三角函数经典题易错题选讲.doc

例1、若，则是第 象限角。例2、已知一扇形的周长为，当扇形的中心角为 弧度时，它有最大面积.例3、函数的值域是 例4、角的终边上有一点，则的值为 例5、若是第二象限角，试分别确定的终边所在的位置例6、化简 例7、若，且，求的取值范围例8、函数，若对一切恒成立，求的取值范围例9、设二次函数，已知不论为任何实数，恒有和，（1） 求证：（2） 求证：（3） 若函数的最大值为8，求的值。例10、已知函数=；（1） 当时，求的单调区间；（2） 当且时，的值域是，求的值。例11、已知函数（）将函数化简成（，）的形式；（）求函数的值域.本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力.（满分12分）解：（）（）由得在上为减函数，在上为增函数，又（当），即故g(x)的值域为三角函数的值域或最值常见的三角函数最值的基本类型有：（1）y=asinx+b（或y=acosx+b）型，利用，即可求解，此时必须注意字母a的符号对最值的影响。（2）y=asinx+bcosx型，引入辅助角，化为y=sin（x+）,利用函数即可求解。y=asinx+bsinxcosx+mcosx+n型亦可以化为此类。（3）y=asinx+bsinx+c（或y=acosx+bcosx+c），型，可令t=sinx（t=cosx）,-1t1,化归为闭区间上二次函数的最值问题。（4）y=（或y=）型，解出sinx（或cosx）,利用去解；或用分离常数的方法去解决。（5）y=（y=）型，可化归为sin（x+）g（y）去处理；或用万能公式换元后用判别式去处理；当a=c时，还可利用数形结合的方法去处理上。（6）对于含有sinxcosx,sinxcosx的函数的最值问题，常用的方法是令sinxcosx=t,将sinxcosx转化为t的函数关系式，从而化为二次函数的最值问题。一、利用三角函数的有界性求解这类问题，首先利用有关三角函数公式化为的形式在化简过程中常常用到公式：例1：已知,f（）=sin(cos)的最大值为a,最小值为b，g()=cos(sin)的最大值为c,最小值为d,则a,b,c,d的大小顺序为 。例2 求函数的值域。分析：原函数的解析式中只含有cosx的一次式，所以可反解出cosx，再利用余弦函数的有界性求出y的取值范围。解：由又因所以。解后反思：对本题也可先将函数式变为，所以知。（2）可将函数化为的形式求解的问题，形如或者形如的函数适用。例3 求函数的值域。分析：此函数的解析式与上例不同，分式中的分子含有cosx的一次式，而分母是含sinx的一次式，不能直接解出cosx或sinx，通常是化作求解。解法1：由得所以所以因为所以，由此解得所以函数的值域为1，1解后反思：对此类问题也可通过几何方法来求解，现介绍如下：解法2：由，设点p（sinx，cosx），q（2，0），则可看作是单位圆上的动点p与点q连线的斜率，即。所以。所以函数的值域为1，1导数在研究有关三角函数的实际问题中的应用 对数学应用意识的考察是高考数学命题的一个重要方面，要求学生能够运用所学的数学知识、思想和方法，构造数学模型，将实际问题转化成数学问题，以及转化以后如何综合运用学科内知识解决数学问题。而三角函数的应用题考查也是高考命题的热点之一。由于导数为我们研究函数提供了一个新的方法，在导数和三角的交汇点处命题将是高考命题的一个方向。 以下通过几个例子来谈一谈。aaa例1. 如图所示的等腰梯形是一个简易水槽的横断面，已知水槽的最大流量与横断面的面积成正比，比例系数为().（）试将水槽的最大流量表示成关于函数；（）求当多大时，水槽的最大流量最大.解析：（1）由题意其中。（2）令 又因为，而在上递减，当=60时水槽的流量最大。点评：导数为求函数的最值，单调性，极值等提供了新的方法，在解题的时候要注意这一方法的应用。随着高考命题改革的不断深入，高考命题强调知识之间的交叉、渗透和综合。从学科的整体高度考虑问题，在知识网络的交汇点处设计试题，是命题的一种趋势，我们应当研究此类试题，掌握其解法，不断提高解题能力。abcdefb1类题.1.如图,矩形纸片的边24,25,点、分别在边与上.现将纸片的右下角沿翻折,使得顶点翻折后的新位置恰好落在边上.设,关于的函数为,试求: (1)函数的解析式；(2)函数的定义域； (3)的最小值. 解：(1)设,则.由于,则,即.而,所以,解得 . 故.(2)因为,故当点e与点a重合时, =1.当点e向右运动时,be长度变小,为保持点b1在边ad上,则点f要向上运动,从而ba的长度变大,则就变小,当点f与点c重合时, 取得最小值.又当点f与点c重合时,有,即,解之得或(舍). 所以,又是锐角,所以.综上,函数的定义域为.(3)记,因为,所以函数上单调递减,则当时,取得最大值为.从而的最小值为.例2. (2008江苏高考17)某地有三家工厂，分别位于矩形abcd的顶点a，b，及cd的中点p处，已知km, ,为了处理三家工厂的污水，现要在矩形abcd的区域上（含边界），且a，b与等距离的一点o处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道ao，bo，op，设排污管道的总长为ykm。（i）按下列要求写出函数关系式： 设，将表示成的函数关系式； 设，将表示成的函数关系式。（ii）请你选用（i）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排水管道总长度最短。解析：（i）由条件可知pq垂直平分ab，则故，又，所以。，则，所以，所以所求的函数关系式为。（ii） 选择函数模型。令得，又，所以。当时，是的减函数；时，是的增函数。所以当时。当p位于线段ab的中垂线上且距离ab边处。点评：本题第二小问中若选用函数模型则，令=0则，即，故当时三条排水管道总长度最短。本题能体现数学应用，关注社会生活。以污水处理为背景，体现试卷设计问题背景的公平性，对推动数学教学中关注身边的数学起到良好的导向。类题.1. （第1题） 如图，是沿太湖南北方向道路,为太湖中观光岛屿, 为停车场，km某旅游团游览完岛屿后，乘游船回停车场q,已知游船以km/h的速度沿方位角的方向行驶，游船离开观光岛屿3分钟后，因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲为了及时赶到停车地点与旅游团会合，立即决定租用小船先到达湖滨大道m处，然后乘出租汽车到点q(设游客甲到达湖滨大道后能立即乘到出租车)假设游客甲乘小船行驶的方位角是，出租汽车的速度为66km/h()设，问小船的速度为多少km/h时，游客甲才能和游船同时到达点q；()设小船速度为10km/h，请你替该游客设计小船行驶的方位角，当角余弦值的大小是多少时，游客甲能按计划以最短时间到达解：() 如图，作,为垂足,，在中， (km), =(km)在中，(km)