2011年高考数学总复习_提能拔高限时训练：单元检测—圆锥曲线方程(练习+详细答案)大纲人教版.doc

单元检测(八) 圆锥曲线方程(满分:150分 时间:120分钟)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率等于（ ）a. b. c. d.解析:设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a、2b、2c,则由题意,得2a=22ba=2ba2=4b2a2=4(a2-c2) e=.答案:d2.椭圆(ab0)的焦点为f1、f2,两条准线与x轴的交点分别为m、n.若|mn|2|f1f2|,则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）a.(0, b.(0,c.,1) d.,1)解析:由题意,有|mn|2|f1f2|2ca22c2,又,.故选d.答案:d3.若双曲线的左焦点在抛物线y2=2px的准线上,则p的值为（ ）a.2 b.3 c.4 d.解析:双曲线的标准方程为故,即.由于抛物线的准线方程为,它与x轴的交点的横坐标为,而双曲线的左焦点在抛物线的准线上,因此p0.解得p=4,故选c.答案:c4.设o是坐标原点,f是抛物线y2=2px(p0)的焦点,a是抛物线上的一点,与x轴正向的夹角为60,则为（ ）a. b. c. d.解析:依题意f(,0),直线fa的倾斜角即为与x轴正向的夹角,所以其斜率k=tan60=.故fa的方程为.由,可解得直线与抛物线的交点a的坐标为,所以答案:b5.已知倾斜角0的直线l过椭圆(ab0)的右焦点交椭圆于a、b两点,p为右准线上任意一点,则apb为（ ）a.钝角 b.直角 c.锐角 d.都有可能解析:如图,设m为ab的中点,过点m作mm1垂直于准线于点m1,分别过a、b作aa1、bb1垂直于准线于a1、b1两点.则以ab为直径的圆与右准线相离.apb为锐角.答案:c6.设f为抛物线y2=4x的焦点,a、b、c为该抛物线上三点,若=0,则等于（ ）a.9 b.6 c.4 d.3解析:由于抛物线y2=4x的焦点坐标为f(1,0),由=0,可设a(x1,y1)、b(x2,y2)、c(x3,y3),得(x1-1)+(x2-1)+(x3-1)=0,x1+x2+x3=3,又由抛物线定义知=x1+1,=x2+1,=x3+1,=(x1+x2+x3)+3=6.答案:b7.(2009河南郑州高中毕业班第一次质检)斜率为2的直线l过双曲线(a0,b0)的右焦点,且与双曲线的左右两支分别相交,则双曲线的离心率e的取值范围是（ ）a.e b.1e c.1e解析:依题意,双曲线的一条渐近线的斜率必大于2,即2,因此该双曲线的离心率答案:d8.已知双曲线(a0,b0)的右焦点为f,若过点f且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是（ ）a.(1,2 b.(1,2) c.2,+) d.(2,+)解析:渐近线与过焦点f的直线l平行,或渐近线从该位置绕原点按逆时针方向旋转时,直线l与双曲线的右支交于一个点.,即c2=a2+b24a2.e2,故选c.答案:c9.椭圆(a1b0)与双曲线,它们的离心率分别为e1、e2,以a1、a2、b为边长(其中a1为斜边)可构成直角三角形的充要条件是（ ）a.e1e2=1 b.e22-e12=1 c.e2=e1 d.e12+e22=2解析:由题意,知a12=a22+b2,又e12e22=1,即e1e2=1.答案:a10.设e1,e2分别为具有公共焦点f1与f2的椭圆和双曲线的离心率,p为两曲线的一个公共点,且满足=0,则的值为（ ）a.1 b. c.2 d.不确定解析:设=m,=n,设椭圆的长轴长为2a1,双曲线的实轴长为2a2,|f1f2|=2c,则,由此可得4a12-4c2=4c2-4a22,即a12+a22=2c2.将,代入,选c.答案:c11.如图,过抛物线x2=4py(p0)焦点的直线依次交抛物线与圆x2+(y-p)2=p2于点a、b、c、d,则的值是（ ）a.8p2 b.4p2 c.2p2 d.p2解析:-p=ya,-p=yb,=yayb=p2.因为的方向相同,所以=yayb=p2.故选d.答案:d12.若点p在抛物线y=3x2+4x+2上,a(0,-3)、b(-1,-1),使abp的面积最小,则p点的坐标是（ ）a. b. c.(-1,1) d.(0,2)解析:设点p到ab所在直线的距离为d,则sabp=abd=,当d取到最小值时,sabp的面积即为最小.设p(x,3x2+4x+2),直线ab的方程为2x+y+3=0. .当x=-1时,dmin=,此时y=1.所以点p的坐标为(-1,1)时,sabp的面积最小.答案:c二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.椭圆上的一点p到两焦点的距离的乘积为m,则当m取最大值时,点p的坐标是_.解析:m=|pf1|pf2|为定值,等号成立时|pf1|=|pf2|,p为短轴端点(3,0).答案:(3,0)14.已知圆c:(x+1)2+y2=8,定点a(1,0),m为圆c上一动点,点p是线段am的中点,点n在cm上,且满足npam,则点n的轨迹方程为_.解析:由已知,得|cm|=|nc|+|nm|=|nc|+|na|=|ac|=2,因此动点n的轨迹是以点a(1,0)、c(-1,0)为焦点、长轴长2a=的椭圆,其中a=,c=1,b2=a2-c2=1,故动点n的轨迹方程是(y0).答案:(y0)15.已知抛物线y2=4x的焦点为f,ab是过焦点f的弦,且ab的倾斜角为30,则oab的面积为_.解析:由y2=4x,得焦点坐标为f(1,0),直线ab的方程为.由得,由得(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=(4)2+42=64,|y1-y2|=8.saob=|of|y1-y2|=18=4.答案:416.p是双曲线(a0,b0)右支上一点,f为其右焦点,m是右准线l:x=与x轴的交点,若pmf=60,pfm=45,则双曲线的方程为_.解析:如图,作pn垂直于右准线于n点,有,在pmn中,d=|pm|sin30,|pf|=e|pm|sin30.在pmf中,由正弦定理.又右准线l:x=,即,又,双曲线方程为.答案:三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知椭圆(ab0)的中心在坐标原点o,一条准线的方程为x=4,过椭圆的左焦点f,且方向向量为a=(1,1)的直线l交椭圆于a、b两点,ab的中点为m.(1)求直线om的斜率(用a、b表示);(2)设直线ab与om的夹角为,当tan=7时,求椭圆的方程.解:(1)设a(x1,y1),b(x2,y2),a、b在椭圆上,.两式相减,得.,kom=.(2)直线ab与om的夹角为,且tan=7,由(1)知kab=1,kom=,.又椭圆中心在坐标原点o处,一条准线的方程是x=4,.在椭圆中,a2=b2+c2.联立,解得椭圆的方程为.18.(本小题满分12分)设f是抛物线g:x2=4y的焦点.(1)过点p(0,-4)作抛物线g的切线,求切线方程;(2)设a、b为抛物线g上异于原点的两点,且满足=0,延长af、bf分别交抛物线g于点c、d,求四边形abcd面积的最小值.解:(1)设切点,由y=知,抛物线g在q点处的切线斜率为,故所求切线方程为,即.因为点p(0,-4)在切线上,所以x02=16,x0=4.故切线斜率为.所以所求切线方程为y=2x-4.(2)设a(x1,y1),c(x2,y2),由题设知,直线ac的斜率k存在,由对称性,不妨设k0.因直线ac过焦点f(0,1),所以直线ac的方程为y=kx+1.点a、c的坐标满足方程组得x2-4kx-4=0,由根与系数的关系,知|ac|=4(1+k2).因为acbd,所以bd的斜率为.从而bd的方程为.同理可求得|bd|=41+()2=.所以s四边形abcd=|ac|bd| 32.当k=1时,等号成立.所以四边形abcd面积的最小值为32.19.(本小题满分12分)已知椭圆的左、右两个焦点为f1、f2,离心率为,又抛物线c2:y2=4mx(m0)与椭圆c1有公共焦点f2(1,0).(1)求椭圆和抛物线的方程;(2)设直线l经过椭圆的左焦点f1且与抛物线交于不同两点p、q,且满足,求实数的取值范围.解:(1)在椭圆中,c=1,所以,故椭圆方程为.抛物线中,所以p=2,故抛物线方程为y2=4x.(2)设直线l的方程为y=k(x+1)和抛物线方程联立,得消去y,整理,得k2x2+(2k2-4)x+k2=0.因为直线和抛物线有两个交点,所以k0,(2k2-4)2-4k40.解得-1k1且k0.设p(x1,y1),q(x2,y2),则x1x2=1.又,所以又y2=4x,由此得4x1=24x2,即x1=2x2.由x1x2=1,解得x1=,x2=.又,所以.又因为0k20且1.20.(本小题满分12分)已知双曲线c:(a0,b0)的两条渐近线分别为l1、l2,过双曲线的右焦点f作直线l,使l垂直l1于p点,且与双曲线交于点a.(1)当l1与l2的夹角为60,且双曲线的焦距为4时,求该双曲线的方程;(2)若双曲线的离心率e,时,求的取值范围.解:(1)l1与l2的夹角为60,或=tan60.a=b或b=a.又c=2,双曲线方程为.(2)不妨设f(c,0),直线l的方程为,则由,得点p的横坐标为.点p在双曲线c的右准线上.过点a作右准线的垂线并交右准线于点q,则=esinapq.又apq=pof,且tanpof=(o为坐标原点),sinapq=.而e2=1+,且e,.的取值范围是1,.21.(本小题满分12分)设直线l:y=k(x+1)与椭圆x2+3y2=a2(a0)相交于a、b两个不同的点,与x轴相交于点c,记o为坐标原点.(1)证明(2)若,求oab的面积取得最大值时的椭圆方程.(1)证明:依题意,直线l显然不平行于坐标轴,故y=k(x+1),可化为x=y-1(k0).将x=y-1代入x2+3y2=a2,消去x,得由直线l与椭圆相交于两个不同的点,得=,整理,得,即.(2)解:设a(x1,y1),b(x2,y2).由,得y1+y2=,由,得y1=-2y2,代入,得y2=.于是oab的面积.其中,上式取等号的条件是3k2=1,即.由,可得.将这两组值分别代入,均可解出a2=5.所以oab的面积取得最大值时椭圆的方程是x2+3y2=5.22.(本小题满分12分)(理)如图,设抛物线方程为x2=2py(p0),m为直线y=-2p上任意一点,过m引抛物线的切线,切点分别为a、b.(1)求证:a、m、b三点的横坐标成等差数列;(2)已知当m点的坐标为(2,-2p)时,|ab|=,求此时抛物线的方程;(3)是否存在点m,使得点c关于直线ab的对称点d在抛物线x2=2py(p0)上,其中,点c满足(o为坐标原点)?若存在,求出所有适合题意的点m的坐标;若不存在,请说明理由.(1)证明:由题意,设a(x1,),b(x2,),x1x2,m(x0,-2p).由x2=2py,得,则y=,所以kma=.因此直线ma的方程为y+2p=(x-x0),直线mb的方程为y+2p=(x-x0).所以,.由-,得,因此,即2x0=x1+x2.所以a、m、b三点的横坐标成等差数列.(2)解:由(1)知,当x0=2时,将其代入并整理,得x12-4x1-4p2=0,x22-4x2-4p2=0,所以x1、x2是方程x2-4x-4p2=0的两根.因此x1+x2=4,x1x2=-4p2.又,所以kab=.由弦长公式,得.又|ab|=4,所以p=1或p=2.因此所求抛物线方程为x2=2y或x2=4y.(3)解:存在.设d(x3,y3),由题意,得c(x1+x2,y1+y2),则cd的中点坐标为.设直线ab的方程为,由点q在直线ab上,并注意到点也在直线ab上,代入,得.若d(x3,y3)在抛物线上,则x32=2py3=2x0x3,因此x3=0或x3=2x0,即d(0,0)或d(2x0,).当x0=0时,则x1+x2=2x0=0,此时,点m(0,-2p)适合题意.当x00,对于d(0,0),此时,又,abcd,所以,即x12+x22=-4p2,矛盾.对于,因为c(2x0,),此时直线cd平行于y轴,又,所以直线ab与直线cd不垂直,与题设矛盾.所以x00时,不存在符合题意的m点.综上所述,仅存在一点m(0,-2p)适合题意.(文)如图,直线y= x与抛物线y=x2-4交于a、b两点,线段ab的垂直平分线与直线y=-5交于点q.(1)求点q的坐标;(2)当p为抛物线上位于线段ab下方(含点a、b)