2012届高三数学第二轮复习(空间位置关系与证明).doc

空间位置关系与证明 高考要考什么一 线与线的位置关系:平行、相交、异面；线与面的位置关系:平行、相交、线在面内；面与面的位置关系:平行、相交； 二转化思想： ；高考将考什么【范例1】（07天津）如图，在四棱锥中，底面，是的中点（）证明；（）证明平面；（）求二面角的大小（）证明：在四棱锥中，因底面，平面，故，平面而平面，（）证明：由，可得是的中点，由（）知，且，所以平面而平面，底面在底面内的射影是，又，综上得平面（）解法一：过点作，垂足为，连结则（）知，平面，在平面内的射影是，则因此是二面角的平面角由已知，得设，可得在中，则在中，解法二：由题设底面，平面，则平面平面，交线为过点作，垂足为，故平面过点作，垂足为，连结，故因此是二面角的平面角由已知，可得，设，可得，于是，在中，所以二面角的大小是所以二面角的大小是m变式：如图，在五面体中，点是矩形的对角线的交点，面是等边三角形，棱（1）证明/平面；（2）设，证明平面证明：（）取cd中点m，连结om.在矩形abcd中，又，则，连结em，于是四边形efom为平行四边形. 又平面cde， em平面cde， fo平面cde（）证明：连结fm，由（）和已知条件，在等边cde中，且.因此平行四边形efom为菱形，从而eofm而fmcd=m，cd平面eom，从而cdeo. 而，所以eo平面cdf. abcd【点晴】本小题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识，注意线面平行和线面垂直判定定理的使用，考查空间想象能力和推理论证能力。【范例2】（07安徽）如图，在六面体中，四边形是边长为2的正方形，四边形是边长为1的正方形，平面，平面，（）求证：与共面，与共面（）求证：平面平面；（）求二面角的大小（用反三角函数值表示）证明：以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图，则有（）证明：abcd与平行，与平行，于是与共面，与共面（）证明：，与是平面内的两条相交直线平面又平面过平面平面（）解：设为平面的法向量，于是，取，则，设为平面的法向量，于是，取，则，二面角的大小为解法2（综合法）：（）证明：平面，平面abcd，平面平面于是，设分别为的中点，连结，有，于是由，得，故，与共面过点作平面于点，则，连结，于是，所以点在上，故与共面（）证明：平面，又（正方形的对角线互相垂直），与是平面内的两条相交直线，平面又平面过，平面平面（）解：直线是直线在平面上的射影，根据三垂线定理，有过点在平面内作于，连结，则平面，于是，所以，是二面角的一个平面角根据勾股定理，有，有，二面角的大小为变式（07江苏）如图，已知是棱长为的正方体，点在上，点在上，且（1）求证：四点共面；（4分）（2）若点在上，点在上，垂足为，求证：平面；（4分）（3）用表示截面和侧面所成的锐二面角的大小，求证明：（1）建立如图所示的坐标系，则，所以，故，共面又它们有公共点，所以四点共面（2）如图，设，则，而，由题设得，得因为，有，又，所以，从而，故平面（3）设向量截面，于是，而，得，解得，所以又平面，所以和的夹角等于或（为锐角）于是故【范例3】如图，在长方体ac1中，ad=aa1=1，ab=2，点e在棱ab上移动.（1）证明：d1ea1d；（2）当e为ab的中点时，求点e到面acd1的距离；（3）ae等于何值时，二面角d1ecd的大小为.解析：法1（1）ae面aa1dd1，a1dad1，a1dd1e（2）设点e到面acd1的距离为h，在acd1中，ac=cd1=，ad1=，故（3）过d作dhce于h，连d1h、de，则d1hce， dhd1为二面角d1ecd的平面角. 设ae=x，则be=2x法2：以d为坐标原点，直线da、dc、dd1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，设ae=x，则a1(1，0，1)，d1(0，0，1)，e(1，x，0)，a(1，0，0), c(0，2，0).（1）（2）因为e为ab的中点，则e（1，1，0），从而，设平面acd1的法向量为，则也即，得，从而，所以点e到平面ad1c的距离为（3）设平面d1ec的法向量，由 令b=1, c=2, a=2x，依题意（不合，舍去）， .ae=时，二面角d1ecd的大小为.变式：如图，四棱锥pabcd中，底面abcd 为矩形，ab=8，ad=4，侧面pad为等边三角形，并且与底面所成二面角为60.（）求四棱锥pabcd的体积；（）证明pabd. 解析：（）如图，取ad的中点e，连结pe，则pead.作po平面在abcd，垂足为o，连结oe.根据三垂线定理的逆定理得oead，所以peo为侧面pad与底面所成的二面角的平面角，由已知条件可知peo=60，pe=6，所以po=3，四棱锥pabcd的体积vpabcd=（）法1 如图，以o为原点建立空间直角坐标系.通过计算可得p(0，0，3)，a(2，3，0)，b(2，5，0)，d(2，3，0) 所以因为 所以pabd. 法2：连结ao，延长ao交bd于点f.通过计算可得eo=3，ae=2，又知ad=4，ab=8，得所以rtaeortbad.得eao=abd. 所以eao+adf=90 所以 afbd.因为 直线af为直线pa在平面abcd