毕业设计（论文）-Lebesgue积分的应用.doc

本科生毕业设计（论文）lebesgue积分的应用论 文 题 目： 姓 名： 学 院： 教师教育学院 专 业： 数学与应用数学（s） 年 级 、 学 号： 11级 、 11211009 指 导 教 师： 江苏师范大学教务处印制lebesgue积分的应用（江苏师范大学 教师教育学院 徐州 221116）摘要：本文利用积分理论解决分析的问题，它比积分更加方便，大大地开拓了我们的数学视野，提高了我们认识问题、解决问题的能力.关键词：积分；积分；可积我们知道黎曼积分具有一定的局限性，用它处理有些问题显得不太方便，有时甚至解决不了问题.而勒贝格积分的适用范围更加广泛，它比黎曼积分更加深刻，它能使我们更加方便、灵活的处理问题，揭示问题的本质.预备知识1、 （定理）设为可测集，为上的一列非负可测函数，当时,对任一自然数,有，令，则 2、 设为可测集，是上的实函数.如果对于任意的，作为的函数在上可积，对于的，作为的函数在上可导且，这里是上某个非负可积函数，则作为的函数在上可导，则 3、（逐项积分定理）设为可测集，为上的一列非负可测函数，则 4、（贝塞尔（）不等式）设是内积空间中的有限或可数规范正交系，那么对每个，成立不等式 .5、设是内积空间中可数规范正交系，则对任何， 6、（斯捷克洛夫定理）设是希尔伯特空间中规范正交系，若帕塞瓦尔等式在的某个稠密子集上成立，则完全.7、（可积的第三充要条件）函数在上可积的充要条件是：任给正数、，总存在某一分割，使得属于的所有小区间中，对应于振动的那些小区间的总长例1 计算 ,1、 2、 3、解 由定理可知：1、=. 2、. 3、.方法二：由定理知，对任意，存在子集，使 在上一致收敛，且，故，故. 同理可得： ， .例2 求，此处，解：方法一 令，则，作为的函数在上l可积，作为的函数在任何有限区间上可导且，这里是上某个可积函数，故 同理可得， 方法二 令，因为，故不是瑕点. ， ，.收敛，故收敛对任意给定的，因为， 所以对一致收敛，由的任意性知同理可知.（推广形式的可微性定理）设与在区域上连续，若在上收敛，对任意给定的，在上一致收敛，则.例3 在内积空间中，定义内积为，.则三角函数系为中规范正交系由预备知识4 不等式知，若函数在上可积，则 .由预备知识5得黎曼勒贝格引理，若函数在上可积，则 . .由预备知识6及定理知，上述三角函数系是中完全规范正交函数系，于是在希尔伯特空间中成立帕塞瓦尔等式，即 .即若函数在上按段光滑，则有 .证明 . 解 考察函数在上的傅里叶级数展开式得： 故由帕塞瓦尔等式有： , 即 .例4 计算.解 由逐项积分定理可得，.例5 计算 解 ，故存在，从而存在，且二者相等. . 一种错解：令则. 上式最后一步为：无意义.例6 计算. 解： 注意到.因而 ，, 又.所以 .例7 计算. 解 利用fubini定理，.例8 设，在上可积，如果对任何有界可测函数，都有 则于.证明：对任意，设是的特征函数，则 所以，同样，故 又因 所以 即 于. 例子 若连续，在上可积，如果对任何是上的有界连续函数 ，都有 , 则 .例9 证明：若在上可积，且处处有，则证： 方法一： （反证法）若 则 . 故可得 于 ， 这与 ， 矛盾. 故 方法二： 由在上可积，故至少存在一个连续点，已知处处有，所以 由极限的保号性知，存在 ，使得当 时， ，故 .例10 证明：若在上连续，在上可积，则在上可积.证：方法一：由于，则的连续点也是的连续点.在上可积，故其不连续点的测度为，从而的不连续点的测度为，因而在上可积. 方法二：任给，.由于在上一致连续，因此对上述，存在，当 且时， . 由假设在上可积，对上述正数和，存在某一分割，使得在所属的小区间中，的所有小区间的总长；而在其余小区间上. 设，.由以上可知：在中的小区间上，；至多在所有上，而这些小区间的总长至多为. 由可积的第三充要条件，证得复合函数在上可积. 例11 证明黎曼函数： 在上可积. 证：由于黎曼函数在内任何无理点处都连续，任何有理点都不连续，故 的不连续点为可数集，从而为零测集，即黎曼函数在上可积.同理可知，狄利克雷函数的不连续点全体为，其测度为1，故狄利克雷函数在上不可积.区间上的单调函数可积.例12 证明：若，则 可积 可积.证： “充分性“ 由可积，故的不连续点为零测集，又的连续点也为的连续点. 事实上，设为的任一连续点，则由 及在的局部保号性知在局部有界，故在连续.从而的不连续点至多为零测集，可积.“必要性“：由可积，则的不连续点为零测集.对于，有 .故的连续点为的连续点，从而的不连续点为至多零测集，可积.方法二：由于在上可积，从而有界，设，任给，由于在上一致连续，从而对上述，存在，当，且时，有 . 由于在上可积，对上述和，由可积的第三充要条件知，存在某一分割，使得在所属的区间中的所有区间的总长，而在其余区间上. 由上可知，在的区间上，即 ，从而有，这里，于是有，即；另一方面，至多在上，而这些区间的总长至多为，故由可积的第三充要条件知 在上可积.类似上述证明可知，我们有更一般的结论，即：若，则 可积 可积参考文献1 华东师范大学数学系著，数学分析上、下册m，第三版，高等教育出版社.2 程其襄、张奠宙、魏国强、胡善文、王漱石著，实变函数与泛函分析基础m，第三版，高等教育出版社.3 华东师范大学2010年数学分析考研试卷.4 郭大钧、黄春朝、梁方礼、韦忠礼著，实变函数与泛函分析m，山东大学出版社.5 欧阳光中、朱学炎、金福临、陈传璋著，数学分析上、下册m，第三版，高等教育成出版社.6 陈建功、宋福陶、孙玉莉著，lebesgue测度与积分问题与方法m，哈尔滨工业大学出版社.the application of lebesgue integralliu yang(college of teacher education jiangsu normal university xuzhou 221116o)abstract: in this paper, we use lebesgue integral theory to solve the analysis problem, it is more convenient than riemann integration, greatly opened