2010年解析版高考试题——理数(全国卷I).doc

优化方案教考资源网 欢迎广大教师踊跃投稿，稿酬丰厚。 1 绝密绝密启用前启用前 2010 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学理科数学( (必修必修+ +选修选修 ii)ii) 本试卷分第 i 卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。第 i 卷 1 至 2 页。第卷 3 至 4 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第第 i i 卷卷 注意事项： 1答题前，考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写 清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2每小题选出答案后，用 2b 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。 3第 i 卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。参考公式：参考公式： 如果事件互斥，那么 球的表面积公式a、b ()( )( )p abp ap b 2 4sr 如果事件相互独立，那么 其中 r 表示球的半径a、b 球的体积公式()( )( )p a bp a p baa 如果事件 a 在一次试验中发生的概率是，那么 p 3 3 4 vr 次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中 r 表示球的半径nak ( )(1)(0,1,2,) kkn k nn p kc ppkn 一选择题一选择题 (1)复数 32 23 i i (a)i (b) (c)12-13 (d) 12+13iii 1a【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算,重点考查分母实数化的转化技巧. 【解析 1】. 32(32 )(23 )6946 23(23 )(23 )13 iiiii i iii 【解析 2】 2 3232 2323 iii i ii (2)记,那么cos( 80 )k tan100 a. b. - c. d. - 2 1k k 2 1k k 2 1 k k 2 1 k k 2.b 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化 优化方案教考资源网 欢迎广大教师踊跃投稿，稿酬丰厚。 2 这一转化思想的应用. 【解析 1】,所以 222 sin801 cos 801 cos ( 80 )1 k tan100tan80 2 sin801 . cos80 k k 【解析 2】，cos( 80 )k cos(80 )k 00 0 00 sin 18080 sin100sin80 tan100 1008018080 o oo conconcon 2 1 k k (3)若变量满足约束条件则的最大值为, x y 1, 0, 20, y xy xy 2zxy (a)4 (b)3 (c)2 (d)1 3.b 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力. 【解析 1】画出可行域（如右图） ，由图可知,当直线l经过点 a(1,-1)时，z 最大，且最大值为 . max 1 2 ( 1)3z 【解析 2】，画图知过点是最大， 11 2 22 zxyyxz1, 1 1 213 max z （4）已知各项均为正数的等比数列，=5，=10，则= n a 123 a a a 789 a a a 456 a a a (a) (b) 7 (c) 6 (d) 5 24 2 4.a【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考 查了转化与化归的数学思想. 【解析 1】由等比数列的性质知，10,所 3 1231322 ()5a a aa aaaa 3 7897988 ()a a aa aaaa 以, 1 3 28 50a a 0xy 1 o yx y 20xy x a 0: 20lxy l0 2 2 a 优化方案教考资源网 欢迎广大教师踊跃投稿，稿酬丰厚。 3 a b c d a1 b1 c1 d1 o 所以 1 333 6 456465528 ()()(50 )5 2a a aa aaaa aa (5)的展开式中 x 的系数是 353 (12) (1)xx (a) -4 (b) -2 (c) 2 (d) 4 【解析 2】=5；=10， 123 a a a 3 2 5a 789 a a a 3 8 10,a 6333 5284565 505 2aa aa a aa 5.c【解析】 2 124513 353 333322 (12) (1)1 61281 510105xxxxxxxxxx x的系数是 -10+12=2 (6)某校开设 a 类选修课 3 门，b 类选择课 4 门，一位同学从中共选 3 门，若要求两 类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 (a) 30 种 (b)35 种 (c)42 种 (d)48 种 6.a【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想. 【解析 1】:可分以下 2 种情况:(1)a 类选修课选 1 门,b 类选修课选 2 门,有种不同 12 34 c c 的选法;(2)a 类选修课选 2 门,b 类选修课选 1 门,有种不同的选法.所以不同的 21 34 c c 选法共有+种. 12 34 c c 21 34 18 1230c c 【解析 2】 333 734 30ccc (7)正方体 abcd-中，b与平面 ac所成角的余弦值为 1111 abc d 1 b 1 d a b c d 2 3 3 3 2 3 6 3 7.d 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等 体积转化求出 d 到平面 ac的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现. 1 d 【解析 1】因 优化方案教考资源网 欢迎广大教师踊跃投稿，稿酬丰厚。 4 为 bb1/dd1,所以b与平面 ac所成角和dd1与平面 ac所成角相等,设 do平面ac， 1 b 1 d 1 d 1 d 由等体积法得,即.设 dd1=a, 11 d acddacd vv 1 1 11 33 acdacd sdosdd 则,. 1 22 1 1133 sin60( 2 ) 2222 acd sac adaa a 2 11 22 acd sad cda a 所以,记 dd1与平面 ac所成角为,则,所以 1 3 1 2 3 33 acd acd sdda doa sa a 1 d 1 3 sin 3 do dd . 6 cos 3 【解析 2】设上下底面的中心分别为；与平面ac所成角就是b与平面ac所成角， 1, oo 1 o o 1 d 1 b 1 d 1 11 1 36 cos1/ 32 oo ood od （8）设 a=2,b=in2,c=,则 3 log 1 2 5 a af(1)=1+=3,即 a+2b 的取值范围是(3,+). 2 1 【解析 2】由 0ab,且f(a)=f(b)得：，利用线性规划得：，求的取值 01 1 1 a b ab 01 1 1 x y xy 2zxy 范围问题，过点时 z 最小为 3,(c) 11 2 22 zxyyxz 2 11 1yy xx 1,1 (3,) （11）已知圆 o 的半径为 1，pa、pb 为该圆的两条切线，a、b 为俩切点，那么的最小值为pa pb (a) (b) (c) (d)42 32 42 2 32 2 11.d【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法判别 式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 优化方案教考资源网 欢迎广大教师踊跃投稿，稿酬丰厚。 6 【解析 1】如图所示：设 pa=pb=,apo=,则x(0)x apb=，po=，2 2 1x 2 1 sin 1x =，| |cos2pa pbpapb 22 (1 2sin)x 22 2 (1) 1 xx x 42 2 1 xx x 令，则，即，由是实数，所以pa pby 42 2 1 xx y x 42 (1)0xy xy 2 x ，解得或.故 2 (1)4 1 ()0yy 2 610yy 32 2y 32 2y .此时. min ()32 2pa pb 21x 【解析 2】法一： 设，,0apb 2 cos1/tancos 2 pa pbpapb 22 2 2 22 1 sin1 2sin cos 22 2 1 2sin 2 sinsin 22 法二：换元：， 2 sin,01 2 xx 11 21 232 23 xx pa pbx xx 或建系：园的方程为，设， 22 1xy 11110 ( ,), ( ,), (,0)a x yb xyp x 22 11101110110 ,001aopax yxxyxx xyx x 22222222 1100110110 221232 23pa pbxx xxyxxxxx （12）已知在半径为 2 的球面上有 a、b、c、d 四点，若 ab=cd=2,则四面体 abcd 的体积的最大值为 (a) (b) (c) (d) 2 3 3 4 3 3 2 3 8 3 3 12.b【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考 查考生的空间想象能力及推理运算能力. 【解析 1】过 cd 作平面 pcd，使 ab平面 pcd,交 ab 与 p,设点 p 到 cd 的距离为,则有h ,当直径通过 ab 与 cd 的中点时,故. abcd 112 22 323 vhh 四面体 22 max 2 212 3h max 4 3 3 v p a b o 222 10110111001 ,2pa pbxxyxxyxx xxy 优化方案教考资源网 欢迎广大教师踊跃投稿，稿酬丰厚。 7 【解析 2】 绝密启用前 2010 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修 ii) 第卷 注意事项： 1答题前，考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2第卷共 2 页，请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答，在试题卷上作答无效。 3。第卷共 l0 小题，共 90 分。 二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上 (注意：在试题卷上作答无效) 优化方案教考资源网 欢迎广大教师踊跃投稿，稿酬丰厚。 8 1 2 x y=1 x y a o 1 2 x 41 4 a y 2 yxxa (13)不等式的解集是 . 2 211xx 13.0,2 【命题意图】本小题主要考查根式不等式的解法，利用平方去掉根号是解根式不等式的基本思 路，也让转化与化归的数学思想体现得淋漓尽致. 【解析 1】原不等式等价于解得 0x2. 22 21(1) , 10 xx x 【解析 2】 ， 2 2 22 211 2112110202 11 xx xxxxxxx x (14)已知为第三象限的角，,则 . 3 cos2 5 tan(2 ) 4 14【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式,同 1 7 时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能. 【解析 1】因为为第三象限的角,所以，又0, 2(2(21) ,2(21) )()kkkz 3 cos2 5 所以,于是有,2(2(21) ,2(21) )() 2 kkkz 4 sin2 5 ,所以. sin24 tan2 cos23 tan(2 ) 4 4 1tantan2 1 34 4 7 1tantan21 43 【解析 2】为第三象限的角， ， 3 cos2 5 3 22 2 kk 在二象限，42243kk2 4 sin2 5 sin(2 )sincos2cossin2 cos2sin21 444 tan(2 ) 4cos2sin27 cos(2 )coscos2sinsin2 444 (15)直线与曲线有四个交点，则的取值范围是 .1y 2 yxxaa 15.(1,【命题意图】本小题主要考查函数的图像与性质、不等式的解法,着 5) 4 重考查了数形结合的数学思想. 【解析 1】如图，在同一直角坐标系内画出直线与曲线1y ,观图可知，a 的取值必须满足解得. 2 yxxa 1 , 41 1 4 a a 5 1 4 a 【解析 2】由数型结合知： 15 11 44 aaa 优化方案教考资源网 欢迎广大教师踊跃投稿，稿酬丰厚。 9 (16)已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，fcbbfcdbf2fd uu ruur 则的离心率为 .c 16. 3 3 【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第 二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想, 本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数” ，利用几 何性质可寻求到简化问题的捷径. 【解析 1】如图，, 22 |bfbca 作轴于点 d1,则由，得 1 ddybf2fd uu ruur ,所以, 1 |2 |3 ofbf ddbd 1 33 | 22 ddofc 即,由椭圆的第二定义得 3 2 d c x 22 33 |() 22 acc fdea ca 又由,得,整理得.| 2|bffd 2 3 2 c ca a 22 320caac 两边都除以,得,解得. 2 a 2 320ee 1()e 舍去，或 2 3 e 【解析 2】设椭圆方程为：第一标准形式，f 分 bd 所成的比为 2， ，带入 22 22 3022333 0 ; 122212222 c ccc ybxbybb xxxc yy ， 22 22 91 1 44 cb ab 3 3 e 三解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 (17)(本小题满分 10 分)(注意：在试题卷上作答无效) 已知的内角，及其对边，满足，求内角abcvababcotcotabaabbc 17. 【命题意图】本小题主要考查三角恒等变形、利用正弦、余弦定理处理三角形中的边角关系，突 出考查边角互化的转化思想的应用. (18)(本小题满分 12 分)（注意：在试题卷上作答无效) 投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审若能通过两位初审专家的评审， 则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评 审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录 用设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 05，复审的稿件能通过评审的概率为 03 各专家独立评审 (i)求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率； (ii)记表示投到该杂志的 4 篇稿件中被录用的篇数，求的分布列及期望xx xo y b f 1 d d 优化方案教考资源网 欢迎广大教师踊跃投稿，稿酬丰厚。 10 18. 【命题意图】本题主要考查等可能性事件、互斥事件、独立事件、相互独立试验、分布列、数学 期望等知识,以及运用概率知识解决实际问题的能力,考查分类与整合思想、化归与转化思想. （19） （本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答无效）（注意：在试题卷上作答无效） 如图，四棱锥 s-abcd 中，sd底面 abcd，ab/dc，addc，ab=ad=1，dc=sd=2，e 为棱 sb 上的 一点，平面 edc平面 sbc . （）证明：se=2eb； （）求二面角 a-de-c 的大小 . 【命题意图】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，二面角等基础知 识,考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力. (20)(本小题满分 12 分)（注意：在试题卷上作答无效）（注意：在试题卷上作答无效） 已知函数.( )(1)l