函数最终版.doc

函数函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中，填空题、解答题中每年都有函数试题，而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势.考试热点：考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性和函数的图象.函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点.考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想.函数概念（一）知识梳理1映射的概念设是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中的任意元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从到的映射，通常记为 ，f表示对应法则2函数的概念(1)函数的定义：设是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中的每一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数，通常记为 (2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则3函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法（1）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3)解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示.4分段函数 在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数.（二）考点分析考点1：映射和函数的概念例1若，则到的映射有 个，到的映射有 个，到 的函数有 个例2. 函数的图象与直线交点的个数为 个.考点2：判断两函数是否为同一个函数例1 试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1），； （2），（3），；（4），考点3：求函数解析式方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；（2）若已知复合函数的解析式，则可用换元法或配凑法；（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出题型1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式例1 已知二次函数满足，求例2（09湖北改编）已知=，则的解析式可取为 题型2：求抽象函数解析式 例1已知函数满足，求考点4：求函数的定义域题型1：求有解析式的函数的定义域（1）方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的的取值范围，实际操作时要注意： 分母不能为0； 对数的真数必须为正； 偶次根式中被开方数应为非负数； 零指数幂中，底数不等于0； 负分数指数幂中，底数应大于0； 若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集； 如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写.例1.（08年湖北）函数的定义域为_.题型2：求复合函数和抽象函数的定义域例1（2007湖北）设，则的定义域为_.例2 已知函数的定义域为，求的定义域.例3 已知的定义域是，求函数的定义域.例4已知的定义域是（-2，0），求的定义域.考点5：求函数的值域1 求值域的几种常用方法（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数，可变为解决（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数就是利用函数和的值域来求.（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域.如求函数的值域（4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域. 如求函数的值域.（5）换元法：运用换元法时，要特别要注意新元的范围.的值域为_. 的值域为_.（6）数形结合法.已知点在圆上，求及的取值范围.（7）导数法一般适用于高次多项式函数，如求函数，的最小值.（8）对勾函数法 像y=x+，（m0）的函数，m0 a0a0(”或“=”或“”连接)例2.若关于的不等式的解集是,则实数的值是_例3.二次函数的二次项系数为负,且对任意实数,恒有,若，则的取值范围是_例4.当时，不等式恒成立，则a的取值范围是_例5.若函数的图象关于直线对称，则（二）考点分析考点1二次函数在区间上的最值问题例1已知函数f(x)= - x2+2ax+1-a在0x1时有最大值2，求a的值.思维分析：一般配方后结合二次函数图象对字母参数分类讨论解：f(x)= -(x-a)2+a2-a+1(0x1),对称轴x=a10 a1时，综上所述：a= - 1或a=2例2已知y=f(x)=x2-2x+3,当xt,t+1时，求函数的最大值和最小值.答案：例3已知函数的最大值为，求的值 分析：令，问题就转二次函数的区间最值问题解：令，对称轴为，（1）当，即时，得或（舍去）（2）当，即时，函数在单调递增，由，得（3）当，即时，函数在单调递减，由，得（舍去）综上可得：的值为或考点2一元二次方程根的分布及取值范围例1 已知函数与非负轴至少有一个交点，求的取值范围解法一：由题知关于的方程至少有一个非负实根，设根为则或，得解法二：由题知或，得考点3函数与方程:要认真区分函数的零点的概念,方程的解概念.会用图像研究解的区间.例1.已知方程的解在区间内,是的整数倍,则实数的值是_例2.函数的零点的个数是_指数与指数函数（一）知识梳理(三)指数与对数：（1）n次方根的定义：若xn=a，则称x为a的n次方根，“”是方根的记号.（2）方根的性质：当n为奇数时，=a.当n为偶数时，=|a|=（3）分数指数幂的意义：a=（a0，m、n都是正整数，n1）.a=（a0，m、n都是正整数，n1）.（4）对数的定义：如果ab=n（a0，a1），那么b叫做以a为底n的对数，记作logan=b.（2）指数式与对数式的关系：ab=nlogan=b（a0，a1，n0）.两个式子表示的a、b、n三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.（5）对数运算性质:loga（mn）=logam+logan.loga=logamlogan.logamn=nlogam.（m0，n0，a0，a1）对数换底公式：logbn=（a0，a1，b0，b1，n0）.(四)指数函数的图象和性质：指数函数：（）图像性质定义域r，值域为（），过定点（0，1）x0时，y1; x0时，0y0时，0y1; x1定义域上为增函数，值越大，越靠近轴定义域上为减函数，值越小，越靠近轴(五)对数函数的图象和性质：对数函数：（）图像性质定义域（），值域为r，过定点（10，）x1时，y0; 0 x 1时，y 1时，y0; 0 x 0定义域上为增函数，值越大，越靠近轴定义域上为减函数，值越小，越靠近轴指对数函数图像特点指数函数指数函数图像对数函数对数函数图像例1当且时，函数的图像恒过点，若点在直线上，则的最小值为 . 例2.已知函数f（x）loga| x |在（0，）上单调递增，则f（2） f（a1）（填写“”之一）例3已知是上的减函数，那么的取值范围是_. 例4若，且，求实数的取值范围.(六)幂函数：一幂函数定义:一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数二幂函数的性质（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴例1.幂函数的图象经过点，则满足27的x的值是 例2.已知幂函数为偶函数,且在区间上是单调减函数,则m=_函数与方程（一）知识梳理1函数零点概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点.函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标.即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.（二）考点分析题型1：方程的根与函数零点例1（1）方程lgx+x=3的解所在区间为_.（2）设a为常数，试讨论方程的实根的个数.解析：（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数y=lgx与y=-x+3的图象(如图).它们的交点横坐标，显然在区间(1，3)内，由此可排除a，d至于选b还是选c，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了.实际上这是要比较与2的大小.当x=2时，lgx=lg2，3-x=1.由于lg21，因此2，从而判定(2，3)，故本题应选c.（2）原方程等价于即构造函数和，作出它们的图像，易知平行于x轴的直线与抛物线的交点情况可得：当或时，原方程有一解；当时，原方程有两解；当或时，原方程无解点评：图象法求函数零点，考查学生的数形结合思想.本题是通过构造函数用数形结合法求方程lgx+x=3解所在的区间.数形结合，要在结合方面下功夫.不仅要通过图象直观估计，而且还要计算的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断.高考真题模拟例1（08江苏理14）例1.设函数，若对于任意的都有成立，则实数的值为 例2已知函数满足，且当时，则与的图象的交点个数为_. 例3.设奇函数f(x)的定义域为r，且对任意实数x满足f(x+1)= -f(x)，若当x0,1时，f(x)=2x-1,则f()= .例4