李尚志教授数学大观课件.ppt

数学大观4 代数几何 熔一炉 李尚志 北京航空航天大学 润物细无声：应用案例 子空间概念的应用 空间与向量 两把尺子量天下 走遍天涯海角 三把尺子量乾坤 可上九天揽月 可下五洋捉鳖 概念的引入：随风潜入夜 一、方程组的解法 加减消去法方程的线性组合 原方程组的解是新方程的解 是否“增根”？ 方程组的等价 变形 初等变换 高斯消去法 只用到系数的运算 行向量表示方程数组向量 矩阵表示方程组矩阵的初等变 换 只用到系数的加减乘除数域 二、线性相关与线性无关 例1. 方程个数的真与假 方程组 有几个方程 ？ 某个方程是其余方程的线性组合 线性相关 例 如下向量 a，b，g 是否共面? (1) a = (1,1,1); b = (2,1,5); g = (3,2,6). (2) a = (1,1,1); b = (2,1,5); g = (1,-3,13). (3) a = (1,1,1); b = (2,1,5); g = (1,-3,6). 有解 l1 = - 7, l2 = 4, -7a+4b = g, 共面。 解 (1) 易见 a + b = g , 共面 . (2) 方程 (3) = (1,1,1); b = (2,1,5); g = (1,-3,6). 方程组 l1 a + l2 b = g 无解。 还需解 l1 a+ l3 g = b, 仍无解。 还需解 l2 b + l3 g = a, 仍无解。 解三个方程太繁琐！ 只须解一个方程 l1 a+ l2 b+ l3 g = 0 有(无)非零解线性相(无)关 方程组线性相关 有多余的方程（是其余方程的线性 组合） 删去多余的方程 - 打假 将打假进行到底 极大线性无关组 剩下的方程的个数- 秩rank 极大线性无关组，秩 秩的唯一性 方程组(a1 , a2 , a3) 与(b1 , b2) 互为线性组合 a1= a11b1+a12 b2 a2=a21b1+a22b2 a3=a31b1+a32 b2 x1 a1+x2 a2+ x3 a3 = 0 : (a11x1+a21x2+a31x3)b1+(a12x1+a22x2+a32x3)b2 = 0 未知数个数方程个数 有非零解 (x1,x2,x3) a1 , a2 , a3 线性相关. 方程可以换成任意对象,只要仍有加法和数乘 且满足运算律,证明仍成立 抽象向量空间 例. 求方程的实数解： 解:令 则 u + v = w -7u2+ 4v2 = w2 = (u+v)2 -8u2-2uv+3v2 = 0 , (v-2u)(3v+4u) = 0 三、行列式的定义 （一）二元一次方程组的几何意义 写成 1、有唯一解条件: 不共线, 2、消元: 两边与 作内积消去 y 4、 代数算法： 3、二阶行列式 : 平行四边形面积 = 平行四边形 oapb 有向面积 = = 记为 或 或 2019/1/20 三阶行列式 (2.1) 这样的项可以从 (2.1) 中去掉。只剩下 i,j,k 两 两不相等的项。(2.1) 变成 当 i,j,k 中有两个相等时， 代入(2.2), 得 又 类似地有 (2.2) 我们有 类似地有 n 阶行列式 (3.1) 当 i1,i2,in 中有两个相等时， 这样的项可以从 (3.1) 中去掉。只剩下 i1,i2, in 两两不相等的项, (3.1)中的 变成对1,2,n 的全体排列 (i1,i2, in ) 求和, 成为: 将排列 中任意两个数 相互交 换位置, 称为这个排列的一个对换。相应地，行 列式 中的 互换了位置， 其值变为原来值的相反数 。 进行若干次对换(设为 s 次)可以将排列 变成标准排列 (12n), 相应地将 变成 (3.2) 以下只须对每个排列 求 可以证明, 的值由排列 唯一 决定, 我们将 记为 sgn 。则 sgn 代入(3.3) 得到 (3.3) 于是得 这可以作为 n 阶行列式的定义。 (3.4) 行列式应用例: 隐函数存在定 理 f(x,y) 在某点p0可微 何时由 f(x,y)=0 确定 y=f(x)? 一般f不好解决凌波微步 线性化: adx+bdy 0, y=f(x) 在 x0 可微,导数为 2019/1/20 可微函数 n 个方程 =0 , 线性化 即 当 det b 时有唯一解 隐映射定理 2019/1/20 z2 上的行列式与可逆阵 随机地给定n2个整数行列式 |a|. |a| 为奇数和偶数的概率各是多少? |a|=奇数 a 是 z2 上可逆方阵 各行线性无关. 第一行: 2n-1 种取法 第二行: 2n-2中取法 第k行: 2n-2k-1种取法. 为奇概率=(1-1/2n)(1-1/2) 2019/1/20 数学聊斋 之二 指鹿为马之幼儿版 博比: 长颈鹿 马马 老虎 猫咪 狮子 狗狗 黑猩猩 爸爸 纠错码: 合法码两两之间差异大 (至少3位) 原码: 010011101011传输 错码: 010010101011纠错 最接近的合法码 纠错码的原理 构造纠错码-z2上的线性方程组 系数矩阵 ( 0 0 0 1 1 1 1) ( 0 1 1 0 0 1 1) ( 1 0 1 0 1 0 1) 解空间的维数 7-3 =4 . 码数 24 =16 2019/1/20 例 1 在平面上建立直角坐标系. 将平面上每个点p绕原点 向逆时针方向旋转角到点p. 写出点p的坐标(x,y)与点p的 坐标(x,y)之间的函数关系式. 矩阵乘法与线性变换 解 设 |op|=r, xop = q. 则 x=rcos, y=rsin. |op|=|op|=r, xop = q +a . x= rcos( q +a ) = rcos q cos a - rsinq sina = xcosa - ysina y= rsin(+) = rcossin+rsincos = xsin+ ycos 复数乘法的几何意义 退步再退步,负加负更负. 后转两次转向前,负负为正很显然 平方得负岂荒唐,左转两番朝后方 i =左转90o, i2= 1 (cos 45o+i sin 45o)2 = i (cos a+i sin a)n=cos na+i sin na . (棣美弗公式) 单位根 zn =1=旋转 2kp z =旋转2kp/n = cos(2kp/n)+i sin(2kp/n) n次单位根集合 =1,w,w2, , wn-1 w= cos(2p/n)+i sin(2p/n) 单位根的乘法群 15次单位根集合u15=1,w,w2,w14 wawb = wa+b = wa+b-15m (wa)-1= w-a = w15-a f :z u15, a wa wa = wb ab (mod 15). 将z分成同余类, 则 s: z15u15 , s(a+b)=s(a)s(b), s(0)=1, s(-a) =s(a)-1 加法群 (z15,+) 乘法群 (u15, ). x15-1在有理数范围内分解 复数范围 x15-1 = (x-1)(x- w)(x- w14) 每个根 wk 有最小正整数d使wkd=1 15=qd+r, wr=w15/wdq=1r=0d|15 d=1, 根 1, 因式 f1(x)=x-1 d=3, 因式f3(x)=(x3-1)/(x-1)=x2+x+1 d=5, f5(x)=(x5-1)/(x-1)=x4+x3+x2+x+1 d=15, f15(x)=(x15-1)/(x3-1)/f5(x) =(x12+x9+x6+x3+1)/(x4+x3+x2+x+1) 数学实验 线性变换前后的图形 2019/1/20 向量方向的变化 2019/1/20 选取特征向量为基 2019/1/20 应用案例. 足球队排名 根据足球比赛成绩给出各队实力名次 x1 xj xn x1 a1j a1n xi ai1 aij ain xn an1 anj ain 根据对手实力对得分加权 先验实力比： x1 xj xn y1 = a11x1 + + a1j xj + +a1nxn yi = a11x1 + + a1j xj + + a1nxn xn an1 anj ain 网上资源 精品课程国家级 数学实验(2003),线性代数(2004) 线性代数 2006 教育部 高等数学 2008 教育部(郑志明) 博客: 李尚志 已出版教材 李尚志, 线性代数(数学专业用 ), 高等教育出版社,2006.5 星移斗转落银河, 月印三潭伴碧波。 保短保长皆变换, 能伸能屈是几何。 矩阵与变换 2019/1/20 精品课程网页 参考文献 线性代数(数