矩阵的初等变换.ppt

一、初等变换与初等矩阵一、初等变换与初等矩阵 引例引例 线性方程组的线性方程组的三种等价三种等价变换变换 date 矩阵的初等变换矩阵的初等变换 对换、倍法、消法变换对换、倍法、消法变换 date date 初等矩阵初等矩阵 对对单位阵施行初等变换而得。单位阵施行初等变换而得。 i行 j行 （1 1）对换矩阵）对换矩阵 对换矩阵可逆。对换矩阵可逆。 date i行 （2 2）倍法矩阵）倍法矩阵 倍法矩阵可逆。倍法矩阵可逆。 date i行 j行 （3 3）消法矩阵）消法矩阵 消法矩阵可逆。消法矩阵可逆。 date 注意注意 初等阵均可逆，且逆阵仍为初等阵。初等阵均可逆，且逆阵仍为初等阵。 date 定理定理 左乘左乘初等阵，作初等阵，作行行变换。变换。 右乘右乘初等阵，作初等阵，作列列变换。变换。 date 二、矩阵的标准形二、矩阵的标准形 定义定义 m m n n阶矩阵的阶矩阵的标准形标准形 date 定理定理 任何矩阵任何矩阵a a均可经有限次初等均可经有限次初等 变换化为标准形变换化为标准形d d。 注注 具有相同标准形的矩阵称为等价矩阵。具有相同标准形的矩阵称为等价矩阵。 定义定义 若矩阵若矩阵 a a 经有限次初等变换化经有限次初等变换化 为矩阵为矩阵b b，则称则称 a a 与与 b b 等价。记为等价。记为 注注 任何矩阵任何矩阵 a a 与其标准形与其标准形 d d 等价。等价。 date 矩阵等价关系的性质矩阵等价关系的性质 （1 1）反身性：）反身性： （2 2）对称性：）对称性： （3 3）传递性：）传递性： date 解解 例例 化化a a为标准形为标准形 date date date 性质性质1 1 设设a a是一个是一个m*nm*n矩阵，对矩阵，对a a施行一次初等行变换，施行一次初等行变换， 相当于左乘对应的相当于左乘对应的m m阶初等矩阵，阶初等矩阵， 对对a a施行一次初等列变换，相当于右乘对应的施行一次初等列变换，相当于右乘对应的 n n阶初等矩阵。阶初等矩阵。 date 性质性质2 2 方阵方阵a a可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵 p p1 1 ,p,p 2 2 ,p,p l l , ,使得：使得： a=p a=p 1 1p p2 2 pp l l date 定理定理1 1 ()a a行等价于行等价于b b的充要条件是存在的充要条件是存在m m阶可逆矩阵阶可逆矩阵p,p, 使：使：pa=b;pa=b; ()a a列等价于列等价于b b的充要条件是存在的充要条件是存在m m阶可逆矩阵阶可逆矩阵q,q, 使：使：aq=b;aq=b; ()a a等价于等价于b b的充要条件是存在的充要条件是存在m m阶可逆矩阵阶可逆矩阵p,p, n n阶可逆矩阵阶可逆矩阵q, q, 使：使：paq=b;paq=b; date 定理定理1 1 说明了说明了矩阵可经初等变换直接判定是矩阵可经初等变换直接判定是 否可逆。否可逆。 一般地，对矩阵进行初等变换，由不同一般地，对矩阵进行初等变换，由不同 类型的矩阵会得到不同的等价矩阵。如类型的矩阵会得到不同的等价矩阵。如 方阵方阵 非方阵非方阵 三角阵三角阵, ,对角阵对角阵 阶梯形阶梯形标准形标准形 标准形（标准形（不可逆不可逆） 单位阵（单位阵（可逆可逆） date 三、初等变换求逆法三、初等变换求逆法 性质性质2 2 a a可逆的充要条件为可逆的充要条件为a a可表为若干可表为若干 初等阵之积初等阵之积. . 定理定理1 1推论推论 a a可逆，则可逆，则a a 可由初等可由初等行行变换化变换化 为单位阵。为单位阵。 date 求逆方法求逆方法 date 例例 解解 date date 例例 date 全为零， a不可逆。 解解 date 四、利用初等行变换解矩阵方程、四、利用初等行变换解矩阵方程、 线性方程组线性方程组 例例 date 解解 用初等用初等行行变换求得：变换求得： date 例例 date 法法2 2 初等变换法初等变换法 解解 法法1 1 先求先求a a的逆，再求的逆，再求 date 例例 解线性方程组解线性方程组 date 解解 设方程的矩阵形式为设方程的矩阵形式为 则则 date date 所以所以 date 五、小结与思考五、小结与思考 1.初等行(列)变换 初等变换的逆变