毕业设计（论文）-有限元法在分析不规则多边形板稳定中应用.doc

1绪论1.1研究目的和意义板的稳定问题一直受到研究者的关注。已有大量的文献在不同的刊物上出版和发表。从我们所能得到的文献可以看出，多数的稳定分析都集中在：矩形板、圆板在均布荷载或集中荷载的作用下，且边界条件较简单的情况。其中对面内均布荷载作用下圆板力学特性的研究是比较成熟的。因为这种荷载作用下的面内应力问题可以得到解析解，从而大大地简化了分析过程。而对于不规则形状板的稳定问题（屈曲），就我们可搜集到的文献来看，这方面的研究结果是比较少的。这主要是由于在研究薄板的稳定问题时，常会遇到一些较复杂的超越方程，即用这些超越方程的最小根来确定其临界载荷。边界条件复杂，超越方程也趋于复杂。另一方面，基于能量原理的各种解法也会由于边界条件的复杂性，产生挠曲函数选择的困难。这使得某些情况下不得不放弃其解析解而采用近似解法或数值解法。而随着计算机技术的高速发展，近年来，以有限元法、边界元法为代表的数值方法获得了极大的发展，很多解析法无法解决的问题。例如几何形状不规则或者板面上有缺损的板的稳定问题，借助于这些方法，问题变得可解了。这正是本论文将重点展开研究的内容。薄板结构在近代的科学技术及工程结构的设计和分析中有着广泛的应用价值，如：楼板、飞行器躯体及机翼、舰船甲板和外壳、海洋平台导管架、桥梁、化工设备与能源工程等主体结构都采用板构件。而且由于薄板的二维结构作用，结果使整个结构比较轻，因此也就具有很大的经济价值。这就使薄板在工程中能够得到广泛的应用。很多结构，如集装箱、船舶等要求完全封闭的结构，使用板就能很容易的满足这一要求，而不需要另外再增加护盖，这样又进一步的达到了节省材料和劳动力的效果。虽然薄壳结构也可以达到上述优点，甚至效果能更好些，但是由于很多的结构构件需要有平面条件，因此妨碍了使用具有单曲面或双曲面的结构。利用壳体的三维承载能力可以达到更多的节省材料的效果，但是，由于它的造价较高，这一效果也就被抵消了，所以还是愿意采用薄板结构。因此就需要我们对这些薄板结构进行力学分析，以确保其稳定可靠，经济合理。所以对板结构的研究也就日益受到广大学者的重视。还有，虽然历史上我们对薄板的理论研究已经有一些成果，但研究对象主要集中在圆板、矩形板和三角形板，以及其他一些规则形状的薄板，且边界条件也很简单。研究方法往往受结构形状和边界条件的限制，对于不同的形状、不同的边界条件会有不同的理论公式。然而在实际生活中，必然会遇到各种形状的复杂薄板结构，这就需要实际工程人员掌握不同的理论背景以及高深的数学知识，而这就加大了实际工程人员对不同情况板结构的分析计算难度，也加大了他们的工作量。而且从广义上来说，板结构的研究理论也有助于广泛结构的力学分析计算。所以，我们研究复杂薄板结构的稳定问题不但有理论上的重要意义，还有实际工程意义。随着大型高速电子计算机和先进的测试技术的出现，使解决工程中复杂的稳定问题成为可能。所以，本文就适应性广、易于掌握的有限元方法进行了研究，以期用它解决不规则形状的薄板结构稳定问题时能得到较好的应用效果。1.2研究现状结构力学的发展总的来说是从研究静力问题开始的，然而关于板的首次分析和实验研究，几乎可以说是从板的自由振动开始的。板的薄膜理论的第一个数学表达式是由欧拉（l. euler）于1766年发表的，他利用两组互相垂直张拉的弹簧的比拟，解决了矩形和圆形弹性薄膜的自由振动问题。欧拉的学生柏努里（j. bernoulli）引用了格构比拟，将欧拉的比拟推广到板上。德国物理学家启拉第尼（e. f. f. chiladni）发现了各种自由振动的振型。他在水平板上进行了实验，将粉末均匀地撒在水平板上，振动以后便形成了有规则的图形，从而得到平板各阶振型的节线和其相应的频率。这个实验引起了法国人的极大兴趣，1804年，法国科学院邀请启拉第尼表演了这一实验，拿破仑亲临参加并对这次实验留下了深刻影响，在他的提议下，法国科学院悬赏征求平板的数学理论。1811年10月，莎非格门（sophiegermain）利用欧拉在梁弹性曲线方面的工作，对弯曲变形能的积分式进行变分，导出挠度曲线的微分方程，从而推演出它的解。但其中却少了有关翘曲影响的一项。这个缺陷被当时的一位鉴定人拉格朗日（j. l. lagrange）所察觉，他加进了遗漏项，因此成为正确使用板的微分方程的第一人，这个未经推导的微分方程是在拉格朗日死后才从他的手稿中被发现的。随后，泊松（s. d. poisson）进一步改进了板的理论，他设想板由许多质点组成，相互之间有分子力的作用，通过一组质点的平衡条件成功的得到了薄板的微分方程，但在这个解答中，板的抗弯刚度d被规定为一常量1。提出第一个令人满意的板弯曲理论要归功于纳维（c. l. navier），他在1823年发表的论文中，同样认为平板由许多质点组成，但假定质点分布在板的厚度内，弯曲时，质点的位移与板的中面平行，且与该平面间的距离成正比，由此得到板弯曲的正确微分方程。由于纳维认为质点之间相互作用力只与它们之间的距离改变成正比而与方向无关，所以他的结果只包含一个弹性常数。为了求解某些边界值问题，他利用了fourier三角级数使微分方程转换为代数式，这样就能求出精确正确解1。 1850年克希霍夫（g. r. kirchoff）发表了一篇重要论文。在这篇论文中，他阐述了如今己被接受的两个基本假定: a.原来垂直于平板中面的直线，变形后仍保持为直线且垂直于变形后的中面，即：直法线假设。b.在横向载荷作用下薄板产生微弯时，板中面并不伸长。克希霍夫根据这两个假定列出薄板弯曲变形能的正确算式，并应用虚功原理进行变分运算，导出了著名的薄板弯曲微分方程。同时，他指出边界上只存在两个边界条件。随后，开尔文（lord kelvin）提出了沿着板的边缘可把扭矩转换为等效剪力这一有关边界方程条件的见解，从而使得在薄板边缘上只承受两种力的作用，即剪力和弯矩2。 虽然薄板微分方程由克希霍夫导出并用于声学，但在工程中运用板的理论直到20世纪才开始。在近代结构中，莱维（m. levy）首先研究了对边简支另两边为任意支撑条件的矩形板，并成功的得到了正确的解答。这个解具有很大的实用价值，工程师们研究了多种特殊的载荷情况，并积累了最大挠度和最大弯矩的数表。巴泊考维奇创造性地发展了薄板弯曲和稳定性的计算方法，将莱维解推广到对边固定而其它两边为任意支承的矩形板。铁木辛柯（s. p. timoshenko）对数学上比较困难的四边固定矩形板提出了一种更为一般的解法，它能用于包括集中力在内的各种载荷形式。哥尔布诺夫巴沙道夫得到了半无限弹性体上薄板弯曲的近似解。张福范研究了复杂情况下简支矩形板、固定矩形板、连续矩形板和悬臂板等的解法，丰富了经典的解析方法。随着航空工业的兴起，各向异性板受到了学者们的关注，胡贝尔（m. t. huber）研究了正交各向异性板，在这一领域内的主要工作是由前苏联学者完成的，随着这方面一系列专著的出版，标志着这一领域的研究进入了高潮。平板大挠度问题的基本微分方程由克希霍夫和克莱勃许（a. clebsch）导出，布勃诺夫研究了长矩形板在均布载荷下的弯曲问题，铁木辛柯讨论了圆板大挠度问题。目前最常用的是摄动法和基于变分原理的李兹法、伽辽金法等近似解法3。综上所述，近百年来所出版的有关弹性薄板及其应用理论分析方面的书籍、资料和研究成果，几乎都是在克希霍夫“直法线”假定的前提下来讨论板结构分析的经典理论内容。经典理论的“直法线”假定规定原垂直结构中面（线）的法线变形后仍保持为直线，且垂直于此变形后的中面（线），也就是垂直剪切变形为零。经典理论的假定，对于板理论的发展起着至关重要的作用，同时也为板理论的研究奠定了坚实的基础。我们也注意到，这一假定被推广应用到其它诸多领域，如梁、拱、框架、刚架、薄壳等问题。正是由于这一假定，才使复杂的连续介质力学理论能够应用于大部分结构构件的计算，这一假定的提出以及相应的经典理论的建立和进一步的发展，对于近世纪来的科学技术及生产的发展起着巨大的促进与推动作用，它已经成为目前大量的工程结构设计计算的重要基础之一。随着科学技术的发展，现代工程结构越来越朝着大型化、智能化、复杂化等方向发展，同时还涉及到一系列高压、高速、高温等问题，必然会使结构越来越复杂，这也是复杂板结构日益引起注意与重视的原因之一。承受高压载荷的设备除了提高材料强度之外，增加结构厚度是大家都会想到的方法，但是对于要求结构轻便的构件来说，尤其是在航天航空行业里，这显然不是一个好的选择，而且还会增加材料用量，造价必然抬高。因此，事前对板构件进行稳定分析，得到它的临界载荷并分析出构件的最薄弱部分，以便进行加固。这样就可达到轻质高强、经济合理的效果。板稳定性研究的重要内容是确定失稳临界荷载。而解析法对于不规则多边形板的求解有很大的困难。有限单元法的应用开辟了数值求解板稳定性的问题的新领域。同时由于大型高速电子计算机和先进的测试技术的出现，更使解决工程中复杂的稳定问题成为可能。1.3本文的主要内容本文的研究课题主要是应用有限元理论研究不规则形状薄板的稳定问题。要求的研究方法具有一般性和通用性，换句话说，也就是能够求得各种形状的薄板的屈曲模态及临界载荷。采用的方法属于数值法。此方法的特点主要有两方面：首先、此方法易于掌握、操作方便、精度高且适用范围广；其次、其结果可用列表或云图形式表示，形象直观。无论是从精确性还是普遍性来说，这种方法都有其独特的优越性，与传统的解析法相比，其优越性是不言而喻的。本论文的主要内容如下：1）综述薄板理论的发展，介绍板理论研究所面临的问题，阐明了本研究的意义，并且给出本文研究的主要内容。2）介绍弹性薄板基本理论，以及弹性体动力学基本方程及板稳定理论，并给出了薄板小挠度的控制方程。3）详细介绍有限元方法，包括有限元基本思想及分析步骤，并介绍了一些单元类型。为更好的理解有限元法及应用有限元法分析板稳定问题打下了理论基础。4）应用有限元方法分析板的稳定问题。其中介绍了ansys软件中的结构分析类型及其分析步骤。重点介绍了ansys软件中的屈曲（特征值）分析，并应用ansys软件计算了几个算例。此部分是本论文的研究重点，即以有限元方法分析板的临界载荷并得出相关变形图，并对结果做必要的说明。2板的基本理论 2.1板的概念板的稳定问题是近代许多工程部件设计与研究的关键。诸如各种机械、船舶、大跨度结构的屋顶以及各种新型的建筑都有各种各样的板结构。在实际工程中，我们经常会遇到平板的设计。首先给出平板的定义，中面为一平面的扁平连续体称为平板。当厚度远小于中面平面尺寸时称为薄板。对于厚度尺寸远小于平面上另两个尺寸的薄板来说，可以采用一系列的反映薄板力学特性的简化假设，使原始的三维问题降为二维问题，这样在处理实际问题时，便简单多了4。实际中对板的分类，根据不同的标准，有不同的方法：1）从板的形状上分为：矩形板、圆板、环形板和杂形板。2）从板受的荷载形式上分为：均布荷载、集中荷载、任意荷载。3）按照板的厚度区分为：等厚度的板、变厚度的板。4）按照板的边界支承条件可分为：简支边、固定边、自由边及弹性边界。2.2板的稳定理论及相关概念52.2.1 弹性系统的平衡物体在外力作用下的平衡状态具有三种可能形式：稳定平衡状态，不稳定的平衡状态和随遇平衡状态。稳定的,随遇的,不稳定的,(c)(b)(a)图2-1弹性系统平衡状态fig 2-1 equilibrium state of elastic system如图2-1所示的圆球，如果圆球在其平衡位置附近作无限小偏移后（图a），仍然能够自动回复到它原来的平衡位置，则这种状态为稳定的平衡状态；如果圆球微小偏离平衡位置后不能再回复到它的原来位置，反而继续偏离下去（图c），也即最小的扰动也将使平衡完全丧失，则这种状态称为不稳定的平衡状态或者失稳状态；而随遇平衡状态则是从稳定平衡状态向不稳定平衡状态过渡的一种中间状态（图b）。弹性系统平衡的稳定性取决于该系统的几何构造、约束条件、弹性力及外载荷的施加方式等因素。从静力学角度来看平衡的稳定性，在系统所受载荷不变的情况下，给系统的基本平衡位置以微小干扰，使之偏离原位，若系统对任意干扰都能回复到基本平衡位置，则在原位置的平衡是稳定的；若系统对某一个微小干扰不能回到原位，而且偏离原位越来越远，则系统在原位置的平衡是不稳定的；若系统在基本平衡位置外，至少存在另外一个平衡位置，除此而外不存在使系统不能回到原位且偏离越来越远的干扰，这时的稳定是中性的。nn(c)(b)(a)图2-2弹性薄板受压示意图fig 2-2 elasticity thin-plate press sketch map材料力学中曾经研究过的压杆的稳定问题是受压物体失稳的最简单的例子，薄板受压也会发生类似的失稳。弹矩形薄板在均布载荷n作用下（如图2-2a），当n较小时，薄板处于面内压缩变形的稳定平衡状态；当n逐渐增大到某一值时，（为临界载荷值）薄板将处于一种临界的平衡状态，当有微小侧向力或其它干扰时，板由变弯来降低外力势比缩短更为容易，因而薄板将突然发生弯曲，这种变形在外力和干扰移去后仍不能恢复，是一种不稳定的平衡状态（如图2-2c）。作用在板自身平面内的力，可以是、或者是这些力的联合作用；并且这些力沿着板周边的分布可以是均匀分布，也可以是不均匀分布或按某一规律分布的。就丧失稳定的形式而言，可分为两大类： 第一类丧失稳定问题（质变失稳）结构屈曲前的平衡形式为不稳定，出现了新的与屈曲前平衡形式有着本质区别的平衡形式，结构的内力和变形都产生了性质上的突然性变化。 第二类丧失稳定问题（量变失稳）结构屈曲时其变形将大大发展（数量上的变化），而不会出现新的变形形式，即结构的平衡形式不发生质变。就平板而言，此类失稳形式常发生在具有初曲率的平板上。本文所研究的薄板的稳定问题，仅限于第一类失稳的情形。2.2.2临界载荷对于第一类丧失稳定问题，随遇平衡状态是以变形出现分支点为标志。以细长杆受压为例，分支点是指压杆由直线稳定平衡状态转变为不稳定平衡状态的分界点。经典的稳定性理论中临界载荷的定义便是变形出现分支点的荷载。分支点是一不定平衡点，分支点失稳的基本特征是在稳定平衡状态附近存在着另一个相邻的平衡状态。即在临界载荷作用下，平衡的形式可能是稳定的，也可能是不稳定的，取决于屈曲的形状。对于弹性薄板稳定问题的研究，由于其屈曲的形状是不定的，我们最关注的是临界载荷的大小。所谓薄板的稳定问题实质上是求板的最小临界载荷的问题，所谓平板的最小临界载荷就是使平板丧失原有平衡状态所需的最小外力数值。在进行板的稳定分析时，我们通常是根据受压板处于随遇的平衡状态，由其边界条件来列出稳定问题的公式。2.2.3弹性板的稳定条件有关弹性薄板的稳定问题，在工程中有着重要的意义。例如，船舶、航空、航天结构中所应用的板通常是承受平面力的作用，当这些力逐渐增加，在某些数值下即使没有横向载荷的作用，板也将丧失其稳定性。板稳定性理论可以分为经典线性稳定理论和非线性稳定理论。稳定性问题本质上是属于非线性的，经典线性理论是数学上线性化的近似理论。结构稳定性问题的研究经历了由静载到动载、由弹性到塑性的研究历程。稳定性问题虽然有着各种不同的定义，但粗略的讲，是研究系统在外界干扰微小时，系统状态的扰动是否是微小的问题，如果系统状态的扰动发生了较大的变化，则称之为系统的失稳或屈曲。从数学上说，结构在静载作用下出现屈曲（即失稳）可以归结为平衡方程的多值性问题。可以这样理解所谓的屈曲，在一定荷载作用下的结构，若存在其它平衡状态，那么原来的平衡状态就是不稳定的，使结构具有上述性质的最小载荷即称为临界屈曲荷载6。板稳定性研究的重要内容是确定失稳临界荷载。一般，这些问题的研究是在弹性力学线性小挠度理论下进行的，且要受到下列条件限制：1）研究薄板稳定问题是在克希霍夫（kirchoff）的三个假设下进行的：a垂直于中面的正应变极其微小，可以忽略不计；b应力分量、和远小于其他三个应力分量，它们引起的变形不计；c中面内各点无平行于中面的位移。克希霍夫（kirchoff）的三个假设又称为“直法线”假定。其中规定原垂直结构中面（线）的法线变形后仍保持为直线，且垂直于此变形后的中面（线），也就是垂直剪切变形为零。它是梁弯曲理论中平截面假设的发展。根据这个假设就等于忽略了剪应力、所引起的剪切变形。实际上，薄板弯曲变形时，中面法线所产生的转角远大于剪切变形引起法线的扭曲，因此，在研究薄板的变形时，可以将这种微小的影响略去。同时这一假设还表明可以略去板的横向应变，即平板弯曲时沿板厚方向各点的挠度相等，也就是都与中面的挠度相同。2）由于物理本质及荷载的复杂性，一般研究薄板稳定问题都不考虑体积力的影响。我们知道，在工程实际中体积力是存在的，但一般对于研究薄板的稳定问题而言，薄板中的体积力与作用在中面内的载荷相比很小，可以忽略不计。3）薄板承受的一般载荷总可以分解为两部分，一部分为作用在板中面内的所谓纵向载荷，另一部分为垂直于中面的所谓横向载荷。我们只研究仅受纵向力的情形，并假设薄板在失稳以前板平面仍保持为平面。2.2.4板稳定问题的解法综述对于薄板稳定问题的探索由来已久，这主要是由于其在工程设计中的重要性所决定的。有关薄板稳定问题研究的文献并不少见，求解的方法也各有不同。这些方法，总体而言可分为两大类：解析法和数值法。对于解析法，就其寻求解的途径而言，又可分为积分法和能量法两大类。积分法主要是基于对微分平衡方程的直接积分，并进而研究其边界条件，最终获得其理论解。由于薄板稳定问题最终归结为解一个四阶微分方程的边值问题，因而积分法往往对于规则几何模型和简单边界条件的情形是很有效的。而能量方法是利用能量驻值条件（如一阶变分等于零）和广义坐标，避免求解微分方程，将其化为有限自由度体系的标准特征值问题求解，求得的解的精度取决于假定挠度函数与真实挠曲函数的近似程度。应用这类方法时可基于不同的能量原理，所以对试解函数的选择也会有不同的要求。下面对传统的解析法作以简单介绍5：那维法：对于四边简支矩形板，应用该方法可以得到一双重三角级数形式的“精确解”，其收敛性主要取决于载荷函数的连续性，在集中载荷的作用下那维解的收敛是十分缓慢的，而在连续分布的横向载荷作用下的那维解收敛性是良好的。由于该法适用范围小，其推广受到一定限制。叠加法：与其它方法相比，叠加法的优越性在于它可以处理各种复杂边界条件和载荷条件。其基本思想与结构力学中力法的基本思想是一致的，出发点是解除多余的边界约束代之以约束反力（或反力偶），将复杂边界条件的薄板分解为若干那维法或列维法能够适用的基本结构，求得基本结构的那维解，叠加后使其满足原结构的边界条件，最终获得原问题的解析解。该法的不足之处是对于边界条件越复杂的情况基本结构也就越多，这势必造成计算上的繁冗。伽辽金法：在求解薄板问题时，假设用一个无穷级数表示薄板的挠曲面方程，不过假设的挠曲函数要满足全部的边界条件。包括几何边界条件和力边界条件，其系数的确定是通过内力和外力所作的总功的变分为零得到的。不过要寻找一个满足全部边界条件的挠曲函数也是相当困难的。广义变分原理法：该法的基本思想是根据不同边界条件假设挠曲函数及边界位移函数。由广义变分原理变分式确定的边界条件确定未知系数从而获得板的近似解。该法的建立说明了广义变分原理的理论价值，也为求解复杂边界条件矩形板的各类问题开辟了新路。不过不得不承认，该方法带来了计算上的繁冗以及挠曲函数假设困难等问题。就以上的方法及笔者手头的资料来看，虽然对于薄板的稳定问题研究很多，但多局限于边界条件较简单、几何形状较规则的情况，这主要是由于研究薄板的稳定问题时，常会遇到一些较复杂的超越方程，边界条件复杂，超越方程也趋于复杂，因而计算极其繁冗。另一方面，基于能量原理的各种解法也会由于边界条件的复杂性，产生挠曲函数选择的困难。这使得在某些情况下不得不放弃其解析解而采用近似解法或数值解法。随着计算机技术的高速发展，近年来，以有限元法、边界元法为代表的数值方法获得了极大的发展，很多解析法无法解决的问题（例如几何形状不规则或者板面上有缺损的板的稳定问题）借助于这些方法，问题变得可解了。可以说有限单元法的应用开辟了数值求解板稳定性问题的新领域。2.3弹性力学基本方程7 本论文是在弹性理论范围内来研究板结构及其稳定性的，所以先介绍一下弹性理论，以便于我们对板的受力情况的理解。弹性体在受力时将产生位移。在直角坐标系中，弹性体内一点的位移可以用它在x，y，z三轴上的投影u，v，w来表示，一般沿坐标正方向为正，沿坐标轴负方向为负。u，v，w为弹性体的位移分量。在动力学问题中，三个位移分量同时是空间坐标x，y，z及时间坐标t的函数。在直角坐标系中，弹性体内一点的形变可以用六个应变分量来表示：正应变，分别表示沿x，y，z方向的单位长度伸缩。剪应变：，分别表示y与z，z与x，x与y两方向微小线段间直角的改变。正应变以伸长为正，缩短为负；剪应变以直角变小为正，变大为负。弹性力学中我们己经学习过了，如果已知一点的六个应变分量，则就可以求得经过该点的任一微小线段的正应变以及经过该点的任意两个微小线段之间的角度改变，因此这六个应变分量可以完全确定一点的形变状态。相对于动力学问题来说，六个形变分量同时是空间坐标x，y，z及其时间t的函数。2.3.1形变分量与位移分量之间的关系式通过几何学方面的推导，忽略高阶微量，可以建立形变分量和位移分量之间的关系式：， （2-1）， （2-2）由于有形变，弹性体内产生应力。九个应力分量为，。在直角坐标系里我们可以取出一个小的正六面体，其各面与各个坐标轴垂直，将每一个面上的应力分解为一个正应力和两个剪应力，共计9个分量。，分别是作用在垂直于x，y，z轴面上，沿着x，y，z的方向。，中的前一个角码表示作用面垂直于那个轴，后一个角码表示作用方向沿着那个方向。2.3.2形变分量与应力分量之间的关系式 （2-3） （2-4） （2-5）， （2-6）其中e是弹性模量，g是剪切模量，是泊松比，对于各向同性材料，这三者的关系是： （2-7）上面叙述的公式就是我们通常所说的虎克定律。我们通过这些公式可以看出应变分量与应力分量之间的关系。2.3.3运动方程弹性体内一点附近取出一个微小正六面体，动态平衡，计入体力分量及其惯性力，体积力沿坐标轴的分量为，。这样我们可以得到如下的运动方程。 （2-8） （2-9） （2-10） 为弹性体的质量密度，对于弹性体的动力学问题，一共有十五个未知数：三个位移分量u、v、w，六个应变分量：、和六个应力分量，。一共十五个未知量，满足十五个方程：三个运动方程，六个几何方程，六个物理方程。还要满足相应的边界条件和初始条件。将几何方程代入物理方程，再代入运动方程，可以得到直角坐标系下，弹性体动力学基本方程组。2.3.4弹性体动力学基本方程组8 （2-11） （2-12） （2-13）公式中：。从以上公式可以看出，三维的弹性动力学方程是较为复杂的，除少数特殊情况，一般是无法求得其解析解的，正是为了降低问题的难度，人们不得不从板结构的特点出发，建立各种相应的近似理论。2.4弹性薄板理论的基本动力学方程6弹性薄板横向振动理论的基本假定为：a.变形前垂直于中面的直线在变形后仍为一直线，并保持与中面垂直。b.忽略沿着中面垂直方向的法向应力。c.只计入质量的横向惯性力，而略去其转动惯性力。d.无沿中面面内的变形。假定a就是所谓的“直法线”假定，是薄板振动理论的基础。这一个假定的实质是使板件内整个变形状态只取决于中面挠曲面形状。将求解三维变形体的问题变为确定二维挠度曲面的问题。假定b则认为垂直方向的法应力也比弯曲应力小的多。以上两点对于厚度尺寸比平面尺寸小的多的薄板而言是近似成立的。下面将给出弹性薄板理论的基本动力学方程。假定a认为法线永远与中面垂直，即横向剪切变形为零，也就是认为横向剪应力比平面方向的弯曲应力要小得很多。假定b认为垂直方向法向应力比弯曲应力小得很多。这两点对于厚度尺寸比平面尺寸小得多的薄板而言是近似成立的。工程上通常认为当板厚h与板的最小平面跨度b之比h/b1/10时，就可以看成是薄板。假设d认为中面内不产生拉压、剪切，从而也就没有中面内变形，即认为中面内薄膜力远小于横向荷载产生的弯曲应力。考虑一个具有任意边界形状的各向同性均质等厚薄板，取板的中面为xoy平面，z轴垂直于xoy平面，板厚为h，受截面为z=-h/2处，中面挠曲函数为w（x，y，t）。oxyzh图2-3各向同性均质等厚薄板示意图fig 2-3 isotropy homogenate uniform thickness thin-plate sketch map2.4.1位移分量由弹性体动力学几何方程（2-1）和（2-2）及其假定（1）得： （2-14） （2-15）则有： （2-16） （2-17）式中，为中面位移，根据假定（4）应该为零，因此有板内平面位移： （2-18） （2-19）2.4.2应变分量将板内位移分量代入弹性体动力学方程式（2-11）式（2-13）可求得板内应变分量： （2-20） （2-21） （2-22）式中，分别为挠曲面的曲率与扭曲率。2.4.3应力分量由弹性体动力学物理方程公式（2-3）（2-6），并且考虑到假定（2）,，有： （2-23） （2-24） （2-25）解出应力分量，代入应变表达式： （2-26） （2-27） （2-28）2.4.4内力分量我们定义板内截面上各点正应力、和水平剪应力对中面取矩，沿厚度积分为弯矩、扭矩： （2-29） （2-30） （2-31）垂直剪应力、沿厚度积分为剪力： （2-32） （2-33）求积分得到弯矩、扭矩表达式： （2-34） （2-35） （2-36） （2-37）上式d为板的弯曲刚度或抗弯刚度。综上所诉，采用弹性薄板理论基本假定，则板的各位移分量，应变分量，应力分量，内力分量均只是取决于二维挠曲面函数w（x, y, t），从而达到了将三维弹性体问题化为二维板件问题的目的。2.4.5运动方程从薄板中以外法线分别平行于x，y轴的横截面取出微分单元体，单元体的侧面上作用着内力，顶面上作用着载荷，将微小分离体上的内力向中面简化后，如图2-4所示，面素各边上作用着内力和内矩，q为中面单位面积上的载荷。yxzoq图2-4板件微体示意图fig 2-4 plate microbody sketch map考虑如图2-4所示板件微体平衡示意图，根据假定（3），忽略惯性力矩有： （2-38） （2-39） （2-40）代入得到剪力表达式： （2-41） （2-42）式中为laplace算子。2.4.6基本方程将公式（2-41）和式（2-42）代入式（2-40），得到薄板横向振动的基本微分方程： （2-43）式中为板件质量密度，q为单位面积上板件所承受的横向动荷载。这是关于挠曲面函数w（x，y，t）的四阶偏微分方程。若求得满足边界及其初始条件的方程（2-43）的解w（x，y，t），则可求得内力，应力，应变等。很明显，薄板小挠度振动的基本问题归结为在给定动荷载及边界条件和初始条件下的定解方程。2.4.7边界条件薄板振动所应满足的边界条件和薄板静力问题一样，一般有固定、简支、自由、弹性支承等几种。下面给出了对于边界的固定、简支、自由和弹性支承几种边界条件。z为边界的法向。1）固定边：其边缘上各点挠度为零，以及沿该边垂直方向的挠度斜率为零，即：；2）简支边：其边缘上各点挠度以及弯矩为零，即：；3）自由边：其边缘上各点弯矩、扭矩、剪力为零，即：；4）弹性支承边：其边缘上各点弯矩、扭矩为一定值，即：其中、为弹性边界的弹性系数。2.4.8初始条件在薄板情况下，挠度w在初始时刻应满足的沿着板面给定的挠曲与其速度的分布：2.5弹性薄板的控制方程结构稳定性问题的研究经历了由静载到动载、由弹性到塑性的研究历程，稳定性问题虽然有各种不同的定义，但粗略地讲，是研究系统在外界干扰微小时系统状态的扰动是否也微小的问题，如果系统状态的扰动发生了较大的变化，则称之为系统的失稳或屈曲。由图2-4板件微体示意图，我们可以写出弹性薄板在横向荷载作用下小挠度问题的平衡方程： （2-44） （2-45） （2-46）将（2-44）、（2-45）式代入（2-46）得到小挠度的基本方程为： （2-47）注意，式（2-47）中没有平行于中面的外力作用。如果板受有平行于中面的外力作用，则需考虑横向荷载和纵向荷载的共同作用，由于板很薄，可以假定板中有平行于中面的沿板厚不变的纵向应力、和。定义由外载q在中面单位长度上引起的内力是： （2-48）由图2-4板件微体示意图知，沿xyz坐标轴的平衡方程为： （2-49） （2-50） （2-51）这由（2-44）（2-51）式，我们立即可以得到弹性薄板在横向荷载和纵向荷载共同作用下小挠度问题的弯曲控制方程： （2-52）在分析面内力作用下薄板的屈曲问题时，只需将横向载荷取为零，则得到小挠度问题的屈曲控制方程： （2-53）显然（2-53）式有一个解为，这个解表示在纵向荷载作用下的板的平面平衡状态。当板中压力较小时这一平衡状态是稳定的，意味着如果要使薄板在纵向荷载作用下进入弯曲变形状态就必须施加干扰力，而且一旦除去干扰力，薄板将恢复其原有的平面平衡状态。所谓的板的屈曲就意味着寻找方程（2-53）满足边界条件的非零解，解并不是所要求的解，非零解表示板的平面平衡状态是不稳定的，薄板在干扰力作用下将发生弯曲，而且一旦除去干扰力，薄板也将处于这种弯曲状态。因此，板的屈曲是指板在纵向面内荷载作用下出现弯曲的变形形式。屈曲的临界荷载就可以理解为保持平面平衡状态的最大纵向荷载或者是维持弯曲变形形式所需的最小纵向荷载。3有限元理论科学计算的兴起是20世纪最重要的科学进步之一。著名计算物理学家、诺贝尔奖获得者wilson教授在20世纪80年代曾指出9：“当今的科学活动可分为三种：理论、实验和计算。实验科学家从事于测量和设计科学设备及利用这些设备去进行测量，致力于可控、可重复实验的设计以及分析这些实验的误差；理论科学家研究实验数据之间的关系，这些关系满足的原理（如牛顿定律、对称性原理等）及把这些原理运用到具体特殊情形所需的数学概念和技术。计算数学家构造求解科学问题的计算方法，把这些方法软件化，设计和进行试验，分析这些数值试验的误差。他们研究计算方法的数学特性，通过计算揭露所求解科学问题的基本性质和规律。”近年来，在各种科学与工程领域中都逐步形成了数值计算类的学科分支，如计算力学、计算物理、计算化学、计算生物学、计算地震学等。力学产生于工程实践，发展于工程实践，并最终服务于工程实践。随着计算机的高速发展，计算力学得到了前所未有的进步。通过计算机的数值模拟进行工程设计与校验，也越来越成熟，从而形成了一个独立的行业cae。以飞机设计为例，其中的风洞试验就可以采用cae软件进行数值模拟来代替，这样不但节约大量研发经费而且也大大缩小了研究周期。完全依赖计算机仿真设计的“波音777”型飞机己经上天。所谓cae是用计算机辅助求解复杂工程和产品结构强度、刚度、屈曲稳定性、动力响应、弹塑性等力学性能的分析计算以及结构性能的优化设计等问题的一种近似数值分析方法。它融合了计算机技术、软件工具、力学算法和工程知识等方面的知识，而且它还与时俱进，各项功能正不断地得到改进和提高。随着计算机的高速发展，它逐渐成为力学工作者解决工程问题最重要的手段之一。而cae的基础就是各种数值分析方法，其中最成熟且最具有应用价值的是有限元方法。自上个世纪五十年代出现有限单元概念以来，有限元方法因其特别适合在计算机上实现，并对各种力学问题表现出广泛的适用性。因而在工业应用需求的推动下，发展非常迅速。其基本概念是将一个形状复杂的连续体的求解区域分解为有限个形状简单的子区域，即将一个连续体简化为由有限个单元组合的等效组合体，通过将连续体离散化，把求解连续体的场变量（应力、位移和温度等）问题简化为求解有限的单元节点上的场变量值。此时求解的基本方程将是一个代数方程组，而不是原来描述真实连续体场变量的微分方程组，得到近似的数值解。求解的近似程度取决于所采用的单元类型、数量以及对单元的插值函数。有限元法是利用数值计算的途径求解力学问题近似数值解的一种方法。目前，有限元方法不仅适用于结构的静力分析，还适用于结构的动力分析、优化设计及稳定性分析，既可以求解固体力学问题，也可以处理流体和传热等问题，应用十分广泛。可以说有限元法对工程问题起到的指导作用，是手工计算、经验设计所不可比拟的。正因为有限元技术和计算机技术的飞速发展，使得工程问题数值化、物理问题定量化成为现实。3.1有限元理论基本思想及分析步骤有限元方法可以避免建立问题的控制微分方程，因而对许多问题、特别是对许多复杂的边值问题的求解十分有效，应用前景非常广阔，在实际工程中的应用也是如此。有限元方法的基本思想是10：将一个连续体离散化，变换成为由有限数量的有限大的单元体的集合，这些单元体之间只是通过结点来连接和制约，用这种变换了的结构体系代替原来真实的连续体之后，采用标准的结构分析的处理方式后，数学上的问题就很自然的归结为求解线性方程组的问题了。从物理角度理解，有限元法是将无限个质点组成的连续体转化为有限个单元的集合体，单元间节点处以铰链形式连接。如果能求得各单元的弹性特性，就可以求得组合结构的弹性特性。这样，在一定的约束条件和载荷作用下，就可求出这各节点的位移，进而求得单元应力。从数学意义上讲，有限元法实际上是把微分方程的连续形式转化为线性代数方程组，以便进行数值求解。进一步讲，就是将求解区域单元离散化，单元内任意一点的位移可用单元节点位移的插值来表示，按原问题的控制方程和约束条件，可求出这个节点的位移。推广到其他连续域问题，节点未知量也可以是温度、速度等物理量。有限元法的分析过程可分为六个步骤，具体如下11：1）结构的离散化结构的离散化是有限单元法分析的第一步，它是有限单元法的基础概念。所谓离散化简单地说，就是将要分析的结构物分割成有限个单元体，并在单元体的指定点设置结点，是相邻单元的有关参数具有一定的连续性，并构成一个单元的集合体，以它代替原来的结构。如果分析的对象是一般连续体，那么为了有效的逼近实际的几何连续体，就需要考虑选择单元的形状和分割方案以及确定单元的数目等问题。2）选择位移模式在完成结构的离散后，就可以对典型的单元进行特性分析，此时为了能用结点位移表示单元体的位移、应变和应力，必须对单元中的位移分布做出一定的假定，也就是假定位移是坐标的某种简单的函数。这种函数称为位移模式或插值函数。选择适当的位移模式是有限单元法分析中的关键。为方便通常选择多项式作为位移模式。至于多项式的项数和阶次的选择，则要考虑到单元的自由度和解的收敛性要求。根据所选定的位移模式，就可以导出用结点位移表示单元内任意一点位移的关系式，其矩阵形式是：式中单元内任一点的位移阵列；单元的结点位移阵列；形函数矩阵，它的元素是位置坐标的函数。有限单元法比起经典的近似法具有明显的优越性。例如在经典的里兹法中，要求选取一个函数来近似地描述整个求解区域中的位移，并需满足边界条件，而在有限单元法中则采用分块近似，只需考虑单元之间位移的连续性就可以了。这对于复杂的几何形状或者材料性质、作用荷载由突变的结构，采用分段函数，就显得更加合理和适宜了。3）分析单元的力学特性位移模式选定以后，就可以进行单元的力学特性的分析，包括三部分的内容：首先利用几何方程由位移表达式导出用结点位移表示单元应变的关系式：，式中为单元内任一点的应变列阵；为单元应变矩阵。然后利用本构方程，由以上的应变表达式导出用结点位移表示单元应力的关系式：，式中为单元内任一点的应力阵列；为与材料有关的本构关系矩阵。最后利用变分原理，建立作用于单元上的结点力和结点位移之间的关系式，即单元的平衡方程：，式中的称为单元刚度矩阵。上式的积分应遍及整个单元的体积。利用变分原理还同时导得等效结点力。4）结合所有单元的平衡方程，建立整个结构的平衡方程这个集合过程包括有两个方面的内容：一是将各个单元的刚度矩阵，集合成整个物体的整体刚度矩阵；二是将作用于各单元的等效结点力阵列，集合成总的荷载列阵。最常用的集合刚度矩阵的方法是直接刚度法。一般来说，集合所依据的理由是要求所有相邻的单元在公共结点处的位移相等。于是得到以整体刚度矩阵、载荷阵列以及整个物体的结点位移阵列表示的整个结构的方程：。这些方程还应考虑几何边界条件作适当的修改之后，才能解出所有的未知结点位移。5）求解未知结点位移由结构平衡方程组解出。求解方法可以按照方程组性质适当选择。6）计算单元应力利用公式和己求出的结点位移计算各个单元的应力，并加以整理得出所要求的结果。对以势能原理为基础，以假设单元位移为特征的位移有限元法而言，保证数值解收敛的基本条件是：a.位移试解满足完备性要求，即试解应能反映单元的刚体位移，能再现单元的常应变、应力状态。b.位移试解满足连续性要求，即试解不但在单元内是片状连续的，而且它在单元间也要保持一定的连续性，以保证离散系统的能量泛函全域可积。其中条件a对任何类型的有限元来说都是必须满足的。满足条件b的位移有限元通常简称为协调元，反之则称为非协调元12。3.2基于各种泛函的板壳单元介绍13有限元这门力学与计算机技术相结合的科学己经发展得十分成熟。人们构造了各种各样的单元，从形状来说有一维的杆、梁，二维的三角形、四边形，三维的四面体、六面体；从插值函数的性质来说有lagrange单元、hermite单元；从插值函数的阶次来看有一次、二次甚至更高阶次的单元。而且还有一些特殊的单元，可以说目前所构成的单元基本上可以满足工程中的所有需要。但是在处理薄板弯曲的连续问题上，有限元却遇到了一些麻烦。有限元的收敛准则要求所构造的单元函数满足协调性和完备性要求。其中协调性要求单元间的位移是连续的。对于高阶问题，还要求其单元交界处的导数也是连续的。如薄板弯曲，不仅要求单元间的位移连续，而且要求单元间的法向导数也连续，即所谓的连续。有限元法中首要问题是场变量选取及其插值函数的构成，对于要求连续性的插值函数的构成比较简单，而以板、壳弯曲为代表结构分析时，要求场变量具有连续性的插值函数的构成，除了一维问题（如梁弯曲、轴对称壳）中易于实施外，比连续问题中要复杂得多。这导致用有限元法分析板、壳问题时遇到麻烦，这也是人们长期从事这方面研究的原因。最初，人们基于单变量场的最小势能原理（或虚功原理）以及与之相对偶的最小余能原理，分别建立了协调模型和平衡模型。平衡模型往往由于相邻单元间力的平衡条件较难满足，应用不够广泛。虽然协调模型得到了广泛的应用，但在构造板、壳一类单元时却遇到了很大的困难。对于解决诸如薄板弯曲等典型的高阶导数问题，要求构造类协调的近似位移场，这对于以片状试探函数为基础的有限元法来说并不是一件容易办到的事。并且协