2011北京各区数学一模试题分类汇编——立体几何.doc

2011北京各区数学一模试题分类汇编立体几何1. （朝阳理16）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，侧面底面. 若.（）求证：平面；abpcd（）侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点 的位置并证明，若不存在，请说明理由；（）求二面角的余弦值.解法一：（）因为 ，所以.又因为侧面底面，且侧面底面，所以底面.而底面，所以. 在底面中，因为，所以 ， 所以. 又因为， 所以平面. 4分（）在上存在中点，使得平面， efabpcd证明如下：设的中点是， 连结，则，且.由已知，ghabpcd所以. 又，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，平面，所以平面. 8分（）设为中点，连结，则 .又因为平面平面，所以 平面.过作于，连结，由三垂线定理可知.所以是二面角的平面角.设，则, .在中，所以.所以 ，.即二面角的余弦值为. 13分zyxabpcd解法二：因为 ，所以.又因为侧面底面，且侧面底面，所以 底面.又因为，所以，两两垂直.分别以，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图.设，则，. （），,所以 ，所以，.又因为， 所以平面. 4分（）设侧棱的中点是， 则，. 设平面的一个法向量是，则 因为，所以 取，则.所以， 所以.因为平面，所以平面. 8分（）由已知，平面，所以为平面的一个法向量.由（）知，为平面的一个法向量.设二面角的大小为，由图可知，为锐角，所以.即二面角的余弦值为. 13分2. （朝阳文17）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，侧面底面，. 若.（）求证：平面；abpcde（）设侧棱的中点是，求证：平面.解：（）因为 ，所以.又因为侧面底面，abpcde且侧面底面，所以底面.而底面，所以.在底面中，因为，所以 ， 所以. 又因为， 所以平面. 6分efabpcd（）设侧棱的中点为， 连结，则，且.由已知，所以. 又，所以. 且.所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，平面，所以平面. 13分pabcdqm3. （丰台理16）如图，在四棱锥p-abcd中，底面abcd为直角梯形，ad/bc，adc=90，平面pad底面abcd，q为ad的中点，m是棱pc上的点，pa=pd=2，bc=ad=1，cd=（）若点m是棱pc的中点，求证：pa / 平面bmq；（）求证：平面pqb平面pad； （）若二面角m-bq-c为30，设pm=tmc，试确定t的值 pabcdqm证明：（）连接ac，交bq于n，连接mn bcad且bc=ad，四边形bcqa为平行四边形，且n为ac中点，又点m在是棱pc的中点， mn / pa mn平面mqb，pa平面mqb， pa / 平面mbq （）ad / bc，bc=ad，q为ad的中点，四边形bcdq为平行四边形，cd / bq adc=90 aqb=90 即qbadpabcdqmnxyz又平面pad平面abcd 且平面pad平面abcd=ad， bq平面pad bq平面pqb，平面pqb平面pad 9分另证：ad / bc，bc=ad，q为ad的中点， 四边形bcdq为平行四边形，cd / bq adc=90 aqb=90 pa=pd， pqad pqbq=q， ad平面pbq ad平面pad，平面pqb平面pad9分（）pa=pd，q为ad的中点， pqad平面pad平面abcd，且平面pad平面abcd=ad， pq平面abcd 如图，以q为原点建立空间直角坐标系则平面bqc的法向量为；， 设，则， ， 12分在平面mbq中， 平面mbq法向量为 二面角m-bq-c为30， ， 14分4. （丰台文16）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，ad/bc，adc=90，bc=ad，pa=pd，q为ad的中点（）求证：ad平面pbq； （）若点m在棱pc上，设pm=tmc，试确定t的值，使得pabcdqmnpa/平面bmq证明：（）ad / bc，bc=ad，q为ad的中点， 四边形bcdq为平行四边形， cd / bq adc=90 aqb=90 即qbad pa=pd，q为ad的中点， pqad pqbq=q，ad平面pbq 6分（）当时，pa/平面bmq连接ac，交bq于n，连接mnbcdq，四边形bcqa为平行四边形，且n为ac中点，点m是线段pc的中点， mn / pa mn平面bmq，pa平面bmq， pa / 平面bmq 13分5. （门头沟理16）apdcob已知四棱锥的底面为菱形，且，与相交于点.（）求证：底面；（）求直线与平面所成角的正弦值；（）若是上的一点，且，求的值（）证明：因为为菱形，所以为的中点1分因为,所以所以底面 3分（）因为为菱形，所以建立如图所示空间直角坐标系又得 4分所以 ,5分设平面的法向量有 所以解得所以 8分 9分与平面所成角的正弦值为 10分（）因为点在上,所以所以,因为所以,得 解得pdbaefg所以 14分6. （门头沟文16）如图所示，垂直矩形所在的平面，分别为的中点。()求证（）求证证明：()取中点，连结、，c 因为分别为的中点，所以，2分又在矩形中，所以 ，所以四边形是平行四边形，所以5分 又，.所以7分（）因为，所以在矩形中 又，所以，11分因为所以，因为所以13分石景山理17）在棱长为2的正方体abcda1b1c1d1中，e，f分别为a1d1和cc1的中点 （）求证：ef/平面acd1； （）求异面直线ef与ab所成的角的余弦值； （）在棱bb1上是否存在一点p，使得二面角pacb的大小为30？若存在，求出bp的长；若不存在，请说明理由7. （石景山文17）在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，e，f，g分别为棱bb1，dd1和cc1的中点 （）求证：c1f/平面deg； （）求三棱锥d1a1ae的体积； （）试在棱cd上求一点m，使平面deg8. （延庆理16）pdmbca如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，且 ,侧面底面，且三角形为等腰直角三角形，,是的中点.（）求证; （）求异面直线与所成角的余弦值;（）求二面角的余弦值.（） 连结, 是菱形 ，且 是等边三角形 1分设是的中点，连结，则， 是等腰直角三角形 2分 3分 平面， 4分（） 平面平面 平面以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系如图 5分则 7分 9分（） 平面 平面的法向量为 10分设平面的法向量为 ， ，令 可得： 12分 由图形可知，二面角为锐角， 二面角的余弦值为 14分9. （延庆文16）pdbca如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，,且三角形为等腰，.（）求证; （）线段上是否存在点，使得平面?并说明理由.（）连结, ，且 是等边三角形 1分设是的中点，连结，则， 2分 是等腰三角形， 3分 ， 平面， 5分 平面， 6分（）设为的中点，连，又设是的中点, 连 8分 ， ， 9分 是平行四边形， 10分 平面, 平面 平面 12分 当为的中点时，平面 13分10. （海淀理16）在如图的多面体中，平面，,，是的中点() 求证：平面；() 求证：；() 求二面角的余弦值. 解：()证明：，. 又,是的中点， ， 四边形是平行四边形， . 2分 平面，平面， 平面. 4分() 解法1证明：平面，平面， 又，平面， 平面. 5分过作交于，则平面.平面， . 6分，四边形平行四边形，又，四边形为正方形， ， 7分又平面，平面,平面. 8分平面,. 9分解法2平面，平面，平面，又,两两垂直. 5分以点e为坐标原点，分别为轴建立如图的空间直角坐标系.由已知得，（0，0，2），（2，0，0），（2，4，0），（0，3，0），（0，2，2），（2，2，0）. 6分，7分, 8分. 9分()由已知得是平面的法向量. 10分设平面的法向量为，即，令,得. 12分设二面角的大小为，则， 13分二面角的余弦值为 14分11. （海淀文17）如图：梯形和正所在平面互相垂直，其中 ，且为中点. ( i ) 求证：平面；( ii ) 求证：. 证明: (i) 因为为中点，所以 1分又，所以有 2分所以为平行四边形,所以 3分又平面平面所以平面 . 5分(ii)连接.因为所以为平行四边形， 6分又,所以为菱形，所以 ， 7分因为正三角形,为中点，所以 ， 8 分 又因为平面平面,平面平面 ， 所以平面， 10分而平面，所以 ，又，所以平面. 12分又平面，所以 . 13分12. （东城理16）已知四棱锥的底面是菱形，与交于点，分别为，的中点（）求证：平面；（）求证：平面；oecabdph（）求直线与平面所成角的正弦值 （）证明：因为，分别为，的中点，oecdbaph 所以 又平面,平面 所以平面（）证明：连结， 因为，所以在菱形中，又因为，所以平面又平面，所以在直角三角形中，所以又，为的中点，所以又因为所以平面（）解：过点作，所以平面如图，以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系可得，所以，设是平面的一个法向量，则，即，令，则设直线与平面所成的角为，可得所以直线与平面所成角的正弦值为13. （东城文16）已知四棱锥的底面是菱形，为的中点（）求证：平面；（）求证：平面平面（）证明：因为，分别为，的中点， 所以 因为平面 平面 所以平面6分（）证明：连结 因为，所以在菱形中，因为所以平面abcdfe 因为平面 所以平面平面 13分14. （西城一模理17）如图, 是边长为的正方形，平面，与平面所成角为.()求证：平面；()求二面角的余弦值；（）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得平面，并证明你的结论.()证明： 因为平面，所以. 2分因为是正方形，所以，从而平面. 4分()解：因为两两垂直，所以建立空间直角坐标系如图所示.因为与平面所成角为，即， 5分所以.由可知，. 6分则，所以， 7分设平面的法向量为，则，即，令，则. 8分因为平面，所以为平面的法向量，所以. 9分因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 10分()解：点是线段上一个动点，设.则，因为平面，所以， 11分即，解得. 12分此时，点坐标为，符合题意. 13分15. （西城一模文16）abcdfe如图所示，正方形与直角梯形所在平面互相垂直，.()求证：平面；()求证：平面；（）求四面体的体积.()证明：因为平面平面，所以平面，2分 所以.3分因为是正方形，所以，所以平面. 4分()证明：设，取中点，连结，所以，. 5分因为，所以，6分从而四边形是平行四边形，. 7分因为平面,平面, 8分所以平面，即平面. 9分（）解：因为平面平面，,所以平面. 11分因为,，所以的面积为， 12分所以四面体的体积. 13分16. （怀柔一模理16）如图，四棱锥的底面为正方形，侧棱底面，且，分别是线段的中点（）求证：/平面；（）求证：平面；（）求二面角的大小解：建立如图所示的空间直