中考总复习专题4---一元二次函数的性质与应用及锐角三角函数(师用).doc

中考总复习专题4 二次函数的性质与运用及锐角三角函数一填空题：1（2010 湖南株洲）已知二次函数（为常数），当取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”下图分别是当，时二次函数的图象.它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是 .【答案】2（2010山东泰安）将y=2x2-12x-12变为y=a（x-m）2+n的形式，则mn= .【答案】-903（2010江苏 镇江）已知实数的最大值为 .【答案】44（2010安徽蚌埠）已知抛物线经过点a(4,0)。设点c（1，-3），请在抛物线的对称轴上确定一点d,使得的值最大，则d点的坐标为。 【答案】2,-65（2010山东日照）如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为a（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c0的解集是 .【答案】1x36（2010 云南玉溪）如图7是二次函数在平面直角坐标系中的图象，根据图形判断 0； +0； 2-0； 2+84中正确的是（填写序号） 图7【答案】 、7（2010吉林长春）如图，抛物线交x轴于点g、f，交y轴于点d，在x轴上方的抛物线上有两点b、e，它们关于y轴对称，点g、b在y轴左侧。baog于点a，bcod于点c。四边形oabc与四边形odef的面积分别为6和10，则abg与bcd的面积之和为 。【答案】48（2010 浙江义乌）（1）将抛物线y12x2向右平移2个单位，得到抛物线y2的图象，则y2= ； （2）如图，p是抛物线y2对称轴上的一个动点，直线xt平行于y轴，分别与直线yx、抛物线y2交于点a、b若abp是以点a或点b为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t的值，则t pyx【答案】（1）2(x2)2 或 （2）3、1、9（2010甘肃兰州） 如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 米.【答案】10（2010 四川成都）如图，在中，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合）如果、分别从、同时出发，那么经过_秒，四边形的面积最小【答案】311（2010 内蒙古包头）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm2【答案】或12（2010青海西宁）小汽车刹车距离（m）与速度（km/h）之间的函数关系式为，一辆小汽车速度为100km/h，在前方80m处停放一辆故障车，此时刹车 有危险（填“会”或“不会”）. 【答案】不会13（2010云南昭通）某种火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式h=-5t2+150t+10表示经过_s，火箭达到它的最高点【答案】15二解答题：1（2010 重庆）已知：如图，在rt中，点为边上一点，且，求周长（结果保留根号）20题图【答案】解：在rt中， ，在rt中，的周长2（2010年上海）如图9，在rtabc中，acb90.半径为1的圆a与边ab相交于点d，与边ac相交于点e，连结de并延长，与线段bc的延长线交于点p.（1）当b30时，连结ap，若aep与bdp相似，求ce的长；（2）若ce=2，bd=bc，求bpd的正切值；（3）若，设ce=x，abc的周长为y，求y关于x的函数关系式.图9 图10(备用) 图11(备用)【答案】解：（1）如图1，acb=90, b=30,bac=60,ad=ae=1ade为等边三角形，ade=aed=60,bde=aep=120,cep=60,epc=30=b,bdp为等腰三角形，ape与bpd相似，ape为等腰三角形，ae=ep=1,ce=ep=（2）设bc=bd=，acb=90,，=4 ，bc=bd=4，过d作dhbc交bc于h,如图2，dhac,同理可得,dhac,cp=4, ecp=90,=（3）如图3，当时，设ce=，cp=3,由（2），设bd=，=m1x13m3x=3x33（2010黑龙江哈尔滨） 已知：在abc中abac，点d为bc边的中点，点f是ab边上一点，点e在线段df的延长线上，baebdf，点m在线段df上，abedbm （1）如图1，当abc45时，求证：aemd； （2）如图2，当abc60时，则线段ae、md之间的数量关系为： 。（3）在（2）的条件下延长bm到p，使mpbm，连接cp，若ab7，ae，求tanacp的值【答案】（1）证明：如图1 连接adab=ac bd=cd adbc 又abc=45abe=dbm abedbm （2）ae=2md （3）解：如图2 连接ad、ep ab=acabc=60d abc为等边三角形又d为bc中点 adbc dac=30 bd=dc=abbae=bdm abe=dbmabedbm aeb=dmb eb=ebm 又bm=mpeb=bp 又ebm=abc=60bep为等边三角形 embp bmd=90 aeb=90d为bc中点 m为pb中点 dm/pcmdb=pcb eab=pcb 过n作nhac，垂足为h在 4（2010湖北宜昌）如图，已知rtabc和rtebc，。以边ac上的点o为圆心、oa为半径的o与ec相切，d为切点，ad/bc。（1）用尺规确定并标出圆心o；（不写做法和证明，保留作图痕迹）（2）求证：来源:zxxk.com（3）若ad=1，求bc的长。【答案】（1）（提示：o即为ad中垂线与ac的交点或过d点作ec的垂线与ac的交点等）.能见作图痕迹，作图基本准确即可,漏标o可不扣分2分（2）证明:连结odadbc ， b=90，ead=90e+eda=90，即e=90eda又圆o与ec相切于d点，odeceda+oda=90，即oda=90eda来源:z_xx_k.come=oda3分（说明：任得出一个角相等都评1分）又od=oa，dac=oda，dac=e4分adbc，dac=acb，e=acb5分（3）rtdea中，tane=，又tane=tandac= ，ad=1ea=6分5（2010年福建省泉州）如图，在梯形中，点在上， ，,.求：的长及的值【答案】解：（1）如图，在中，,（2分）（3分）=（4分）=（5分）（2） （6分） （7分）在中，,（8分）=（9分）6（2010内蒙赤峰）关于三角函数有如下的公式：利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面实际问题：如图，直升飞机在一建筑物cd上方a点处测得建筑物顶端d点的俯角为60，底端c点的俯角为75，此时直升飞机与建筑物cd的水平距离bc为42米，求建筑物cd的高。 【答案】解:过点d作de于e,依题意,在rtade中,ade=60., ae=edtan60=bctan60=42.在rtacb中,acb=75.ab=bctan75tan75=tan(45+30)=2+ab=42(2+)=84+42cd=be=abae=84+4242=84(米)答:建筑物cd的高为84米.rtabc中，tanacb=，又dac=acb，tanacb=tandac=，可设adbc，rteadrtebc7分，即，. 8分7（2010江苏泰州）如图，二次函数的图象经过点d，与x轴交于a、b两点求的值；如图，设点c为该二次函数的图象在x轴上方的一点，直线ac将四边形abcd的面积二等分，试证明线段bd被直线ac平分，并求此时直线ac的函数解析式；设点p、q为该二次函数的图象在x轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点p、q，使aqpabp？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由（图供选用）【答案】 抛物线经过点d()c=6.过点d、b点分别作ac的垂线，垂足分别为e、f，设ac与bd交点为m，ac 将四边形abcd的面积二等分，即：sabc=sadc de=bf 又dme=bmf， dem=bfedembfmdm=bm 即ac平分bd c=6. 抛物线为a（）、b（）m是bd的中点 m（）设ac的解析式为y=kx+b，经过a、m点解得直线ac的解析式为.存在设抛物线顶点为n(0，6)，在rtaqn中，易得an=，于是以a点为圆心，ab=为半径作圆与抛物线在x上方一定有交点q，连接aq，再作qab平分线ap交抛物线于p，连接bp、pq，此时由“边角边”易得aqpabp8（2010福建福州）如图1，在平面直角坐标系中，点b在直线y2x上，过点b作x轴的垂线，垂足为a，oa5若抛物线yx2bxc过o、a两点（1）求该抛物线的解析式；（2）若a点关于直线y2x的对称点为c，判断点c是否在该抛物线上，并说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，o1是以bc为直径的圆过原点o作o1的切线op，p为切点(点p与点c不重合)抛物线上是否存在点q，使得以pq为直径的圆与o1相切?若存在，求出点q的横坐标；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）把o（0，0）、a（5，0)分别代入yx2bxc，(第22题图1) (第22题图2)得解得 该抛物线的解析式为yx2x（2）点c在该抛物线上 理由：过点c作cdx轴于点d，连结oc，设ac交ob于点e 点b在直线y2x上， b(5，10) 点a、c关于直线y2x对称， obac，ceae，bcoc，ocoa5，bcba10 又 abx轴，由勾股定理得ob5 srtoabaeoboaab， ae2， ac4 oba十cab90，cadcab90， cadoba 又 cdaoab90， cdaoab cd4，ad8 c（3，4） 当x3时，y9(3)4 点c在抛物线yx2x上（3）抛物线上存在点q，使得以pq为直径的圆与o1相切 过点p作pfx轴于点f，连结o1p，过点o1作o1hx轴于点h cdo1hba c(3，4)，b(5，10)， o1是bc的中点 由平行线分线段成比例定理得ahdhad4， ohoaah1同理可得o1h7 点o1的坐标为(1，7) bcoc， oc为o1的切线 又op为o1的切线， ocopo1co1p5 四边形opo1c为正方形 cop900 pofocd第22题图 又pfdodc90， pofocd ofcd，pfod p(4，3)设直线o1p的解析式为ykx+b(k0)把o1(1，7)、p(4，3)分别代人ykx+b，得 解得 直线o1p的解析式为yx若以pq为直径的圆与o1相切，则点q为直线o1p与抛物线的交点，可设点q的坐标为(m，n)，则有nm，nm2m mm2m整理得m23m500，解得m 点q的横坐标为或9（2010江苏无锡）如图，矩形abcd的顶点a、b的坐标分别为（-4，0）和（2，0），bc=设直线ac与直线x=4交于点e（1）求以直线x=4为对称轴，且过c与原点o的抛物线的函数关系式，并说明此抛物线一定过点e；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为n，m是该抛物线上位于c、n之间的一动点，求cmn面积的最大值【答案】解：（1）点c的坐标设抛物线的函数关系式为，则，解得所求抛物线的函数关系式为设直线ac的函数关系式为则，解得直线ac的函数关系式为，点e的坐标为把x=4代入式，得，此抛物线过e点（2）（1）中抛物线与x轴的另一个交点为n（8，0），设m（x，y），过m作mgx轴于g，则scmn=smng+s梯形mgbcscbn=当x=5时，scmn有最大值10（2010年上海）如图8，已知平面直角坐标系xoy，抛物线yx2bxc过点a(4,0)、b(1,3) .（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l，设抛物线上的点p(m,n)在第四象限，点p关于直线l的对称点为e，点e关于y轴的对称点为f，若四边形oapf的面积为20，求m、n的值.图8【答案】解：(1) 抛物线yx2bxc过点 a(4,0)b(1,3).，对称轴为直线，顶点坐标为（2）直线epoa,e与p两点关于直线对称，oe=ap,梯形oepa为等腰梯形，oep=ape,oe=of, oep=afe,ofp=ape,ofap,四边形oapf为平行四边形，四边形oapf的面积为20，.11（2010山东临沂）如图，二次函数的图象与轴交于,两点，且与轴交于点.（1）求该抛物线的解析式，并判断的形状；第26题图（2）在轴上方的抛物线上有一点,且以四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出点的坐标；（3）在此抛物线上是否存在点,使得以四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 图1【答案】解：根据题意，将a（,0）,b（2,0）代入y=-x2+ax+b中，得解这个方程，得 全品中考网所以抛物线的解析式为y=-x2+x+1.当x=0时，y=1.所以点c的坐标为（0，1）。所以在aoc中，ac=.在boc中，bc=.ab=oa+ob=.因为ac2+bc2=.所以abc是直角三角形。（2）点d的坐标是.（3）存在。由（1）知，acbc, 若以bc为底边，则bcap,如图（1）所示，可求得直线bc的解析式为.图2 直线ap可以看作是由直线ac平移得到的，所以设直线ap的解析式为，将a（,0）代入直线ap的解析式求得b=,所以直线ap的解析式为. 因为点p既在抛物线上，又在直线ap上，所以点p的纵坐标相等，即-x2+x+1=.解得（不合题意，舍去）.当x=时，y=.所以点p的坐标为（，）.若以ac为底边，则bpac，如图（2）所示，可求得直线ac的解析式为.直线bp可以看作是由直线ac平移得到的，所以设直线bp的解析式为，将b（2,0）代入直线bp的解析式求得b=-4,所以直线bp的解析式为y=2x-4.因为点p既在抛物线上，又在直线bp上，所以点p的纵坐标相等，即-x2+x+1=2x-4解得（不合题意，舍去）.当x=-时，y=-9.所以点p的坐标为（-，-9）.综上所述，满足题目的点p的坐标为（，）或（-，-9）12（2010 山东省德州） (已知二次函数的图象经过点a(3，0)，b(2，-3)，c(0，-3)(1)求此函数的解析式及图象的对称轴；xyoabcpqmn第23题图(2)点p从b点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段bc向c点运动，点q从o点出发以相同的速度沿线段oa向a点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动设运动时间为t秒当t为何值时，四边形abpq为等腰梯形；设pq与对称轴的交点为m，过m点作x轴的平行线交ab于点n，设四边形anpq的面积为s，求面积s关于时间t的函数解析式，并指出t的取值范围；当t为何值时，s有最大值或最小值【答案】xyoabcpqdegmnf解：(1)二次函数的图象经过点c(0，-3)，c =-3将点a(3，0)，b(2，-3)代入得解得：a=1，b=-2配方得：，所以对称轴为x=1(2) 由题意可知：bp= oq=0.1t点b，点c的纵坐标相等，bcoa过点b，点p作bdoa，peoa，垂足分别为d，e要使四边形abpq为等腰梯形，只需pq=ab即qe=ad=1又qe=oeoq=(2-0.1t)-0.1t=2-0.2t，2-0.2t=1解得t=5即t=5秒时，四边形abpq为等腰梯形设对称轴与bc，x轴的交点分别为f，g对称轴x=1是线段bc的垂直平分线，bf=cf=og=1又bp=oq，pf=qg又pmf=qmg，mfpmgqmf=mg点m为fg的中点 s=，=由=s=又bc=2，oa=3，点p运动到点c时停止运动，需要20秒0t20当t=20秒时，面积s有最小值313（2010 广东珠海）如图，平面直角坐标系中有一矩形abcd（o为原点），点a、c分别在x轴、y轴上，且c点坐标为（0,6）；将bcd沿bd折叠（d点在oc边上），使c点落在oa边的e点上，并将bae沿be折叠，恰好使点a落在bd的点f上.(1)直接写出abe、cbd的度数，并求折痕bd所在直线的函数解析式；(2)过f点作fgx轴，垂足为g，fg的中点为h，若抛物线经过b、h、d三点，求抛物线的函数解析式； (3)若点p是矩形内部的点，且点p在（2）中的抛物线上运动（不含b、d点），过点p作pnbc分别交bc和bd于点n、m，设h=pm-mn，试求出h与p点横坐标x的函数解析式，并画出该函数的简图，分别写出使pmmn成立的x的取值范围。【答案】解：（1）abecbd=30 在abe中，ab6bc=be=cd=bctan30=4od=oc-cd=2b(，6) d(0,2)设bd所在直线的函数解析式是y=kx+b 所以bd所在直线的函数解析式是(2)ef=ea=abtan30= feg=180-feb-aeb=60又fgoa fgefsin60=3 ge=efcos60= og=oa-ae-ge=又h为fg中点h（，） 4分b(，6) 、 d(0,2)、 h（，）在抛物线图象上 抛物线的解析式是(2)mp=mn=6-h=mp-mn=由得该函数简图如图所示：当0x时,h0，即hpmn当x=时，h=0，即hp=mn当x0，即hpmn14（2010江西）如图，已知经过原点的抛物线y=-2x2+4x与x轴的另一交点为a，现将它向右平移m(m0)个单位，所得抛物线与x轴交与c、d两点，与原抛物线交与点p.（1）求点a的坐标，并判断pca存在时它的形状（不要求说理）（2）在x轴上是否存在两条相等的线段，若存在，请一一找出，并写出它们的长度（可用含m的式子表示）；若不存在，请说明理由；（3）cdp的面积为s，求s关于m的关系式。xydacop【答案】解：（1）令-2x2+4x=0得x1=0，x2=2点a的坐标是（2，0），pca是等腰三角形，（2）存在。oc=ad=m,oa=cd=2，（3）当0m2时，如图2作phx轴于h，设,a（2，0），c（m,0）,ac=m-2，ah=oh= = ,把把=代入y=-2x2+4x，得得, =cd=oa=2，15（2010 武汉 ）如图1，抛物线经过点a（1，0），c（0，）两点，且与x轴的另一交点为点b（1）求抛物线解析式； （2）若抛物线的顶点为点m，点p为线段ab上一动点（不与b重合），q在线段mb上移动，且mpq=45，设op=x，mq=，求于x的函数关系式，并且直接写出自变量的取值范围；（3）如图2，在同一平面直角坐标系中，若两条直线x=m，x=n分别与抛物线交于e、g两点，与（2）中的函数图像交于f、h两点，问四边形efhg能否为平行四边形？若能，求出m、n之间的数量关系；若不能，请说明理由图 1图 225【答案】（1）；（2）由顶点m（1，2）知pbm=45，易证mbpmpq得，得，即；（3）存在，设点e、g是抛物线分别与直线x=m，x=n的交点，则、，同理、，由四边形efhg为平行四边形得eg=fh，即，由，因此，四边形efhg可以为平行四边形，m、n之间的数量关系是m+n=2（0m2，且m1）16（2010浙江湖州）如图，已知在直角梯形oabc的边oa在y轴的正半轴上，oc在x轴的正半轴上，oaab2，oc3，过点b作bdbc，交oa于点d，将dbc绕点b按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴于e和f（1）求经过a，b，c三点的抛物线的解析式；（2）当be经过（1）中抛物线的顶点时，求cf的长；（3）连接ef，设bef与bfc的面积之差为s，问：当cf为何值时s最小，并求出这个最小值. 【答案】由题意得：a（0，2）、b（2，2）、c（3，0），设经过a，b，c三点的抛物线的解析式为，则，解得：，所以（2）由，所以顶点坐标为g（1，），过g作ghab，垂足为h，则ahbh1，gh2，eaab，ghab，eagh，gh是bea的中位线，ea3gh，过b作bmoc，垂足为m，则mboaab，ebfabm90，ebafbm90abf，r tebar tfbm，fmea，cmocom321，cffmcm（3）设cfa，则fm a1或1 a，bf2fm2bm2(a1)222a22a5，又ebafbm，bmbf，则，又，s ，即s，当a2（在2a3）时，17（2010江苏常州）如图，已知二次函数的图像与轴相交于点a、c，与轴相较于点b，a（），且aobboc。（1）求c点坐标、abc的度数及二次函数的关系是；（2）在线段ac上是否存在点m（）。使得以线段bm为直径的圆与边bc交于p点（与点b不同），且以点p、c、o为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。【答案】18（2010 山东滨州）如图，四边形abcd是菱形，点d的坐标是，以点c为顶点的抛物线 恰好经过轴上a、b两点(1)求a、b、c三点的坐标；(2) 求经过a、b、c三点的的抛物线的解析式；(3)若将上述抛物线沿其对称轴向上