2012年全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准.doc

2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1已知，那么的大小关系是 （ ）a. b. c. d.【答】c.因为，所以，故.又 ，而，所以，故.因此.2方程的整数解的组数为 （ ）a3. b4. c5. d6.【答】b.方程即，显然必须是偶数，所以可设，则原方程变为，它的整数解为从而可求得原方程的整数解为，共4组.3已知正方形abcd的边长为1，e为bc边的延长线上一点，ce1，连接ae，与cd交于点f，连接bf并延长与线段de交于点g，则bg的长为 （ ）a b c d【答】d.过点c作cp/bg，交de于点p.因为bcce1，所以cp是beg的中位线，所以p为eg的中点.又因为adce1，ad/ce，所以adfecf，所以cfdf，又cp/fg，所以fg是dcp的中位线，所以g为dp的中点.因此dggppede.连接bd，易知bdcedc45，所以bde90.又bd，所以bg.2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第1页（共7页）4已知实数满足，则的最小值为 （ ）a. b0. c1. d.【答】b.因为，所以，从而，故，因此，即.因此的最小值为0，当或时取得.5若方程的两个不相等的实数根满足，则实数的所有可能的值之和为 （ ）a0. b. c. d.【答】 b.由一元二次方程的根与系数的关系可得，所以，.又由得，所以，所以，所以.代入检验可知：均满足题意，不满足题意.因此，实数的所有可能的值之和为.6由1，2，3，4这四个数字组成四位数（数字可重复使用），要求满足.这样的四位数共有 （ ）a36个. b40个. c44个. d48个.【答】c.根据使用的不同数字的个数分类考虑：（1）只用1个数字，组成的四位数可以是1111，2222，3333，4444，共有4个.（2）使用2个不同的数字，使用的数字有6种可能（1、2，1、3，1、4，2、3，2、4，3、4）.如果使用的数字是1、2，组成的四位数可以是1122，1221，2112，2211，共有4个；同样地，如果使用的数字是另外5种情况，组成的四位数也各有4个.因此，这样的四位数共有6424个.（3）使用3个不同的数字，只能是1、2、2、3或2、3、3、4，组成的四位数可以是1232，2123，2321，3212，2343，3234，3432，4323，共有8个.2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第2页（共7页）（4）使用4个不同的数字1，2，3，4，组成的四位数可以是1243，1342，2134，2431，3124，3421，4213，4312，共有8个.因此，满足要求的四位数共有4248844个.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1已知互不相等的实数满足，则_【答】 .由得，代入得，整理得 又由可得，代入式得，即，又，所以，所以.验证可知：时；时.因此，.2使得是完全平方数的整数的个数为 【答】 1设（其中为正整数），则，显然为奇数，设（其中是正整数），则，即.显然，此时和互质，所以或或解得.因此，满足要求的整数只有1个.3在abc中，已知abac，a40，p为ab上一点，acp20，则 【答】 .设d为bc的中点，在abc外作cae20，则bae60.作ceae，pfae，则易证aceacd，所以cecdbc.又pfpabaepa60ap，pfce，所以apbc，因此.4已知实数满足，则 【答】 . 2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第3页（共7页）因为，所以.同理可得，.结合可得，所以.结合，可得.因此，.实际上，满足条件的可以分别为.第二试 （a）一、（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积.解 设直角三角形的三边长分别为（），则.显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长，下面先求的值.由及得，所以.由及得，所以.又因为为整数，所以. 5分根据勾股定理可得，把代入，化简得，所以， 10分因为均为整数且，所以只可能是解得15分所以，直角三角形的斜边长，三角形的外接圆的面积为. 20分二（本题满分25分）如图，pa为o的切线，pbc为o的割线，adop于点d.证明：.证明：连接oa，ob，oc. oaap，adop，由射影定理可得，. 5分2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第4页（共7页）又由切割线定理可得，d、b、c、o四点共圆，10分pdbpcoobcodc，pbdcod，pbdcod， 20分，. 25分三（本题满分25分）已知抛物线的顶点为p，与轴的正半轴交于a、b（）两点，与轴交于点c，pa是abc的外接圆的切线.设m，若am/bc，求抛物线的解析式.解 易求得点p，点c.设abc的外接圆的圆心为d，则点p和点d都在线段ab的垂直平分线上，设点d的坐标为.显然，是一元二次方程的两根，所以，又ab的中点e的坐标为，所以ae.5分因为pa为d的切线，所以paad，又aepd，所以由射影定理可得，即，又易知，所以可得. 10分又由dadc得，即，把代入后可解得（另一解舍去）. 15分又因为am/bc，所以，即. 20分把代入解得（另一解舍去）.因此，抛物线的解析式为. 25分第二试 （b）一（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积.解 设直角三角形的三边长分别为（），则.显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长，下面先求的值.由及得，所以.由及得，所以.又因为为整数，所以. 5分根据勾股定理可得，把代入，化简得，所以2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第5页（共7页）， 10分因为均为整数且，所以只可能是或解得或 15分当时，三角形的外接圆的面积为；当时，三角形的外接圆的面积为. 20分二（本题满分25分）如图，pa为o的切线，pbc为o的割线，adop于点d，adc的外接圆与bc的另一个交点为e.证明：baeacb. 证明：连接oa，ob，oc，bd.oaap，adop，由射影定理可得，. 5分又由切割线定理可得，d、b、c、o四点共圆，10分pdbpcoobcodc，pbdcod，pbdcod， ，15分，. 又bdabdp90odc90adc，bdaadc， 20分badacd，ab是adc的外接圆的切线，baeacb. 25分三（本题满分25分）题目和解答与（a）卷第三题相同.第二试 （c）一（本题满分20分）题目和解答与（b）卷第一题相同. 二（本题满分25分）题目和解答与（b）卷第二题相同.2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第6页（共7页）三（本题满分25分）已知抛物线的顶点为p，与轴的正半轴交于a、b（）两点，与轴交于点c，pa是abc的外接圆的切线.将抛物线向左平移个单位，得到的新抛物线与原抛物线交于点q，且qboobc.求抛物线的解析式.解 抛物线的方程即，所以点p，点c.设abc的外接圆的圆心为d，则点p和点d都在线段ab的垂直平分线上，设点d的坐标为.显然，是一元二次方程的两根，所以，又ab的中点e的坐标为，所以ae. 因为pa为d的切线，所以paad，又aepd，所以由射影定理可得，即，又易知，所以可得. 5分又由dadc得，即，把代入