车辆机构运动学与多体动力学技术高级培训班-1.pdf

车辆机构运动学与多体动力学技术车辆机构运动学与多体动力学技术车辆机构运动学与多体动力学技术车辆机构运动学与多体动力学技术 高级培训班高级培训班 刚体动力学及多体动力学基础刚体动力学及多体动力学基础 华中科技大学华中科技大学 张云清张云清张云清张云清 2012年年3月月12日日 14日日（北京北京）2012年年3月月12日日14日日（北京北京） 中国机械工程学会机械工业自动化分会中国机械工程学会机械工业自动化分会 中国自动化学会制造技术专业委员会 教育培训中心 刚体动力学及多体动力学基础刚体动力学及多体动力学基础 刚体的有限转动刚体的有限转动刚体的有限转动刚体的有限转动 刚体的有限转动刚体的有限转动刚体的有限转动刚体的有限转动 刚体的姿态坐标刚体的姿态坐标刚体的姿态坐标刚体的姿态坐标 刚体的运动学方程刚体的运动学方程刚体的运动学方程刚体的运动学方程 刚体的运动学方程刚体的运动学方程刚体的运动学方程刚体的运动学方程 刚体的质量几何刚体的质量几何刚体的质量几何刚体的质量几何 牛顿牛顿牛顿牛顿 欧拉动力学方程欧拉动力学方程欧拉动力学方程欧拉动力学方程 牛顿牛顿牛顿牛顿 欧拉动力学方程欧拉动力学方程欧拉动力学方程欧拉动力学方程 约束方程约束方程约束方程约束方程 运动学分析运动学分析运动学分析运动学分析运动学分析运动学分析运动学分析运动学分析 空间多体系统动力学空间多体系统动力学空间多体系统动力学空间多体系统动力学 dae (index 3)dae (index 3)方程的求解方程的求解方程的求解方程的求解dae (index 3)dae (index 3)方程的求解方程的求解方程的求解方程的求解 多体力学在车辆动力学中的应用多体力学在车辆动力学中的应用多体力学在车辆动力学中的应用多体力学在车辆动力学中的应用 刚体的有限转动刚体的有限转动刚体的有限转动刚体的有限转动 导数、微分与积分导数、微分与积分 刚体动力学中，常常用到导数与偏导数、全微分与偏微分以及函数可积分等概念，容易产生混淆。 导数( );yf x=导数( ) () () ( )( ) 0 00 ; ; ; yf x df xdy xxyfx dxdx yf uux = = 偏导数 xux yy u = () () () 000 , ,; , , ;,; xx uf x y z f x y zu ufxyz xx = (), ,;( );( );( ); ; xx uf x y zxtytzt duu dxu dyu dz dtx dty dtz dt uu xu yu z = =+ =+ (), ,;( );( , );( , ); txtyyzt uu xu yu z uf x y zxtyt v zx y duu dxu yu zu dx dtx dtytztx dt =+ = =+= ()() ; uvuz dxzv ytvtzx dtytvt + 微分与全微分 ( ); ( ); ( ),( ) x yf x dyy dxfx dx yf x xt ddd = = = ( , , ); ( , , )( , , )( , , )( , , ) xxt xyz dyy dxydt f x z y df x y zfx y z dxfx y z dyfx y z dz = =+ 刚体的有限转动刚体的有限转动刚体的有限转动刚体的有限转动刚体的有限转动刚体的有限转动刚体的有限转动刚体的有限转动 可积分 1 2 sinsincos; sincossin; =+ = cos; =+; 是完整约束的充要条件是是完整约束的充要条件是 ( , , )( , , )( , , )0;a x y z dxb x y z dyc x y z dz+= ()() ()()()0; :0 bccaab abc zyxzyz ora b ca b c += = ()():, , ,0ora b ca b c = sinsincos; sincossin; x y =+ = z =+ , , cos ;0 sin ; cossin ; abc bc ca = = = ()()()sin bccaab abc zyxzyz += ; cos sin ; ab = 刚体的有限转动刚体的有限转动刚体的有限转动刚体的有限转动刚体的有限转动刚体的有限转动刚体的有限转动刚体的有限转动 标量、矢量、张量与标架无差异原理 标量 标量 一个物理量或几何量，由一个数值即可以确定，用一个数就可以描述的量，称为这个物理量或几何量为标量。如 距离、面积、体积、温度、质量、密度，功、能等。与参考坐标系的选取无关。 矢量矢量 物理量需要用一组标量来描述，其中每一个标量称为这个总量的分量，分量与坐标系 的选择有关。像位移、速度、加速度、力等存在大小与方向的量，称为矢量，一般由3 个分量组成。 ()()()abcb a cba c= rrr rrrrr r 个分量组成 为基底，一般为正交基底 矢量 方向、大小、模 xyz vv iv jv k=+ rrrr ; ;i j k rr r a r ()()() () ,() abcb a cba c dabc da dbc = = rr rr rrrr rr rr r 单位矢量 零矢量 点积；两个矢量垂直点积为零； 叉积两个矢量平行叉积为零 cosca ba b= rr rr ;sincab ca b= rr rrrr (),() ;() bbccb c dbc dbcabcbc =+ r rr r rrrr rrrr 与 ， 共面 可由 ， 组合 叉积；两个矢量平行叉积为零； ;sincab ca b= ()()()abcb acba c= rrr rrrrr r ()()()abccabbca= rrr rrrrrr 121132 ()0 ();() () aabca ba c k a ck a b =+= = = =eeeeee rr rrrrrr r rrr rrrrrr 可令 r 1211121212 ()()();k1; ()()() kkk abcb a cba c = = eeeee eee ee rrrr rrr rr rrr rrsrr r 刚体的有限转动刚体的有限转动刚体的有限转动刚体的有限转动刚体的有限转动刚体的有限转动刚体的有限转动刚体的有限转动 将标量矩阵拓展变成矢量矩阵 矢量的代数表达方法/矢量基基坐标系/正交的单位矢量基矢量矢量的代数表达方法/矢量基基坐标系/正交的单位矢量基矢量 23 (,)t= 1 ee e e r rr 0, 1, = = ee rr , 1 1 = eee rrr ，依次循环 （李奇符号） ，其他 1111213 2123212223 100 010 001 t = eeeeeee e eeeeeeeeeeei eeeeeee rrrrrrr r rrrrrrrrrrr rrrrrrr 111 222 333 aa aaaa aa = ee eee ee rrr rrrrrr rrr 3313233 001 eeeeeee 111121332 212321222331 0 0 0 t = eeeeeeeee e eeeeeeeeeeeee eeeeeeeee rrrrrrrrr rrrrrrrrrrrrrr rrrrrrrrr 331323321 0 eeeeeeeee 刚体的有限转动刚体的有限转动刚体的有限转动刚体的有限转动刚体的有限转动刚体的有限转动刚体的有限转动刚体的有限转动 1 2 a aaa = e aeee rr rrrrrr rtrbtbbtbrtr a =a ee aa ee a r 3 tttt a b =a e e ba i ba b r r rr 2 3 a e rr 32 31 0 0 = a % t = aa% () 321 123312 0 0 ttt b abaaab = ee a e e beee ab rr r rrr % 21 0 213 0b ee rr ()()()abcb a cba c= rsr rrrrr r tx y z=r () 2 3 , , ()-() 00 t x y z hrrrr r zyzy = = = = r hrrirr r rrrrrr r % 1 2 3 22 1 00 00 00 zyzy zxzx yxyx yzxyzx = + () 1 22 2 22 3 222 2 00 xyxzyz zxyzyx xyz =+ + + 1 x () 2 2 3 0 t rx=irr r 22 2 222 3 0 00 yzyxyz xyzz + + 刚体的有限转动刚体的有限转动刚体的有限转动刚体的有限转动刚体的有限转动刚体的有限转动刚体的有限转动刚体的有限转动 张量 弹性力学中一点的应力状态称为应力张量9个分量惯量张量9个分量弹性力学中一点的应力状态称为应力张量：9个分量，惯量张量：9个分量 t=(i+j+k)(i+j+ k) =ii+ij+ik xyzxyz xxxyxz abaaabbb a ba ba b = r rrrrrrrr r rrrrrr rrrrrr 1111213 2123212223 100 010 001 t = eeeeeee e eeeeeeeeeeei eeeeeee rrrrrrr r rrrrrrrrrrr rrrrrrr +ji+jj+jk +ki+kj+kk yxyyyz zxzyzz a ba ba b a ba ba b rrrrrr 并矢与并矢的坐标阵 3313233 001 eeeeeee 111121332 212321222331 0 0 t = eeeeeeeee e eeeeeeeeeeeee rrrrrrrrr rrrrrrrrrrrrrr 1 11 21 3 2 1222 3 ttt dab ababab a ba ba b = = e ab ee de d v rv r r 张量的运算 331323321 0 eeeeeeeee rrrrrrrrr 2 1222 3 3 13 23 3 a ba ba b 1 1223 3 t i =+e ee ee ee e v v r rr rr r 单位并矢： vv % ; ; tttt tttt cd d cd d d dd d = = = t e de e de dide dd cdd d e e ded ided de cd d r rr r rr r rr rrr r % ;= tt dbad ab=dbadd vv rrvv rr % 共轭并矢：；;（） ttt d dd d da = =d e e ae da dd r r % % tt d ada = = dd e dae da r rr rr % 刚体的有限转动刚体的有限转动刚体的有限转动刚体的有限转动刚体的有限转动刚体的有限转动刚体的有限转动刚体的有限转动 ()()()()() abcb a cba cba cbacbabac=ii rr rrrrrrrrr rrrrr rrrrrrrr ()rrrrr rrr) = -= - ()-() rrrrrrrrr rrr () ()() () rrrrr rrr rr irrrr irr jid = ) () () rr rr rrrrrrrrrrr r rr rrrr =() v xxyyzzxyxzyxyzzxzy jrr irr dv i iiijji kki iji ikijiijki kii kj =+ rrrrrrrrrrr rrrrrrr yyyyyy 22 () xx iyzdv=+ 转动惯量 () xyyx v iixy dv= 惯性积 ()() rr rtrrrtrr dd d dtdt =ed eed e r r 1 ( )10 1 rb rb ai aitr atra = =+ = = 至少存在根； ; () rrbb rbb brbbr p = = epep ai p0 pa pp r 代入满足方程，特征向量 在 坐标阵，在 坐标阵 方向余弦性质九：任意两个基总存在一个矢量，它在两个基的坐标阵相等。 刚体的有限转动刚体的有限转动刚体的有限转动刚体的有限转动刚体的有限转动刚体的有限转动刚体的有限转动刚体的有限转动 矢量对时间的导数 ( ) ( ) rr r r dd aa dtdt e e rr 任意一个矢量 对某一参考基 上对时间的导数是另一个矢量；为一个算子， 表示在 基上将算子的作用量对时间求导。( ) ;(1,2,3) r rr i rr d i dt dd = e ee0 表示在 基上将算子的作用量对时间求导。 的三个基矢量固结于该基，不随时间变化: () ()()() rtrrtrrtrrtr rrrr btbbtbbtbbtb dd a dtdt dddd a dtdtdtdt =+= =+= a eaea ee a a eaeaea e r 坐标系（）相对（）绕 点以角速度 转动oxyz, ,oxyz, ,o oxyz i j ki j k rrxiyjzkxiyjzk i j k =+=+ rrrrrr rr r r r r 坐标系（）相对（）绕 点以角速度 转动， 为任意变矢量, 相对于固定坐标系（）的变化率是矢量的绝对导数oxyz, ,ri j k dr xiyjzk dt =+ r r rrr pqp qpppa p = r 的方向为 单位矢量； 1100000 sino po ppap apaap= rrrr rrr rrrrr rrrr ()()()()() abcb a cba cba cbacbabac 00 1000 00 00 0100 00 sinsinsin ()sin ()() (1 cos )(1 cos )(1 cos ) papa qpo ppapap a papa ppappa pqo ppa p pap pa = = rrrr rrrr rrrrrr % rrrr rrrrrr rrrr rrr r rrr rr 0 ()ppa rr 0 (1 cos )()ppia= r r rrr 00000 (1 cos )()sinaapqqpappiap a aza =+=+ r rrrrr rrrrrrrr % r r rr brbbr z =pa pp r r为有限转动张量； 0 cos(1 cos )sin aza zippp = =+ rr rr rrr % cos(1 cos )sin brt =+zzzipp p % 刚体动力学及多体动力学基础刚体动力学及多体动力学基础 刚体的有限转动刚体的有限转动刚体的有限转动刚体的有限转动 刚体的有限转动刚体的有限转动刚体的有限转动刚体的有限转动 刚体的姿态坐标刚体的姿态坐标刚体的姿态坐标刚体的姿态坐标 刚体的运动学方程刚体的运动学方程刚体的运动学方程刚体的运动学方程 刚体的运动学方程刚体的运动学方程刚体的运动学方程刚体的运动学方程 刚体的质量几何刚体的质量几何刚体的质量几何刚体的质量几何 牛顿牛顿牛顿牛顿 欧拉动力学方程欧拉动力学方程欧拉动力学方程欧拉动力学方程 牛顿牛顿牛顿牛顿 欧拉动力学方程欧拉动力学方程欧拉动力学方程欧拉动力学方程 约束方程约束方程约束方程约束方程 运动学分析运动学分析运动学分析运动学分析运动学分析运动学分析运动学分析运动学分析 空间多体系统动力学空间多体系统动力学空间多体系统动力学空间多体系统动力学 dae (index 3)dae (index 3)方程的求解方程的求解方程的求解方程的求解dae (index 3)dae (index 3)方程的求解方程的求解方程的求解方程的求解 多体力学在车辆动力学中的应用多体力学在车辆动力学中的应用多体力学在车辆动力学中的应用多体力学在车辆动力学中的应用 刚体的姿态坐标刚体的姿态坐标刚体的姿态坐标刚体的姿态坐标 rbrrb aeee刚体在参考基 的姿态由连体基 关于基 的方向余弦阵完全确定， 引入一些变量来描述刚体的姿态这些变量称为刚体的姿态坐标 引入些变量来描述刚体的姿态，这些变量称为刚体的姿态坐标。 方向余弦坐标 有限转动四元素坐标 欧拉四元素坐标 刚体的姿态坐标 罗德里格参数 欧拉角坐标 欧拉角坐标 卡尔丹角坐标 姿态分析的正问题已知姿态坐标求刚体的姿态，确定刚体的方向余弦； 姿态分析的逆问题已知方向余弦阵求刚体的姿态坐标；逆问题存在数值多解问题。 刚体的姿态坐标刚体的姿态坐标刚体的姿态坐标刚体的姿态坐标刚体的姿态坐标刚体的姿态坐标刚体的姿态坐标刚体的姿态坐标 111213 rb aaa aaa a 方向余弦坐标 212223 313233 6 aaa aaa = a 个约束条件： 222 112131 222 122232 1 1 aaa aaa += += 222 132333 111221223132 1 0 0 aaa a aa aa a a aa aa a += += += 121322233233 131123213331 112131122232 0 0 a aa aa a a aa aa a aaaaaaa += += =q() 132333 t aa 112131122232 q() 132333 刚体的姿态坐标刚体的姿态坐标刚体的姿态坐标刚体的姿态坐标刚体的姿态坐标刚体的姿态坐标刚体的姿态坐标刚体的姿态坐标 () 123 , t p pp=q 有限转动四元素坐标 () 123 2 1123312 2 1232321 , (1 cos )cos(1 cos )sin(1 cos )sin (1 cos )sin(1 cos )cos(1 cos )sin p pp pp ppp pp p pppp pp + =+ q a 2 3123213 2 1 (1 cos )sin(1 cos )sin(1 cos )cosp ppp ppp p + + 22 23 1pp+= 刚体的姿态坐标刚体的姿态坐标刚体的姿态坐标刚体的姿态坐标刚体的姿态坐标刚体的姿态坐标刚体的姿态坐标刚体的姿态坐标 欧 拉 四 元 素 坐 标 () 0 c o s 2 sin; (1, 2 , 3) 2 ii t e eui = = () () 123 123 0123 , sin, 2 () t t t uuu eee eeee = = = u eu p 0123 2222 0123 32 31 () 1 0 0 eeee eeee ee ee += = p e % 31 21 22 0 co s(1co s)sin (2 co s1)2 sin2 sinc o s rbt t ee =+ =+ aiu uu iu uu % % 2 0 (2 co s1)2 sin2 sinc o s 2222 (21)e =+ = iu uu 0 22 0112031302 22 22 2 ()12 ()2 () 2 ()2 ()12 () t e eee ee ee ee e + + iee e % 22 1203022301 22 1302230103 2 ()2 ()12 () 2 ()2 ()2 ()1 e ee eeee ee e e ee ee ee eee =+ + 刚体的姿态坐标刚体的姿态坐标刚体的姿态坐标刚体的姿态坐标刚体的姿态坐标刚体的姿态坐标刚体的姿态坐标刚体的姿态坐标 罗德里格参数 () 123 , t r r r=q 2 222 123 2 ( ) 1rrr = + + airr% 123 11 1 tan( / 2) rrr rp + = 22 tan( / 2) tan( / 2) rp rp = = 33 tan( / 2)rp= 刚体的姿态坐标刚体的姿态坐标刚体的姿态坐标刚体的姿态坐标刚体的姿态坐标刚体的姿态坐标刚体的姿态坐标刚体的姿态坐标 313 , bbbb eeee 欧拉角坐标 据欧拉定理，将刚体姿态分解为依次绕连体基的基矢量，转过， 333311 313 ()()() , 0 () rb rb t = = eeeeee eeee q 据欧拉定将刚体姿分解为依次绕体转 三次基的过渡：；进动角，章动角，自转角； 时奇异点，,不可分； 欧拉角坐标： e3re3u e3be3v r 0 0 cs sc = a 100 0cs = a 0 0 b cs sc = a e2b 001 0sc 001 rrbb =aa aa e1r e1ue1v e1b e2r e2u e2v o =aa aa c cs c sc ss c cs s e1e1 rb s cc c ss sc c cc s s ss cc =+ a 刚体的姿态坐标刚体的姿态坐标刚体的姿态坐标刚体的姿态坐标刚体的姿态坐标刚体的姿态坐标刚体的姿态坐标刚体的姿态坐标 123 , bbbb eeee 卡尔丹角坐标 据欧拉定理，将刚体姿态分解为依次绕连体基的基矢量，转过， 331122 ()()() 2 () br rb t = = eeeeee eeee q 三次基的过渡：； 时存在奇异点； 卡尔丹角坐标：()q卡尔丹角坐标： 100 0 r cs = a 0 010 cs = a 0 0 b cs sc = a 0sc 0sc 001 rrbb aa aa =aa aa c cc ss rb s s cc ss s sc cs c c s cc s ss cc c =+ + a 刚体动力学及多体动力学基础刚体动力学及多体动力学基础 刚体的有限转动刚体的有限转动刚体的有限转动刚体的有限转动 刚体的有限转动刚体的有限转动刚体的有限转动刚体的有限转动 刚体的姿态坐标刚体的姿态坐标刚体的姿态坐标刚体的姿态坐标 刚体的运动学方程刚体的运动学方程刚体的运动学方程刚体的运动学方程 刚体的运动学方程刚体的运动学方程刚体的运动学方程刚体的运动学方程 刚体的质量几何刚体的质量几何刚体的质量几何刚体的质量几何 牛顿牛顿牛顿牛顿 欧拉动力学方程欧拉动力学方程欧拉动力学方程欧拉动力学方程 牛顿牛顿牛顿牛顿 欧拉动力学方程欧拉动力学方程欧拉动力学方程欧拉动力学方程 约束方程约束方程约束方程约束方程 运动学分析运动学分析运动学分析运动学分析运动学分析运动学分析运动学分析运动学分析 空间多体系统动力学空间多体系统动力学空间多体系统动力学空间多体系统动力学 dae (index 3)dae (index 3)方程的求解方程的求解方程的求解方程的求解dae (index 3)dae (index 3)方程的求解方程的求解方程的求解方程的求解 多体力学在车辆动力学中的应用多体力学在车辆动力学中的应用多体力学在车辆动力学中的应用多体力学在车辆动力学中的应用 刚体的运动学方程刚体的运动学方程刚体的运动学方程刚体的运动学方程 角速度矢量与角加速度矢量角速度矢量与角加速度矢量 br 连体基 相对于参考基 随时间的变化 () () br rr bbrrbrrbrrbb rr brbtrrbtrrbtrbb dd dtdt dd = ee ea ea ea a e eaeaeaa e ; brbtrrbtrrbtrbb brrbrbtrb rbtrbrbtrb btbbtbbtb tt dtdt = = += eaeaeaa e a aaai aaaa0 rbtrbrbtrbrbtrb tt = = aaaaaa%反对称矩阵 =- 123 32 () 0 t = 引入 111223313223 211223321331 311223332112 () () () bbbbbbb bbbbbbb rd =+= =+= eeeeeee eeeeeee r r 31 21 0 0 rbtrbrbtrb r aaaa d = = % r rrrr btbbtbbtb a dddd a =+ e aeaeae r r 矢 量在基 上 对 时 间 的 导 数 ： ()()(); ()() rbb btbbtb dtdtdtdt ddd a dtdtdt =aeae r () r btbbtrbbrbbtbrb rb b d a dt dd =aeaeae rrrr rb dd aaa dtdt =+ rrrr 当 矢 量 与 刚 体 固 r rb d aa dt = rrr 结 时 ： 刚体的运动学方程刚体的运动学方程刚体的运动学方程刚体的运动学方程刚体的运动学方程刚体的运动学方程刚体的运动学方程刚体的运动学方程 矢量在不同基上对时间的导数矢量在不同基上对时间的导数 rbb rbrbrbrbrbrb ddd dtdtdt =+= rrrrrr 角速度对时间的导数： 2 2 2 ()()() rrbrbrr rbrbrb bbb ddddddd aaaaaa dtdtdtdtdtdtdt =+=+ rrrrrrrrr 2 2 2 2 () bbb rbrbrbrb bb rb ddd aaaaa dtdtdt d a =+ =+ rrrrrrrrr rr b rbrbrbrb dd aaaa+ rrrrrrrr 2 a dt + 2 2 +2 bb rbrbrbrb aaaa dtdt dd aaaa dtdt + =+ rrrrrrrr 2 2 r rbrbrb d aaa dt =+ rrrrrr 当矢量与刚体固结时： 刚体的运动学方程刚体的运动学方程刚体的运动学方程刚体的运动学方程刚体的运动学方程刚体的运动学方程刚体的运动学方程刚体的运动学方程 角速度矢量的叠加原理角速度矢量的叠加原理角速度矢量的叠加原理角速度矢量的叠加原理 bsbs ee r 为以角速度矢量相对于基 运动的连体基； srsr b a ee e r r 为以角速度矢量相对于基动的体基； 为以角速度矢量相对于基 运动的连体基； 为固结于 上的矢量； rb rbrb sb dd aaaa dtdt dd =+= rrrrrr sbsb rs rs dd aaaa dtdt dd aaa =+= =+ rrrrrr rrrr rbsbrs rbrssb aaa dtdt aaa =+ =+ =+ rrrrrr rrr =+ 刚体的运动学方程刚体的运动学方程刚体的运动学方程刚体的运动学方程刚体的运动学方程刚体的运动学方程刚体的运动学方程刚体的运动学方程 刚体的运动学方程刚体的运动学方程 rbrr rbbb e r r 刚体角速度矢量在参考基 的坐标阵， 与姿态坐标的导数的关系复杂; 刚体角速度矢量在连体基 的坐标阵 方 向 余 弦 阵 rbbb e r 刚体角速度矢量在连体基 的坐标阵， 与姿态坐标的导数的关系复杂; 对不同的姿态坐标有不同的关系， bb rrb rrbb r rbrbb = = = aa aa aa ppp rpp v =+ = o o o rrrr hh 0 d d dd d dd c m = = j r 仅当条件之一 刚体的质量几何刚体的质量几何刚体的质量几何刚体的质量几何刚体的质量几何刚体的质量几何刚体的质量几何刚体的质量几何 h()() ()() d dkk kcckkdcck kk ckdcckckkdcck kk mm mm =+ =+ rr rr r rrrrrrr ()() 0 kdkdcck k kkdkkdcckdc kkk kck mmmmmm m =+=+ =+=+=+ = rrr rrrrr rrrrrr rrrrrrrrr r ()() () () cdckckckkckckcdc kk kckckcdc k kckckcdc mmmm mm mm =+=+ =+ = + rr r r rrrrrr () (); () = = a bbc a a bc da g d gcbc b i rr rrr rrr rrr rr rr 3 ()=gcbc b i 刚体的质量几何刚体的质量几何刚体的质量几何刚体的质量几何刚体的质量几何刚体的质量几何刚体的质量几何刚体的质量几何 ; btb dd =jej e 111213 ; d () dd b dd jjj mjjj = = jje ji rrr r 为在上的坐标阵，称为刚体相对于点 的惯性阵； 3212223 313233 22 () 123 dkkkkk k b mjjj jjj = ji e绕轴的转动惯量； 22 1123 22 2231 () () kkk k kkk k jm jm =+ =+ 惯量矩阵的变换 22 3312 () ( kkk k ijjikkikj jm jjm =+ = );( ,1,2,3;) ij k i jij= 对 轴的惯性积 3 3 () () () dccccc tt dccc sbs tsbs m m aa =+ =+ jj i jji jj rrr r () 0 sbs tsbs dd sbbs s ii aa a j =jj ee e 相对于的方向余弦阵为； 惯性积为 的惯性主轴，主惯性矩； ii 刚体的质量几何刚体的质量几何刚体的质量几何刚体的质量几何 () oxyz onoxyz,on on;(cos ,cos,cos )t j n n = r 某一刚体相对连体坐标系的惯性矩阵是 轴在中的方向角为，求该刚体对轴的转动惯量； 轴的单位矢量为 2 2222 2 ;(,) ()()() on ttt jmh hrrnr n nn rrn r n nn rr n = = = rrrrrr rr 轴的单位矢量为 2 222 2222 00 00 tt t nr errn xyz m r errmxyz = + =+ x yxyz 00x 222 xxxyxz yxyyyz yzz jjj jjj + = 22 22 () () zxzyzz xx yy jjj jm yz jm xz =+ =+ 22 () zz xyyx yzyx jm xy jjmxy jjmyz =+ = = 222 coscoscos2c zxxz onxxyyzzxy jjmzx jjjjj = =+ oscos2coscos2cos cos yzzx jj 刚体的质量几何刚体的质量几何刚体的质量几何刚体的质量几何刚体的质量几何刚体的质量几何刚体的质量几何刚体的质量几何 刚体的惯性椭球 poinsot opoxyz;(cos ,cos,cos ) o t n n= r 惯性张量是表征刚体相对某个点的质量分布状况的物理量， （潘索）提出了惯性椭球概念。 设过 点的任意轴 相对于连体坐标的方向余弦为， 刚体相对于 点的惯性张量 相对于此坐标系的惯量矩阵为 222 p oj coscoscos2coscos2coscos2cos cos xxyyzzxyyzzx jjjjjjj=+ 刚体相对于 点的惯性张量 相对于此坐标系的惯量矩阵为 在轴 22 ppporjp kkk 上选取 ，规定点 至 点的距离为 ，与的平方根成反比： 2 2 ; pxrcosyrcoszrcos pjprp p p p kkk rjr rjj k = =为任意常数，点 的坐标为，； 改变轴 的方位，及 都随之变化，点 在空间中的轨迹形成一个封闭曲面 2222222222 p rr cosr cosr cos2r coscos2r coscos2r co xxyyzzxyyzzx jjjjjjj=+ 22222 scos xyz2xy2yz2r zx=k oo xxyyzzxyyzzx jjjjjj =+ 以 为圆心的椭球面方程，所包围的椭球称为刚体相对于 点的惯量椭球， o 33 它形像化地表示出刚体对过 点的所有轴的惯量矩阵分布情况。 椭球的 根主轴对应于刚体的 根惯量主轴。 刚体动力学及多体动力学基础刚体动力学及多体动力学基础 刚体的有限转动刚体的有限转动刚体的有限转动刚体的有限转动 刚体的有限转动刚体的有限转动刚体的有限转动刚体的有限转动 刚体的姿态坐标刚体的姿态坐标刚体的姿态坐标刚体的姿态坐标 刚体的运动学方程刚体的运动学方程刚体的运动学方程刚体的运动学方程 刚体的运动学方程刚体的运动学方程刚体的运动学方程刚体的运动学方程 刚体的质量几何刚体的质量几何刚体的质量几何刚体的质量几何 牛顿牛顿牛顿牛顿 欧拉动力学方程欧拉动力学方程欧拉动力学方程欧拉动力学方程 牛顿牛顿牛顿牛顿 欧拉动力学方程欧拉动力学方程欧拉动力学方程欧拉动力学方程 约束方程约束方程约束方程约束方程 运动学分析运动学分析运动学分析运动学分析运动学分析运动学分析运动学分析运动学分析 空间多体系统动力学空间多体系统动力学空间多体系统动力学空间多体系统动力学 dae (index 3)dae (index 3)方程的求解方程的求解方程的求解方程的求解dae (index 3)dae (index 3)方程的求解方程的求解方程的求解方程的求解 多体力学在车辆动力学中的应用多体力学在车辆动力学中的应用多体力学在车辆动力学中的应用多体力学在车辆动力学中的应用 牛顿牛顿牛顿牛顿 欧拉动力学方程欧拉动力学方程欧拉动力学方程欧拉动力学方程 r oxyz oxyzo o 某刚体（连体坐标系） 相对固定参考系绕定点 运动， 刚体对 点的动量矩 h ( ) hh h o rb oo o b d m f dt dd dtdt = =+ r r rr r r r o ho o j hj = = rr r 刚体对 点的动量矩 h h( ) ( ) b o o x d m f dt jjm f m += += r rr rr rrr rrrr 0; 0 yxyyyzzxy zxzyzzyxz jjjj jjj = = 0 0 y z xxxyxzxzyxxxyxzxx yxyyyzyzxyxyyyzyy jjjjjjm jjjjjjm = += ccc xy z刚体质心 在固定参考坐标系中的位置 为连体惯性主轴坐标系 m 00 00 00 c c j jjc j = 为连体惯性主轴坐标系 为刚体相对连体坐标系 () cc jjm m jjjm += += (1,2,3) ii e eui = = ()t () () 123 123 sin;(1,2,3) 2 , sin, 2 ii t t eui u u u e e e = = u eu 0123 ()teeee=p 归一化约束条件： 2222 0123 1eeee+= 3 22 3 cos(1 cos )sin (2cos1)2sin2sincos rbt t i i =+ =+ auuu uuu % % 0ee3 2 030 22 011 20 31 30 2 22 1 20 3022 30 1 () 2222 (21)22 2() 12()2() 2()2() 12() t eieee e eeeee eeee e eee eeee ee e =+ + =+ % = 0 0 0 12 13 23 ee ee ee e 0 3030 22 1 30 22 30 103 2()2()2() 1eee ee ee eee+ 0123 ()t xyz rrreeee =