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中学数学竞赛讲义极限数列极限的定义 一般地，如果当项数无限增大时，无穷数列的项无限地趋近于某个常数(即无限地接近于0)，那么就说数列以为极限. 注:不一定是中的项.几个常用的极限 (1)(为常数)；(2)；(3)().两个重要极限(1) (2)数列极限的四则运算法则 设数列an、bn，当,时，；().求极限的各种方法1约去零因子求极限例1：求极限【说明】表明无限接近，但，所以这一零因子可以约去。【解】2分子分母同除求极限例2：求极限【说明】型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。【解】【注】(1) 一般分子分母同除的最高次方；(2) 3分子(母)有理化求极限例3：求极限【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。【解】例4：求极限【解】【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键4应用两个重要极限求极限两个重要极限是和，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。例5：求极限【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出，再凑，最后凑指数部分。【解】例6：(1)；(2)已知，求。5用等价无穷小量代换求极限【说明】(1)常见等价无穷小有：当 时,；(2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式；(3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选。例7：求极限【解】 .例8：求极限【解】6用罗必塔法则求极限例9：求极限【说明】或型的极限,可通过罗必塔法则来求。【解】【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用罗必塔法则求解例10：设函数f(x)连续，且，求极限【解】 由于,于是 =7用对数恒等式求极限 例11：极限 【解】 =【注】对于型未定式的极限，也可用公式=因为例12：求极限.【解1】 原式 【解2】 原式 8利用taylor公式求极限 例13 求极限 .【解】 , ; .例14 求极限.【解】 .9数列极限转化成函数极限求解例15：极限【说明】这是形式的的数列极限，由于数列极限不能使用罗必塔法则，若直接求有一定难度，若转化成函数极限，可通过7提供的方法结合罗必塔法则求解。【解】考虑辅助极限所以，10n项和数列极限问题n项和数列极限问题极限问题有两种处理方法(1)用定积分的定义把极限转化为定积分来计算;(2)利用两边夹法则求极限.例16：极限【说明】用定积分的定义把极限转化为定积分计算,是把看成0,1定积分。【解】原式例17：极限【说明】(1)该题遇上一题类似，但是不能凑成的形式，因而用两边夹法则求解； (2) 两边夹法则需要放大不等式，常用的方法是都换成最大的或最小的。【解】因为又所以12单调有界数列的极限问题例18：设数列满足（）证明存在，并求该极限；（）计算. 【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在. 【详解】 （）因为，则.可推得，则数列有界.于是，（因当）， 则有，可见数列单调减
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