有限集上两极拓扑个数的探讨.doc

有限集上两极拓扑个数的探讨洪彩霞（福建信息职业技术学院，福建 福州 350003）摘要：通过对有限集上满足maxact为平凡拓扑，minact为离散拓扑的个数进行研究，从而解决了它的个数问题。关键词：有限集；单拓扑；自同余拓扑1、介绍云南师范大学学报1991第4期上发表郭志勇的文章“有限集上几种拓扑概念及性质”中曾提出“有限集xn 上使maxact为平凡拓扑，minact为离散拓扑的拓扑t有多少”这样一个问题，本文对此进行了一番探讨，得到如下结论：有限集xn 上使maxact为平凡拓扑，minact为离散拓扑的拓扑t（为了方便起见，本文中称此种拓扑为两极拓扑）至少有cnm （2n -2m+1 -2n-m+1 +5）个。2、证明我们引入：1.几个定义 设xn是n个元素的集合：定义1（单拓扑）：设t是xn上的一个非平凡拓扑，若对任何at;axn,都有xn-at，称t是xn上的一个单拓扑。注：易见，若xn上有单拓扑存在，则n2 。定义2（余拓扑）：设t是xn上的拓扑，则tc= xn-aat是xn上的一个拓扑，称为xn上t的余拓扑。若xn上的拓扑t满足t=tc，则称t是xn上的一个自同余拓扑。定义3（maxact）：是指包含在有限集xn上的拓扑t中的最大自同余拓扑。注：易见，maxactttc。定义4（minact）：若t是xn上的拓扑，则包含了t的xn上的最小自同余拓扑称为minact。注：易见，ttc为minact的一个基。2.几个引理引理1：设t是xn上的拓扑，xn=a1,a2,an，则 maxact=, xn t为单拓扑 minact为离散拓扑axn，attc maxact=, xn 且minact为离散拓扑t为单拓扑且正整数m ，1mn，使得aikt (1km);而aijtc(m+1jn)，这里ai1，ai2，ain=xn。证：，由定义易证，下证必要性：若maxact=, xn 且minact为离散拓扑，则由，可知；t为单拓扑，且对aixn (1in) ，有aittc，从而要么ait, 要么aitc，我们说t不可能含有所有的ai（i1，2，n）,否则,t为离散拓扑，不是单拓扑;tc也不可能含有所有的ai（i1，2，n）,否则, tc为离散拓扑，从而t不是单拓扑。故，1m n使得aikt (1km)，而 aijtc（m1jn），这里ai1，ai2，ain=xn。充分性：若t为单拓扑，且1mn，使得aikt (1km);而aijtc(m+1jn)，这里ai1，ai2，ain=xn。则由可知maxact=, xn ，且显然有，ai（1in），ai ttc，由可知，minact为离散拓扑。综上所述，成立。设xn = a1,a2,an （n2），从xn中任意取出m（1mn）个元素组成集合x，记x=xn-x,令=aax,a,= bbx且b，= xn- aa = xn- bb 则中元素的个数为2m-1, 中元素的个数为2n-m-1, 从而中元素的个数也为2n-m-1，令=aba，b且ax，bx，则中元素的个数为（2m-2）（2n-m-2）=2n-2m+1-2n-m+1+4。引理2：t=, xn 构成xn上使maxact为平凡拓扑而minact为离散拓扑的拓扑。证：、xnta.bt若a、b中有一个为或xn，则显然有abt，abt，若a、b ，显然ab , ab ,从而abt, abt； 若a、b，则a x, b x ，a、 b,使得a= xn- a, b= xn- b，所以ab（xn- a）（xn- b）= xn-（a b）（因为a b x，且a b），ab=（xn- a）（xn- b）xn- （a b），若a b，则a bxnt，若ab,则ab，ab,总之abt， abt； 若a,b分属， 不妨设a,b,则 b x, b,使得b= xn- b= x( x- b)， 所以a（xn- b）=at,ab=a x( x- b)= x ( x- b)=bt总之a.bt,abt, abt由，以及xn 为有限集可知t为xn上的拓扑。t为单拓扑，因为at，a, axn 则a 或a若a 则a x所以 xn-a= (x-a) x , xn-a, 若a， 则b x,b,使得a= xn-b ，所以xn-a=b ，xn-a , xn-a,从而at，a,axn ，均有xn-at,故t为单拓扑，从而maxact为平凡拓扑。mimact为离散拓扑，因为由t 的构造可知，x的所有单点集均属于 从而属于t ;而tc= xn-a |at=, xn ，故x的所有单点集均属于，从而均属于tc ，又由于xn= x x，所以xn 的所有单点集均属于ttc ，故minact为离散拓扑。综合知引理2成立。任取d 则 ad ，bd ，adx，bd x，使得d= ad bd 令=（a ad ）b|a，b bd ，td=t=, xn 。引理3：td 构成xn 上的满足maxac td 为平凡拓扑且mimactd 为离散拓扑的拓扑。证： td 为xn 上的一个拓扑，因为 ，xn tda、b td若a、b中有一个为或xn，则显然有 ab、ab td若a、bt，显然有ab、ab t，从而ab、ab td若a、b中有一个属于，不妨设b，则 ，bd ，使得b=（ad）所以当a时，有ab=a（ ad）=（a）ad td, ab =a（ad ）t td；当a，则 , 使得a=xn= x（x），ab= x（x）（ ad）= x1（x2） td，ab= x（x） （ ad）=（ ad） （x） td；当a，则，b,使得a=（ ad），ab=（ ad）（ ad）=（）ad （） td（因为），ab=（ ad） （ ad）=（）ad（） td（因为）总之，a，b td，均有ab、ab td由，以及xn为一个有限集可知td为xn上一个拓扑。 td为单拓扑。由的构造可知， =， =，又因为a， b， 使得 a=（ ad），有xna=x-(a1ad)(x-b1)，由于b1bd, bdx,ad,所以x- b1 且（x- b1） b1= ，x-（a1ad） x，故xn-a, xn-a2, xn-a,即xn-atd，又因为at，a，a xn，均有xn-at，xn-a即xn-atd，所以 td为单拓扑，所以maxac td为平凡拓扑。minac td为离散拓扑，因为ttd，又因为t、td均单拓扑，所以tct，ttctdt，由引理2的结论可知tdt含有xn的所有单点集。故minac td为离散拓扑。综合可知引理3成立。引理4：对d、d,若dd则tdtd证： 因为 d、d,所以 ad、ad，bd、bd ，adx,adx, bdx, bd x，使得d= adbd, d= ad bd,从而td=t, td= t,这里=(aad)b|a,b bd ， =(a ad)b|a,b bd ，因为d d 所以 ad ad或bd bd。若ad ad,则分两种情况： ad- ad =,则由td，td的结构可知： d= adbdtd但dtd，（因为dt，若dtd，则d，从而存在a，b bd ，使得ad bd=d=（a ad）b，从而ad=aad，ad ad ，所以ad-ad 矛盾）。所以tdtd。 ad- ad，同理可证dtd但d td ，所以tdtd。若bbd则分两种情况： bd - b=，则由td，td的结构可知dtd，但d td ，（因为dt，若d td，则d， 所以存在a，b bd ，使得adbd=d=(a ad)b，所以b=b bd ，bd - b矛盾），所以td td。bd-b，同理可知d td但d td所以td td综合以上所述，td