2009年高考数学试题分类汇编-----导数.doc

2009 年高考数学试题分类汇编-导数（解析版） 1.（2009 全国卷理） 已知直线 y=x+1 与曲线yln()xa相切，则 的值为( b ) (a)1 (b)2 (c) -1 (d)-2 解:设切点 00 (,)p xy，则 0000 ln1,()yxayx,又 0 0 1 |1 x x y xa 000 10,12xayxa .故答案选 b 2.（2009 安徽卷理）设ab,函数 2 () ()yxaxb的图像可能是 解析： / ()(32)yxaxab，由 / 0y 得 2 , 3 ab xa x ，当xa时，y取极 大值 0，当 2 3 ab x 时y取极小值且极小值为负。故选 c。 或当xb时0y ，当xb时，0y 选 c 3.（2009 安徽卷理）已知函数( )f x在 r 上满足 2 ( )2 (2)88f xfxxx，则曲线 ( )yf x在点(1,(1)f处的切线方程是 （a）21yx （b）yx （c）32yx （d）23yx 解析：由 2 ( )2 (2)88f xfxxx得 2 (2)2 ( )(2)8(2)8fxf xxx， 即 2 2 ( )(2)44f xfxxx， 2 ( )f xx /( ) 2fxx，切线方程为 12(1)yx ，即210xy 选 a 4.（2009 安徽卷文）设，函数的图像可能是 【解析】可得 2 ,() ()0xa xbyxaxb为的两个零解. 当xa时,则( )0xbf x 当axb时,则( )0,f x 当xb时,则( )0.f x 选 c。 【答案】c 5.（2009 江西卷文）若存在过点(1,0)的直线与曲线 3 yx和 2 15 9 4 yaxx都相切， 则a等于 a1或 25 - 64 b1或 21 4 c 7 4 或 25 - 64 d 7 4 或7 答案：a 【解析】设过(1,0)的直线与 3 yx相切于点 3 00 (,)x x，所以切线方程为 32 000 3()yxxxx 即 23 00 32yx xx，又(1,0)在切线上，则 0 0x 或 0 3 2 x ， 当 0 0x 时，由0y 与 2 15 9 4 yaxx相切可得 25 64 a ， 当 0 3 2 x 时，由 2727 44 yx与 2 15 9 4 yaxx相切可得1a ，所以选a. 6.（2009 江西卷理）设函数 2 ( )( )f xg xx，曲线( )yg x在点(1, (1)g处的切线方程 为21yx，则曲线( )yf x在点(1,(1)f处切线的斜率为 a4 b 1 4 c2 d 1 2 答案：a 【解析】由已知(1)2 g ，而( )( )2fxg xx，所以(1)(1)2 14fg 故选 a 7.（2009 天津卷文）设函数 f(x)在 r 上的导函数为 f(x),且 2f(x)+xf(x)x 2 ,x 下面的不等式在 r 内恒成立的是 a 0)(xf b 0)(xf c xxf)( dxxf)( 【答案】a 【解析】由已知，首先令0x ，排除 b，d。然后结合已知条件排除 c,得到 a 【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用。通过分析解析式的特点，考 查了分析问题和解决问题的能力。 8.(2009 湖北卷理)设球的半径为时间 t 的函数 r t。若球的体积以均匀速度 c 增长，则球 的表面积的增长速度与球半径 a.成正比，比例系数为 c b. 成正比，比例系数为 2c c.成反比，比例系数为 c d. 成反比，比例系数为 2c 【答案】d 【解析】由题意可知球的体积为 3 4 ( )( ) 3 v tr t，则 2 ( )4( )( )cv tr t r t，由此可 得 4( ) ( )( ) c r t r t r t ，而球的表面积为 2 ( )4( )s tr t， 所以 2 ( )4( )8( )( )vs tr tr t r t 表 ， 即 22 8( )( )2 4( )( )( ) ( )( )( ) cc vr t r tr t r tr t r t r tr t 表 ，故选 d 9.（2009 全国卷理）曲线 21 x y x 在点 1,1处的切线方程为 a. 20xy b. 20xy c.450xy d. 450xy 解解： 111 22 2121 |1 (21)(21) xxx xx y xx , 故切线方程为1(1)yx ,即20xy 故选故选 b. 10.（2009 湖南卷文）若函数( )yf x的导函数在区间 , a b上是增函数， 则函数( )yf x在区间 , a b上的图象可能是【 a 】 ababa o x o x y ba o x y o x y b y a b c d 解: 因为函数( )yf x的导函数( )yfx在区间 , a b上是增函数，即在区间 , a b上 各点处的斜率k是递增的，由图易知选 a. 注意 c 中yk 为常数噢. 11.（2009 陕西卷文）设曲线 1* () n yxnn 在点（1，1）处的切线与 x 轴的交点的横坐 标为 n x,则 12n xxx的值为 (a) 1 n (b) 1 1n (c) 1 n n (d) 1 答案:b 解析: 对 1* ()(1) nn yxnnynx 求导得,令1x 得在点（1，1）处的切线的斜率 1kn,在点 （1，1）处的切线方程为1(1)(1)(1) nn yk xnx ,不妨设0y , 1 n nn x 则 12 12311 . 23411 n nn xxx nnn , 故选 b. 12.(2009 湖南卷理)设函数( )yf x在（，+）内有定义。对于给定的正数 k，定义 函数 ( ),( ) ( ) ,( ) k f xf xk fx k f xk 取函数( )f x= 1 2xe。若对任意的(,)x ，恒有( ) k fx=( )f x，则 ak 的最大值为 2 b. k 的最小值为 2 ck 的最大值为 1 d. k 的最小值为 1 【d】 【答案】：d 【解析】由( )10, x fxe 知0x ，所以(,0)x 时，( )0fx ，当 (0,)x时，( )0fx ，所以 max ( )(0)1,f xf即( )f x的值域是(,1，而要使 ( )( ) k fxf x在r上恒成立，结合条件分别取不同的k值，可得 d 符合，此时 ( )( ) k fxf x。故选 d 项。 13.（2009 天津卷理）设函数 1 ( )ln (0), 3 f xxx x则( )yf x a 在区间 1 ( ,1),(1, ) e e 内均有零点。 b 在区间 1 ( ,1),(1, ) e e 内均无零点。 c 在区间 1 ( ,1) e 内有零点，在区间(1, ) e内无零点。 d 在区间 1 ( ,1) e 内无零点，在区间(1, ) e内有零点。 【考点定位】本小考查导数的应用，基础题。 解析：由题得 x x x xf 3 31 3 1 )( ，令0)( xf得3 x；令0)( xf得 30 x；0)( xf得3 x，故知函数)(xf在区间)3 , 0(上为减函数，在区间 ) , 3 ( 为增函数，在点3 x处有极小值03ln1 ；又 01 3 1 ) 1 ( , 0 1 3 , 3 1 )1( ee f e eff，故选择 d。 14.（2009 福建卷文）定义在 r 上的偶函数 f x的部分图像如右图所示，则在2,0上， 下列函数中与 f x的单调性不同的是 a 2 1yx b. | 1yx c. 3 21,0 1,0 xx y xx d , ,0 x x exo y ex 解析解析 解析 根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，故可知求在2,0上单调 递减，注意到要与 f x的单调性不同，故所求的函数在2,0上应单调递增。而函数 2 1yx在,1上递减；函数1yx在,0时单调递减；函数 0, 1 0, 12 3 xx xx y在（ 0 , 上单调递减，理由如下 y=3x20(x1 ()讨论 f(x)的单调性; ()若当 x0 时，f(x)0 恒成立，求 a 的取值范围。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解析：本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关解析：本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关 键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值，由恒成键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值，由恒成 立条件得出不等式条件从而求出的范围。立条件得出不等式条件从而求出的范围。 解： （i）)2)(2(4)1 (2)( 2 axxaxaxxf w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由1a知，当2x时，0)( x f，故)(xf在区间)2 ,(是增函数； 当ax22时，0)( x f，故)(xf在区间)2 , 2(a是减函数； 当ax2时，0)( x f，故)(xf在区间),2(a是增函数。 综上，当1a时，)(xf在区间)2 ,(和),2(a是增函数，在区间)2 , 2(a是 减函数。 （ii）由（i）知，当0x时，)(xf在ax2或0x处取得最小值。 aaaaaaaf2424)2)(1 ()2( 3 1 )2( 23 aaa244 3 4 23 af24)0( 由假设知w.w.w.k.s.5.u.c.o.m , 0)0( , 0)2( 1 f af a 即 . 0 24 , 0)6)(3( 3 4 , 1 a aaa a 解得 11 时, 121a 当 x 变化时，( )fx与( )f x的变化情况如下表： x(,1 2 )a(1 2 , 1)a( 1,) ( )fx+ ( )f x单调递增单调递减单调递增 由此得，函数( )f x的单调增区间为(,1 2 )a和( 1,) ，单调减区间为(1 2 , 1)a。 当1a 时，1 21a 此时有( )0fx 恒成立，且仅在1x 处( )0fx ，故函数 ( )f x的单调增区间为 r 当1a 时，1 21a 同理可得，函数( )f x的单调增区间为(, 1) 和(1 2 ,)a， 单调减区间为( 1,1 2 )a w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 综上： 当1a 时，函数( )f x的单调增区间为(,1 2 )a和( 1,) ，单调减区间为 (1 2 , 1)a； 当1a 时，函数( )f x的单调增区间为 r； 当1a 时，函数( )f x的单调增区间为(, 1) 和(1 2 ,)a，单调减区间为 ( 1,1 2 )a. ()由1a 得 32 1 ( )3 3 f xxxx令 2 ( )230f xxx得 12 1,3xx 由（1）得( )f x增区间为(, 1) 和(3,)，单调减区间为( 1,3)，所以函数( )f x在处 12 1,3xx 取得极值，故 m（ 5 1, 3 ）n（3, 9） 。 观察( )f x的图象，有如下现象： 当 m 从-1（不含-1）变化到 3 时，线段 mp 的斜率与曲线( )f x在点 p 处切线的斜率 ( )f x之差 kmp-( )fm的值由正连续变为负。 线段 mp 与曲线是否有异于 h，p 的公共点与 kmp( )fm的 m 正负有着密切的关联； kmp( )fm=0 对应的位置可能是临界点，故推测：满足 kmp( )fm的 m 就是所求的 t 最小值，下面给出证明并确定的 t 最小值.曲线( )f x在点( ,( )p m f m处的切线斜率 2 ( )23fmmm； 线段 mp 的斜率 kmp 2 45 3 mm 当 kmp( )fm=0 时，解得12mm 或 直线 mp 的方程为 22 454 () 33 mmmm yx w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 令 22 454 ( )( )() 33 mmmm g xf xx 当2m 时， 2 ( )2g xxx在( 1,2)上只有一个零点0x ，可判断( )f x函数在 ( 1,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，又( 1)(2)0gg，所以( )g x在( 1,2)上没 有零点，即线段 mp 与曲线( )f x没有异于 m，p 的公共点。 当2,3m时， 2 4 (0)0 3 mm g . 2 (2)(2)0gm 所以存在0,2m使得( )0g 即当2,3,m时mp 与曲线( )f x有异于 m,p 的公共点w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 综上，t 的最小值为 2. （2）类似（1）于中的观察，可得 m 的取值范围为1,3 解法二： （1）同解法一. （2）由1a 得 32 1 ( )3 3 f xxxx ，令 2 ( )230fxxx，得 12 1,3xx 由（1）得的( )f x单调增区间为(, 1) 和(3,)，单调减区间为( 1,3)，所以函数在 处取得极值。故 m( 5 1, 3 ).n(3, 9) () 直线 mp 的方程为 22 454 . 33 mmmm yx 由 22 32 454 33 1 3 3 mmmm yx yxxx 得 3222 3(44)40xxmmxmm 线段 mp 与曲线( )f x有异于 m,p 的公共点等价于上述方程在(1,m)上有根,即函数 3222 ( )3(44)4g xxxmmxmm在(-1, m )上有零点. 因为函数( )g x为三次函数,所以( )g x至多有三个零点,两个极值点. 又( 1)( )0gg m.因此, ( )g x在( 1,)m上有零点等价于( )g x在( 1,)m内恰有一个极大值 点和一个极小值点,即 22 ( )36(44)0(1,)g xxxmmm 在内有两不相等的实数根. 等价于 2 22 22 3612440 3( 1)6(44)0 36(44)0 1 mm mm mmmm m （） 即 15 21,25 1 m mmm m 或解得 又因为13m ,所以 m 的取值范围为(2,3) 从而满足题设条件的 r 的最小值为 2. 42.（2009 辽宁卷文） （本小题满分 12 分） 设 2 ( )(1) x f xe axx，且曲线 yf（x）在 x1 处的切线与 x 轴平行。 （i）求 a 的值，并讨论 f（x）的单调性； （ii）证明：当0,f(cos )f(sin )2 2 时， 解：（） 2 ( )(121) x fxe axxax .有条件知， (1)0f，故3201aaa . 2 分 于是 2 ( )(2)(2)(1) xx fxexxexx . 故当(, 2)(1,)x 时，( )fx0； 当( 2,1)x 时，( )fx0. 从而( )f x在(, 2) ，(1,)单调减少，在( 2,1)单调增加. 6 分 （）由（）知( )f x在0,1单调增加，故( )f x在0,1的最大值为(1)fe， 最小值为(0)1f. 从而对任意 1 x， 2 x0,1，有 12 ()()12f xf xe . 10 分 而当0, 2 时，cos ,sin0,1. 从而 (cos )(sin )2ff 12 分 43.（2009 辽宁卷理） （本小题满分 12 分） 已知函数 f(x)= 2 1 x 2 ax+(a1)ln x，1a 。 （1）讨论函数( )f x的单调性； （2）证明：若5a ，则对任意 x1，x2 (0,)，x1x2，有 12 12 ()() 1 f xf x xx 。 解：(1)( )f x的定义域为(0,)。 2 11(1)(1) ( ) axaxaxxa fxxa xxx 2 分 （i）若11a 即2a ,则 2 (1) ( ) x fx x 故( )f x在(0,)单调增加。 (ii)若1 1a ,而1a ,故12a,则当(1,1)xa时， ( ) 0fx ; 当(0,1)xa及(1,)x时， ( ) 0fx 故( )f x在(1,1)a单调减少，在(0,1),(1,)a单调增加。 (iii)若11a ,即2a ,同理可得( )f x在(1,1)a单调减少，在(0,1),(1,)a单调增加. (ii)考虑函数 ( )( )g xf xx 2 1 (1)ln 2 xaxaxx 则 2 11 ( )(1)2(1)1 (1 1) aa g xxaxaa xx g 由于 11,证明对任意的 c,都有 m2: ()若 mk 对任意的 b、c 恒成立，试求 k 的最大值。 本小题主要考察函数、函数的导数和不等式等基础知识，考察综合运用数学知识进行推理 论证的能力和份额类讨论的思想（满分 14 分） （i）解： 2 ( )2fxxbxc ，由( )f x在1x 处有极值 4 3 可得 (1)120 14 (1) 33 fbc fbcbc 解得 1 , 1 b c 或 1 3 b c 若1,1bc ，则 22 ( )21(1)0fxxxx ，此时( )f x没有极值； 若1,3bc ，则 2 ( )23(1)(1)fxxxxx 当x变化时，( )f x，( )fx的变化情况如下表： x(, 3) 3( 3,1)1(1,) ( )fx 0+0 ( )f x a 极小值12a极大值 4 3 a 当1x 时，( )f x有极大值 4 3 ，故1b ，3c 即为所求。 （）证法 1： 22 ( ) |( )| | ()|g xfxxbbc 当| 1b 时，函数( )yfx的对称轴xb位于区间 1.1之外。 ( )fx在 1,1上的最值在两端点处取得 故m应是( 1)g 和(1)g中较大的一个 2(1)( 1) | 12| 1 2| |4 | 4,mggbcbcb 即2m 证法 2（反证法）：因为| 1b ，所以函数( )yfx的对称轴xb位于区间 1,1之外， ( )fx在 1,1上的最值在两端点处取得。 故m应是( 1)g 和(1)g中较大的一个 假设2m ，则 ( 1) | 1 2| 2 (1) | 12| 2 gbc gbc w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 将上述两式相加得： 4 | 1 2| 12| 4| 4bcbcb ，导致矛盾，2m （）解法 1： 22 ( ) |( )| | ()|g xfxxbbc （1）当| 1b 时，由（）可知2m ； （2）当| 1b 时，函数(yfx）的对称轴xb位于区间 1,1内， 此时max( 1), (1), ( )mggg b 由(1)( 1)4 ,ffb有 2 ( )( 1)( 1)0fbfb 若10,b 则(1)( 1)( ),( 1)max(1), ( )fffbggg b， 于是 2 1111 max |(1),|( )|(|(1)|( )|)|(1)( )|(1) 2222 mffbffbffbb 若01b，则( 1)(1)( ),fffb(1)max( 1), ( )ggg b 于是 2 1111 max |( 1)|,|( )|(|( 1)|( )|)|( 1)( )|(1) 2222 mffbffbffbb 综上，对任意的b、c都有 1 2 m 而当 1 0, 2 bc时， 2 1 ( ) 2 g xx 在区间 1,1上的最大值 1 2 m 故mk对任意的b、c恒成立的k的最大值为 1 2 。 解法 2： 22 ( ) |( )| | ()|g xfxxbbc （1）当| 1b 时，由（）可知2m ； （2）当| 1b 时，函数( )yfx的对称轴xb位于区间 1,1内， 此时max( 1), (1), ( )mggg b 2 4( 1)(1)2 ( ) | 1 2| 12| 2|mggg hbcbcbc 22 | 1 2( 12)2()| |22| 2bcbcbcb ，即 1 2 m 下同解法 1 49.（2009 宁夏海南卷文） （本小题满分 12 分） 已知函数 3223 ( )39f xxaxa xa. (1) 设1a ，求函数 f x的极值； (2) 若 1 4 a ，且当1,4xa时，)( xf12a 恒成立，试确定a的取值范围. 请考生在第（22） 、 （23） 、 （24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题 计分。作答时用 2b 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 解： （）当 a=1 时，对函数( )f x求导数，得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2 ( )369.fxxx 令 12 ( )0,1,3.fxxx 解得 列表讨论 ( ),( )f xfx的变化情况： x(, 1) 1（-1，3）3(3,) ( ) fx +0 0+ ( )f x a 极大值 6 a 极小值-26 a 所以，( )f x的极大值是( 1)6f ，极小值是(3)26.f （） 22 ( )369fxxaxa的图像是一条开口向上的抛物线，关于 x=a 对称. 若 1 1,( ) 4 afx则在 1, 4a上是增函数，从而 ( ) fx 在 1, 4a上的最小值是 2 (1)369,faa最大值是 2 (4 )15.faa 由 22 |( )| 12 ,1236912 ,fxaaxaxaa得于是有 22 (1)36912 ,(4 )1512 .faaafaaa 且 由 14 (1)121,(4 )120. 35 faafaaa 得由得 所以 1141 4 ( ,1,10, ,( , . 4354 5 aa即 若 a1,则 2 |( )| 1212 .1,4 |( )| 12faaaxafxa故当时不恒成立. 所以使 |( )| 12 (1,4 )fxa xa恒成立的 a 的取值范围是 1 4 ( , . 4 5 49.(2009 湖南卷理)（本小题满分 13 分） 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需要建两端桥墩之间的 桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为 256 万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥 面工程费用为(2)x x万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他 因素，记余下工程的费用为y万元。 （）试写出y关于x的函数关系式； （）当m=640 米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？ 解 （）设需要新建n个桥墩，(1)1 m nxm x ，即n= 所以 (2) mm xx x xx y=f (x)=256n+(n+1)(2+)x=256(-1)+ 256 2256. x m xm x （） 由（）知， 2 33 22 2 2561 ( )(512). 22 mm fxmxx x x 令( )0fx ，得 3 2 512x ，所以x=64 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当 00. ( )f x在区间（64，640）内为增函数， 所以( )f x在x=64 处取得最小值，此时， 640 119. 64 m n x 故需新建 9 个桥墩才能使y最小。 50.（2009 天津卷理） （本小题满分（本小题满分 12 分）分） 已知函数 22 ( )(23 )(), x f xxaxaa exr其中ar （1）当0a 时，求曲线( )(1,(1)yf xf在点处的切线的斜率； （2）当 2 3 a 时，求函数( )f x的单调区间与极值。 本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础 知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分 12 分。 （i）解：.3) 1 ( )2()( )(0 22 efexxxfexxfa xx ，故，时，当 .3)1 (, 1 ()(efxfy处的切线的斜率为在点所以曲线 （ii）.42)2()( 22x eaaxaxxf解： . 2 2 3 2 . 2 20)( aaaaxaxxf知，由，或，解得令 以下分两种情况讨论。 （1）a若 3 2 ，则a22a.当x变化时，)()( xfxf，的变化情况如下表： xa2，a222aa，2a ，2a +0 0+ 极大值 极小值 .)22()2()2()(内是减函数，内是增函数，在，在所以aaaaxf .3)2()2(2)( 2a aeafafaxxf ，且处取得极大值在函数 .)34()2()2(2)( 2 a eaafafaxxf，且处取得极小值在函数 （2）a若 3 2 ，则a22a，当x变化时，)()( xfxf，的变化情况如下表： x2a，2aaa22 ，a2，a2 +0 0+ 极大值 极小值 内是减函数。，内是增函数，在，在所以)22()2()2()(aaaaxf .)34()2()2(2)( 2 a eaafafaxxf，且处取得极大值在函数 .3)2()2(2)( 2a aeafafaxxf ，且处取得极小值在函数 51.（2009 四川卷理）（本小题满分 12 分） 已知0,1aa且函数( )log (1) x a f xa。 （i）求函数( )f x的定义域，并判断( )f x的单调性； （ii）若 ( ) *, lim; f n n n a nn aa 求 （iii）当ae（e为自然对数的底数）时，设 ( )2 ( )(1)(1) f x h xexm，若函数