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解析换元法在中学数学中的应用 江苏省黄埭中学（215143） 李其龙 摘要：换元法是一种常用的数学方法， 是指针对一些结构复杂或形式繁琐的问题， 通过引进新的变量，替换问题中的式子，从 而使得复杂的问题得到简化。 通过换元可以 去除伪装还原问题的本来面目， 把分散的条 件与结论联系起来，使问题的本质一目了 然。本次习题课教学针对换元法，讲解了在 三角函数、函数解析式、不等式、方程组以 及数列通项公式等问题中的应用， 并谈了几 点教学反思和感悟。 关键词：换元法；函数；方程；数列 在中学的教学中， 都会经常接触到多种 数学方法，比如：配方法、数学归纳法、待 定系数法、换元法等方法。每一种方法的应 用都是一次数学思维的碰撞， 擦出耀眼的火 花。有时应用的巧，可以化繁为简；有时应 用的妙，可以化无为有。由于这些常用方法 在中学数学以及高等数学中有着十分广泛 的应用， 在很多解题过程中都可以看到其身 影。下面借用一节习题课，以其中一种方法 为点， 来探究这些常用方法在不同知识点中 的应用，便于学生去归纳总结这些方法。 1 课程实录与教学问题诊断课程实录与教学问题诊断 1.1 换元法基本概念介绍换元法基本概念介绍 师：这节课，我们一起来探讨换元法在 我们中学数学中的应用。首先，根据自己的 理解，谁能说说什么是换元法？ 生：换元法就是通过引进新的变量，利 用不同的代换技巧， 将陌生的问题转化为熟 悉的问题，将复杂的问题化为简单的问题， 将未知的问题变成已知的问题。 师：这位同学说得很好。换元法又叫做 变量代换法，实质就是转化，通过引入新变 量去替换问题中的复杂形式， 使问题得到简 化的一种解题方法。 而换元法的解题步骤一 般为：设元、换元、求解、回代以及检验。 常见的换元法问题可分为如下两类： (1)设问题中 g x为一个复杂式子， 令 x ht ，于是 g xg h tt t， 此时问题 g x转换成关于t的问题 t t， 这是第一类换元法。 (2)设问题中 g x为一个复杂式子， 如 果 g x可以表示为一个以 h x为中间变 量的复合函数，则令 h xu，于是有 g xw h xw u，此时问题由 g x转换成关于u的问题 w u，这是第 二类换元法。 教学点评：教学点评：关于这两类换元法方法，有 很多同学不能明确的区分， 其实这两类是一 个互逆的过程。 第一类换元法是用一个函数 h t来替换变量x； 第二类换元法是用一个 新变量u来替换函数 h x。 师： 下面针对函数、 三角函数、 不等式、 方程（组）以及数列等方面举例说明换元法 的应用。 1.1.2 2 换元法在换元法在函数和函数和三角函数中的应用三角函数中的应用 师： 利用换元法将三角函数问题转换成 我们熟知的二次函数问题， 然后利用二次函 数的性质和方法加以解决， 并回代到原问题 中，这种换元在高考中经常会用到。下面就 通过一个例子来了解下这类问题。 例例 1 已知平面直角坐标系内有三点 sin , 1ax ，cos , 2bxa，, 1c a， 13 , 44 x ，若函数 f xac bc 的最大值为 g a，求函数 g a的最小值。 师：根据a、b、c的坐标表示出函 数 f x的解析式，观察解析式是关于 sincosxx与sincosxx的三角式，可设 sincostxx， 则原问题可转化为二次函 数在闭区间上的最值问题。 解：解：根据a、b、c的坐标求出 f x 的解析式为 2 sincos sincossin cos . f xaxax aaxxxx 令sincostxx，则可得 2 1 sin cos,0,2 . 2 t xxt 将上面的变换带入解析式中有 2 2 2 2 11 . 22 taat w taat 则原问题转化为求二次函数 2 2 1 2 taa w t 在0,2t 上的最值问题。 当 2 2 a 时， 2 2 2 max 22a 2a12 a. 22 w （） 当 2 2 a 时， 2 max 2a1. 2 w 根据题意，原函数 f x的最大值为 g a，则有 2 2 22 , 22 212 . 22 aa g a a a 当 2 2 a 时， min 2 0. 2 g ag 当 2 2 a 时， 0.g a 综上所述可知， min 0.g a 教学点评教学点评： 本题考察的是函数的最值问 题，通过换元，把三角函数问题转化成了我 们熟知的二次函数问题， 这种解题方法在高 考中会经常用到。 该题目中所用的换元属于 第二类换元法，用一个新变量t来替换关于 x的函数sincosxx。 师： 下面再举一例换元法在一般函数中 的应用。 例例 2 2 已知 2 2 111xx f xxx ，求 f x的解析式。 师：该问题是已知复合函数的解析式， 求原函数的解析式， 可以利用第一类换元法 来解决。令 1x t x ，求 f t的解析式， 然后把t回代为x即可。 解：解：设 1x t x ，则 1 1 1 xt t ， 2 2 2 1 1 11 1. 1 1 1 1 t f ttt t t 故 2 11f xxxx 。 教学点评教学点评：这道例题虽然比较简单，但 具有代表性，有两个地方容易出错，所以在 教学过程中老师要重点提醒学生注意。 一是 换元后， 忘记回代， 最后结果依然是关于t的 解析式；二是实施变换时，应注意新变量的 取值范围，即函数的定义域。这道题可作为 例题 1 的配套习题，让学生独立思考完成， 然后指出其中应该注意的地方， 以检验学生 对于换元法在函数应用中的掌握情况。 1.1.3 3 换元法在不等式中的应用换元法在不等式中的应用 师： 前面我们介绍了换元法在函数中的 应用， 且通过两个例子呈现了两类换元法在 解题过程中的作用， 现在我们一起来看看换 元法在不等式的证明中是怎么应用的。 例例 3 3 设a，b，c均为正数，求证： 3 2 abc bccaab 。 师：要证明的不等式左边是一个对称 式，且每个分式都不容易拆分，针对这种形 式可以引入新变量对分母进行换元， 然后拆 开分式，最后利用均值定理加以证明。 证 明 ：证 明 ： 令bcx，cay， .abz 则有 2 yzx a ， 2 xzy b ， . 2 xyz c 将上面表达式带入不等式的左边，有 1 2 1 3 2 3 . 2 abc bccaab yzxxzyxyz xyz yxzxzy xyxzyz 当且仅当，xyz时，即abc 时，取等号。 即可得 3 . 2 abc bccaab 教学点评：教学点评：学生刚看到这道题，可能会 感觉无从下手， 在这个时候老师要引导学生 发散思维。在学生没有想法的情况下，要化 无为有，例如此题通过换元后，思维一下就 被打开了。 同时老师还要提醒学生使用均值 定理的条件， 这道例题也是采用第二类换元 法。 1.1.4 4 换元法在方程（组）中的应用换元法在方程（组）中的应用 师：在方程或方程组中，往往由于一些 复杂的式子或根式导致方程或方程组求解 困难，此时应用换元法，引入新变量，可以 简化问题。 下面分别针对方程和方程组给出 了具体的换元法应用。 例例 4 4 解方程 44 975xx。 师：该方程中含有两个根式，正面求解 很困难，所以很容易会考虑到用换元法，用 新变量替换方程中的根式。 解：解：令 4 97xm， 4 xn，带入 原方程中可得 44 5, 97. mn mn 又因为 4 4224 4 () 4()2() 5 . mn mmn mnmnn 整理得 2 ()502640.mnmn 即 5, (6)(44)0. mn mnmn 得到两个新方程组 5, ( ) 6. mn a mn 5, ( ) 44. mn b mn 此时方程组( )b无实数解。 解方程组( )a得 1 2n 或 2 3n ，即 2 4 x或3 4 x 原方程的实数根为 1 16x ， 2 81x 。 教学点评教学点评：这道题很容易联想到换元 法， 但是有的学生只想到用一个新变量替换 其中一个根式，导致问题越来越复杂。很显 然，用两个变量分别替换两个根式后，可以 把方程转化为方程组，看似把问题复杂化 了，其实已经起到了化繁为简的作用。在此 题的解题过程中，还存在着另外一个难点， 就是对方程 44 97mn的处理， 以及对于 四次方的展开求mn的值都是很巧妙的地 方，需要老师引导学生思考。 师：通过对上面这道题的讲解，让大家 领会换元法在方程中的作用， 接下来出一道 方程组的习题，请大家独立完成。 例例 5 5 解方程组 43 10, 3225 52 1. 3225 xyxy xyxy 解解：设 1 32 a xy ， 1 25 b xy ，原 方程组可化为 4310, 521. ab ab 解得 a1 b2 ，回代求解x和y的值，即 321, 1 25. 2 xy xy 解得 4 11 1 22 x y ，此为原方程组的解。 教学点评教学点评：本题若按常规方法求解，进 行通分计算， 会让问题变得复杂且计算量很 大，因此巧妙的进行换元，使问题简化为二 元一次方程组求解。 该题中的换元法起到了 化高次为低次和化分式方程为整式方程的 作用。 1.1.5 5 换元法在换元法在递推数列递推数列中的应用中的应用 师：在递归数列问题的解决中，当问题 给出的数列的一般规律难以寻觅时， 可考虑 换元法，用一个规律明朗的数列作代换，从 而使问题得到解决。 例例 6 6 数列 n a由循环公式 1 1a ， 1nn 1 14a124a 16 n a 定义，其中 1,2,3,n，求 n a的通项公式。 师： 根据条件不难计算出数列的前几项 1 1a ， 2 5 8 a ， 3 15 32 a ， 4 51 128 a ，但 从前几项中很难发现数列 n a的变化规 律。对于循环公式 1n a ，根式1 24 n a很 难进行处理，这或许可作为一个突破点，通 过换元替换后，问题可能会得到简化。 解：解：设1 24 nn xa，则有 2 1 1 . 24 nn ax 由 1 1a ， 2 5 8 a ， 3 15 32 a ， 4 51 . 128 a 可立即得到 1 5x ， 2 4x ， 3 1 3 2 x ， 4 1 3. 4 x 根据前几项猜测新数列 n x的通项公 式为： 2 1 3. 2 n n x 下面通过数学归纳法加以证明。 （1）当1n 时，结论显然成立； （2）假设nk时，结论成立，即 2 1 3 2 k k x ； （3）则当1nk时，有 1 2 1 14124 16 11 1. 166 kkk k k aaa x x 且又因为 2 11 1 1 . 24 kk ax 整理化简得 2 1 12 1113 33 2222 1 3. 2 k kk k xx 所以， n x的通项公式为 2 1 3. 2 n n x 因此可得 2 2 2 1 2 111 131 24242 21 2. 33 n n nn n ax 教学点评：教学点评： 这道题的换元在解题过程中起到 了很重要的作用。通过换元后，数列的规律 也很清晰的显示出来，然后给出猜想，再利 用数学归纳法完成证明， 最后完成换元的回 代就可求得原数列的通项公式。 2 2 教学思考教学思考和和感悟感悟 换元法虽然是中学数学中常用的一种 的数学方法，在很多方面都有应用。但是还 需要灵巧的变换和发散的思维， 才能达到解 题目的。通过上述习题课，可以看出老师对 这节习题课备课比较充分， 知识点分布也比 较全面，讲解得比较系统，但是也存在课堂 内容多，满堂灌，老师自导自演等问题。如 何使我们的习题课更有效，更出彩，更具有 活力？这也是我们需要认真思考的。 2.12.1 典型习题配套练习典型习题配套练习 习题课的教学不应该是习题的大量讲 解，满堂的习题讲解，大量的题目训练，这 些低效率的教学都是不可取的。 老师在备课 时，对于要讲解的习题要优中选优，要具有 代表性，要能挖掘出学生的问题，还要契合 知识点，不能偏不能怪，并不是难住所有的 学生就是好习题， 在这个选题的尺度上老师 要把握好。同时也可以参考一些文献，比如 求解方程 1和不等式2的一些相关文献。 只有先选好习题，才能更好的教学。在 习题课中，老师不能一味的注重解题过程， 而解题方法和解题思维尤其重要。 为了精简 老师的讲解过程，以给学生更多的思考时 间，可以适当的忽略掉不重要的解题过程， 同时加深了学生对于习题要点和重点的印 象，也减轻了学生听课的负担。 在习题课上，除了典型习题的讲解，还 需要配套练习，强化学生对知识点的掌握。 比如例题 2 和例题 5 分别作为例题 1 和例题 4 的配套习题，释放了老师的讲解时间，也 拓宽了学生独立思考的空间， 使得教学过程 形成良好的互动和交流。 2.22.2 引领学生发散思维引领学生发散思维 习题课的教学是为了加深学生对知识 点的掌握，强化学生对数学方法的灵活应 用。往往这些知识点并不是新的知识点，不 存在对新知识的认知上的困难。 但是在解题 的过程中，也会有思维上的空白，这个时候 需要老师引领学生，发散思维，不要让学生 把自己的思维给束缚住了。 比如例题 1 和例题 3，在学生思维枯竭 的时候，引导学生找到合适的方法。需要让 学生明白其所以然， 为什么要这样换元？这 样换元有什么好处？还有没有其他的换元 方法？除了换元， 还有没有更好的解法？如 何去引领学生找到解题的方法？这些问题 都是老师在备课的时候应该考虑的。 2.32.3 反思反思总结消化吸收总结消化吸收 习题课教学并不只是老师讲学生听的 教学，还需要老师和学生一起反思，一起总 结，最后消化吸收。反思总结在习题课教学 中有着尤为重要的作用，起到画龙点睛之 笔。不少老师在教学过程中，直接省略了这 个过程，以至于讲过多次的问题重复出现， 学生印象不深刻，没有整体框架，消化接受 的效率低下。 （1）如果题目中存在根式的情况，可 以考虑换元法，如例 4 和例 6 都存在根式， 通过换元化根式为有理式；（2）如果题目 中的形式比较统一， 如例 3 和例 5 的分母的 形式比较统一， 尤其例 5 中的两个方程的分 母一样，通过换元可以起到化繁为简的作 用；（3）如果题目中的三角函数不好处理， 可以考虑引入换元转化为一般的函数问题， 有时找