2011年高考数学广东卷(理科)-带答案.doc

2011年高考数学广东卷(理科) 参考公式：锥体的体积公式,其中为锥体的底面面积,为锥体的高.球的表面积公式, 其中为球的半径如果事件、互斥，那么一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1. 已知集合，, 则 a b c d 2. 若复数ii是实数i是虚数单位，则实数的值为 a b c d3. 已知向量,且，则的值为 a b c d 4. 函数在区间上 a是减函数 b是增函数 c有极小值 d有极大值开始 3kk1输出k ,n 结束是否 输入5. 阅读图1的程序框图. 若输入, 则输出的值为. a b c d 6. “” 是“”成立的 a充分不必要条件 b. 必要不充分条件 c. 充要条件 d. 既不充分也不必要条件 7. 将18个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3所学校, 要求每校 至少有一个名额且各校分配的名额互不相等, 则不同的分配方法种数为 a96 b114 c128 d136 图1 8. 如图2所示,已知正方体的棱长为2, 长 为2的线段的一个端点在棱上运动, 另一端点 在正方形内运动, 则的中点的轨迹的面积为 a b c d 图2二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.（一）必做题（913题）9.为了了解某地居民月均用电的基本情况, 抽 取出该地区若干户居民的用电数据, 得到频 率分布直方图如图3所示, 若月均用电量在 区间上共有150户, 则月均用电 量在区间上的居民共有 户. 10. 以抛物线上的一点为圆心作圆，若该圆经过抛物线的顶点和焦点， 那么该圆的方程为 . 11. 已知数列是等差数列, 若, 则该数列前11项的和为 .12. 的三个内角、所对边的长分别为、，已知 , 则的值为 .13. 某所学校计划招聘男教师名,女教师名, 和须满足约束条件 则该校招聘的教师最多是 名. （二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题） 14. (几何证明选讲选做题) 如图4, 是圆的切线, 切点为, 点、在圆上，则圆的面积为 . 15. (坐标系与参数方程选讲选做题) 在极坐标系中，若过点且与 极轴垂直的直线交曲线于、两点，则 . 图4三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题满分12分） 已知函数(r).(1) 当取什么值时,函数取得最大值,并求其最大值;(2) 若为锐角，且，求的值. 17.（本小题满分12分） 某企业生产的一批产品中有一、二、三等品及次品共四个等级，1件不同等级产品的利润（单位：元）如表1，从这批产品中随机抽取出1件产品，该件产品为不同等级的概率如表2. 若从这批产品中随机抽取出的1件产品的平均利润(即数学期望)为元.等级一等品二等品三等品次品 等级一等品二等品三等品次品利润 表1 表2 (1) 求的值； (2) 从这批产品中随机取出3件产品，求这3件产品的总利润不低于17元的概率.18.（本小题满分14分） 如图5，在三棱柱中，侧棱底面,为的中点, . (1) 求证：平面； (2) 若四棱锥的体积为, 求二面角的正切值. 图519.（本小题满分14分） 已知直线上有一个动点,过点作直线垂直于轴,动点在上,且满足 (为坐标原点),记点的轨迹为.(1) 求曲线的方程；(2) 若直线是曲线的一条切线, 当点到直线的距离最短时,求直线的方程. 20.（本小题满分14分） 已知函数满足,对于任意r都有,且 ,令.(1) 求函数的表达式；(2) 求函数的单调区间；(3) 研究函数在区间上的零点个数.21.（本小题满分14分） 已知函数的定义域为r, 且对于任意r,存在正实数,使得 都成立.(1) 若,求的取值范围；(2) 当时，数列满足，. 证明：； 令，证明：.参考答案说明：1参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数 2对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算共8小题，每小题5分，满分40分.题号12345678答案acbcbabd 二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分其中1415题是选做题，考生只能选做一题说明：第10小题写对一个答案给3分. 9. 10. 11. 33 12. 13. 10 14. 15. 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16（本小题满分12分）(本小题主要考查三角函数性质, 同角三角函数的基本关系、两倍角公式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力) (1) 解: 1分 2分 . 3分 当,即z时,函数取得最大值,其值为. 5分(2)解法1:, . 6分 . 7分 为锐角，即, . . 8分 . 9分 . 10分 . . 或(不合题意,舍去) 11分 . 12分解法2: , . . 7分 . 8分 为锐角，即, . 9分 . 10分 . 12分解法3:, . . 7分 为锐角，即, . . 8分 9分 10分 . 12分17（本小题满分12分）(本小题主要考查数学期望、概率等知识, 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)（1）解：设1件产品的利润为随机变量，依题意得的分布列为： 2分 ,即. 3分 , 即, 4分 解得. . 6分(2)解：为了使所取出的3件产品的总利润不低于17元，则这3件产品可以有两种取法：3件都 是一等品或2件一等品，1件二等品. 8分 故所求的概率c. 12分 18. （本小题满分14分）(本小题主要考查空间线面关系、二面角的平面角、锥体的体积等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)（1）证明: 连接,设与相交于点,连接, 四边形是平行四边形,点为的中点. 为的中点，为的中位线, . 2分平面,平面,平面. 4分(2)解: 依题意知， 平面,平面, 平面平面，且平面平面.作，垂足为，则平面， 6分设，在rt中，四棱锥的体积 . 8分依题意得，即. 9分(以下求二面角的正切值提供两种解法)解法1:,平面，平面，平面.取的中点，连接，则,且.平面.作，垂足为，连接，由于，且，平面.平面,.为二面角的平面角. 12分由rtrt,得,得,在rt中, .二面角的正切值为. 14分解法2: ,平面，平面， 平面.以点为坐标原点,分别以,所在直线为轴, 轴和轴,建立空间直角坐标系. 则,. , 设平面的法向量为, 由及,得 令,得. 故平面的一个法向量为, 11分 又平面的一个法向量为, ,. 12分 ,. 13分 ,. 二面角的正切值为. 14分19（本小题满分14分）(本小题主要考查求曲线的轨迹方程、点到直线的距离、曲线的切线等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)(1) 解:设点的坐标为,则点的坐标为. , . 当时,得,化简得. 2分当时, 、三点共线，不符合题意，故.曲线的方程为. 4分(2) 解法1: 直线与曲线相切,直线的斜率存在. 设直线的方程为, 5分 由 得. 直线与曲线相切, ,即. 6分点到直线的距离 7分 8分 9分 . 10分 当且仅当，即时，等号成立.此时. 12分直线的方程为或. 14分 解法2：由，得， 5分 直线与曲线相切, 设切点的坐标为，其中，则直线的方程为：，化简得. 6分点到直线的距离 7分 8分 9分 . 10分 当且仅当，即时，等号成立. 12分直线的方程为或. 14分 解法3：由，得， 5分 直线与曲线相切, 设切点的坐标为，其中，则直线的方程为：，化简得. 6分点到直线的距离 7分 8分 9分 . 10分 当且仅当，即时，等号成立,此时. 12分直线的方程为或. 14分20（本小题满分14分）(本小题主要考查二次函数、函数的性质、函数的零点、分段函数等知识, 考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识)(1) 解：，. 1分 对于任意r都有, 函数的对称轴为，即，得. 2分 又，即对于任意r都成立， ,且， 4分 (2) 解： 5分 当时，函数的对称轴为，若，即，函数在上单调递增； 6分若，即，函数在上单调递增，在上单调递减 7分 当时，函数的对称轴为，则函数在上单调递增，在上单调递减 8分综上所述，当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为； 9分当时，函数单调递增区间为和，单调递减区间为和 10分 (3)解： 当时，由(2)知函数在区间上单调递增，又，故函数在区间上只有一个零点 11分 当时，则，而， （）若，由于， 且， 此时，函数在区间上只有一个零点； 12分（）若，由于且，此时，函数在区间 上有两个不同的零点 13分 综上所述，当时，函数在区间上只有一个零点； 当时，函数在区间上有两个不同的零点 14分2