挂着质量为m的物体，构成一个竖挂的弹簧振子，则该系统的振动周期为 (A) (B) (C) (D) C3006 一劲度系数为k的轻弹簧截成三等份，取出其中的两根，将它们并联，下面挂一质量为m的物体，如图所示。则振动系统的频率为 (A) (B) (C) (D) D3007 一质量为m的物体挂在劲度系数为k的轻弹簧下面，振动角频率为w若把此弹簧分割成二等份，将物体m挂在分割后的一根弹簧上，则振动角频率是 (A) 2 w (B) (C) (D) w /2 B3008 一长度为l、劲度系数为k的均匀轻弹簧分割成长度分别为l1和l2的两部分，且l1 = n l2，n为整数. 则相应的劲度系数k1和k2为 (A) ， (B) ， (C) ， (D) ， C30089 一弹簧振子作简谐振动，振幅为A，周期为T，其运动方程用余弦函数表示若t = 0时， (1) 振子在负的最大位移处，则初相为_； (2) 振子在平衡位置向正方向运动，则初相为_； (3) 振子在位移为A/2处，且向负方向运动，则初相为_ p 1分 - p /2 2分p/3 2分3010 有两相同的弹簧，其劲度系数均为k (1) 把它们串联起来，下面挂一个质量为m的重物，此系统作简谐振动的周期为_； (2) 把它们并联起来，下面挂一个质量为m的重物，此系统作简谐振动的周期为_ 2分 2分3013一单摆的悬线长l = 1.5 m，在顶端固定点的竖直下方0.45 m处有一小钉，如图示设摆动很小，则单摆的左右两方振幅之比A1/A2的近似值为_ 0.84 3分参考解：左右摆动能量相同，应有 3014 一物体在光滑水平面上作简谐振动，振幅是12 cm，在距平衡位置6 cm处速度是24 cm/s，求 (1)周期T； (2)当速度是12 cm/s时的位移 解：设振动方程为，则 (1) 在x = 6 cm，v = 24 cm/s状态下有 解得 ， s 2分 (2) 设对应于v =12 cm/s的时刻为t2，则由 得 ， 解上式得 相应的位移为 cm 3分3015 在t = 0时，周期为T、振幅为A的单摆分别处于图(a)、(b)、(c)三种状态若选单摆的平衡位置为坐标的原点，坐标指向正右方，则单摆作小角度摆动的振动表达式（用余弦函数表示）分别为 (a) _； (b) _； (c) _ 2分 2分 1分3017 一质点沿x轴作简谐振动，其角频率w = 10 rad/s试分别写出以下两种初始状态下的振动方程： (1) 其初始位移x0 = 7.5 cm，初始速度v0 = 75.0 cm/s； (2) 其初始位移x0 =7.5 cm，初始速度v0 =-75.0 cm/s 解：振动方程 x = Acos(wt+f) (1) t = 0时 x0 =7.5 cmAcosf v0 =75 cm/s=-Asinf 解上两个方程得 A =10.6 cm 1分 f = -p/4 1分 x =10.610-2cos10t-(p/4) (SI) 1分 (2) t = 0时 x0 =7.5 cmAcosf v0 =-75 cm/s=-Asinf 解上两个方程得 A =10.6 cm，f = p/4 1分 x =10.610-2cos10t+(p/4) (SI) 1分3018 一轻弹簧在60 N的拉力下伸长30 cm现把质量为4 kg的物体悬挂在该弹簧的下端并使之静止 ，再把物体向下拉10 cm，然 后由静止释放并开始计时求 (1) 物体的振动方程； (2) 物体在平衡位置上方5 cm时弹簧对物体的拉力； (3) 物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方5 cm处所需要的最短时间 解： k = f/x =200 N/m ， rad/s 2分 (1) 选平衡位置为原点，x轴指向下方（如图所示）， t = 0时， x0 = 10Acosf ，v0 = 0 = -Awsinf 解以上二式得 A = 10 cm，f = 0 2分 振动方程x = 0.1 cos(7.07t) (SI) 1分 (2) 物体在平衡位置上方5 cm时，弹簧对物体的拉力 f = m(g-a )，而a = -w2x = 2.5 m/s2 f =4 (9.82.5) N= 29.2 N 3分 (3) 设t1时刻物体在平衡位置，此时x = 0，即 0 = Acosw t1或cosw t1 = 0 此时物体向上运动， v 0 w t1 = p/2， t1= p/2w = 0.222 s 1分再设t2时物体在平衡位置上方5 cm处，此时x = -5，即 -5 = Acosw t1，cosw t1 =1/2 v 0， w t2 = 2p/3， t2=2 p/3w =0.296 s 2分 Dt = t1-t2 = (0.2960.222) s0.074 s 1分3021 一木板在水平面上作简谐振动，振幅是12 cm，在距平衡位置6 cm处速率是24 cm/s如果一小物块置于振动木板上，由于静摩擦力的作用，小物块和木板一起运动（振动频率不变），当木板运动到最大位移处时，物块正好开始在木板上滑动，问物块与木板之间的静摩擦系数m为多少？ 解：若从正最大位移处开始振动，则振动方程为 , 在cm处， cm/s 6 =12|cosw t|， 24=|-12 w sin w t|， 解以上二式得 rad/s 3分 ， 木板在最大位移处最大，为 2分若mAw2稍稍大于mmg，则m开始在木板上滑动，取 2分 1分3022AB x一质点在x轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过A点时作为计时起点( t = 0 )，经过2秒后质点第一次经过B点，再经过2秒后质点第二次经过B点，若已知该质点在A、B两点具有相同的速率，且 = 10 cm求：(1) 质点的振动方程； (2) 质点在A点处的速率 解：由旋转矢量图和 |vA| = |vB| 可知 T/2 = 4秒， T = 8 s， n = (1/8) s-1， w = 2pn = (p /4) s-1 3分(1) 以的中点为坐标原点，x轴指向右方 t = 0时， cm t = 2 s时， cm 由上二式解得 tgf = 1 因为在A点质点的速度大于零，所以f = -3p/4或5p/4（如图） 2分 cm 1分 振动方程 (SI) 1分 (2) 速率 (SI) 2分当t = 0 时，质点在A点 m/s 1分3023 一弹簧振子，当把它水平放置时，它可以作简谐振动若把它竖直放置或放在固定的光滑斜面上，试判断下面哪种情况是正确的： (A) 竖直放置可作简谐振动，放在光滑斜面上不能作简谐振动 (B) 竖直放置不能作简谐振动，放在光滑斜面上可作简谐振动 (C) 两种情况都可作简谐振动 (D) 两种情况都不能作简谐振动 C3027 在一平板上放一质量为m =2 kg的物体，平板在竖直方向作简谐振动，其振动周期为T = s，振幅A = 4 cm，求 (1) 物体对平板的压力的表达式 (2) 平板以多大的振幅振动时，物体才能离开平板？ 解：选平板位于正最大位移处时开始计时，平板的振动方程为 (SI) (SI) 1分 (1) 对物体有 1分 (SI) 物对板的压力为 (SI) 2分 (2) 物体脱离平板时必须N = 0，由式得 1分 (SI) 1分若能脱离必须 (SI) 即 m 2分3028 一弹簧振子作简谐振动，总能量为E1，如果简谐振动振幅增加为原来的两倍，重物的质量增为原来的四倍，则它的总能量E2变为 (A) E1/4 (B) E1/2 (C) 2E1 (D) 4 E1 D3029 一物块悬挂在弹簧下方作简谐振动,当这物块的位移等于振幅的一半时,其动能是总能量的_（设平衡位置处势能为零）当这物块在平衡位置时，弹簧的长度比原长长Dl，这一振动系统的周期为_ 3/4 2分 2分3030tx 两个同周期简谐振动曲线如图所示x1的相位比x2的相位 Ox1x2 (A) 落后p/2 (B) 超前p/2 (C) 落后p (D) 超前p B3031A(D)-A-AoytoytA(A)oytoyt(B)(C)AA-A-A 已知一质点沿轴作简谐振动其振动方程为与之对应的振动曲线是 B30322-21x2x1x(cm)ot(s)1-123已知两个简谐振动的振动曲线如图所示两4简谐振动的最大速率之比为_ 11 3分3033 一简谐振动用余弦函数表示，其振动曲线如图所示，则此简谐振动的三个特征量为 A =_；w =_；f =_ 10 cm 1分 (p/6) rad/s 1分 p/3 1分3034Oxx1tx2已知两个简谐振动曲线如图所示x1的相位比x2的相位超前_ 3p/4 3分3035 两个简谐振动方程分别为 ， 在同一坐标上画出两者的xt曲线 x2AA/2x1tox x1曲线见图 2分-A x2曲线见图 2分3036 已知一简谐振动曲线如图所示，由图确定振子： (1) 在_s时速度为零 (2) 在_ s时动能最大 (3) 在_ s时加速度取正的最大值 0.5(2n+1) n = 0，1，2，3， 1分 n n = 0，1，2，3， 1分 0.5(4n+1) n = 0，1，2，3， 1分3037已知三个简谐振动曲线如图所示，则振动方程分别为： x1 =_， x2 = _， x3 =_ 0.1cospt (SI) 1分 0.1 (SI) 1分 0.1 (SI) 1分3038一水平弹簧简谐振子的振动曲线如图所示当振子处在位移为零、速度为-wA、加速度为零和弹性力为零的状态时，应对应于曲线上的_点当振子处在位移的绝对值为A、速度为零、加速度为-w2A和弹性力为-kA的状态时，应对应于曲线上的_点 b，f 2分 a，e 2分 b，f 2分 a，e 2分3039x1tox1x2-AA两个简谐振动曲线如图所示，则两个简谐振动的频率之比n1n2=_，加速度最大值之比a1ma2m =_，初始速率之比v10v20=_ 21 1分 41 1分 21 1分3040 有简谐振动方程为x = 110-2cos(p t+f)(SI)，初相分别为f1 = p/2，f2 = p，f3 = -p/2的三个振动试在同一个坐标上画出上述三个振动曲线 曲线(1)见图 1分 曲线(2)见图 1分 曲线(3)见图 1分3041一简谐振动曲线如图所示，则由图可确定在t = 2s时刻质点的位移为 _，速度为_ 0 1分 3p cm/s 2分3042 一个质点作简谐振动，振幅为A，在起始时刻质点的位移为，且向x轴的正方向运动，代表此简谐振动的旋转矢量图为 B3043一个质点作简谐振动，振幅为A，在起始时刻质点的位移为，且向x轴的正方向运动，代表此简谐振动的旋转矢量图为 解： x2 = 310-2 sin(4t - p/6) = 310-2cos(4t - p/6- p/2) = 310-2cos(4t - 2p/3) 作两振动的旋转矢量图，如图所示 图2分由图得：合振动的振幅和初相分别为 A = (5-3)cm = 2 cm，f = p/3 2分合振动方程为 x = 210-2cos(4t + p/3) (SI) 1分3045 一质点作简谐振动，其振动方程为x = 0.24 (SI)，试用旋转矢量法求出质点由初始状态（t = 0的状态）运动到x = -0.12 m，v 0的状态所需最短时间Dt 解：旋转矢量如图所示 图3分由振动方程可得 ， 1分 s 1分3046一简谐振动的旋转矢量图如图所示，振幅矢量长2 cm，则该简谐振动的初相为_振动方程为_ p/4 1分 (SI) 2分3047 两个物体作同方向、同频率、同振幅的简谐振动在振动过程中，每当第一个物体经过位移为的位置向平衡位置运动时，第二个物体也经过此位置，但向远离平衡位置的方向运动试利用旋转矢量法求它们的相位差 解：依题意画出旋转矢量图 3分 由图可知两简谐振动的位相差为 2分3050两个同方向的简谐振动曲线如图所示合振动的振幅为_，合振动的振动方程为_ |A1 A2| 1分 2分3051 两个同方向的简谐振动的振动方程分别为 x1 = 410-2cos2p (SI), x2 = 310-2cos2p (SI) 求合振动方程 解：由题意 x1 = 410-2cos (SI) x2 =310-2cos (SI) 按合成振动公式代入已知量，可得合振幅及初相为 m = 6.4810-2 m 2分 =1.12 rad 2分合振动方程为 x = 6.4810-2 cos(2pt+1.12) (SI) 1分3052 两个同方向简谐振动的振动方程分别为 (SI), (SI)求合振动方程 解：依合振动的振幅及初相公式可得 m m 2分 = 84.8=1.48 rad 2分则所求的合成振动方程为 (SI) 1分3053 如图所示，一质量为m的滑块，两边分别与劲度系数为k1和k2的轻弹簧联接，两弹簧的另外两端分别固定在墙上滑块m可在光滑的水平面上滑动，0点为系统平衡位置将滑块m向右移动到x0，自静止释放，并从释放时开始计时取坐标如图所示，则其振动方程为： (A) . (B) (C) (D) (E) A3054一简谐振动的振动曲线如图所示求振动方程 解：(1) 设振动方程为 由曲线可知 A = 10 cm , t = 0， 解上面两式，可得 f = 2p/3 2分由图可知质点由位移为 x0 = -5 cm和v 0 0的状态所需时间t = 2 s，代入振动方程得 (SI) 则有， w = 5 p/12 2分故所求振动方程为 (SI) 1分3057 三个简谐振动方程分别为 ，和画出它们的旋转矢量图，并在同一坐标上画出它们的振动曲线 解：f2f1 = f3f2=2p/3旋转矢量图见图 2分振动曲线见图 3分3253 一质点作简谐振动，周期为T当它由平衡位置向