统计学专业毕业论文-医院病床安排的优化模型.doc

德州学院 数学系 2012届 统计学专业 毕业论文医院病床安排的优化模型王文华（德州学院数学系，山东德州 253023）摘要：文建立了以所有病人的平均逗留时间最小为目标的优化模型，解决了医院病床的安排问题，使医院现有的资源得到最充分的利用，同时依据本文所确立的评价指标对模型进行了优劣分析。 问题一，本文选取病床使用率和病床周转次数这两个指标建立了评价体系，用以评价病床安排模型的优劣。对当前该住院部按照fcfs规则安排病床的模型进行评价，得到病床使用率为87.34%，病床周转次数为0.7595. 问题二，统计和分析附表中的病人信息，可知每天平均有一个外伤前来就珍，考虑奥外伤属于急症，必须优先安排床位，因此每天都预留一个床位给外伤病人。对于非急症病人，本文首先统计数据得出了在一周内各类病人的相关信息，然后建立了以所有病人的平均逗留的时间最小为目标的优化模型，在一时间周期内制定了每天安排各类型病人住院人数的方案。此时所有病人的平均逗留时间为10.91天。最后根据问题一中所建立的评价体系对该模型进行了评价分析，得到病床使用率为88.61%，病床周转次数为0.7975. 问题三，病人入住医院时间与病人门诊时间和等待住院病人数目有关，本文给出了求解病人入住区间的算法，进而得出了病人入院的大致时间。 问题四，若该住院部周六、周日不安排手术，利用问题二的优化模型对病床重新进行了安排，得到了所有病人的平均逗留时间为11.56天。在一星期内手术时间的调整有三种情况，利用问题二的优化模型分别进行求解，可得出当白内障手术时间调到周二和周四时，所有人的平均逗留时间最小，此时为11.34天。 问题五，该问题一个最优化问题，如何选择病床分配比例使所有病人的平均逗留时间最短是解决这个问题的关键。本文首先引入等待函数来表示前来就诊的病人需要等待的人数，确定了平均等待时间。然后建立了以平均逗留时间最短为目标的优化模型，应用lingo软件对该模型进行求解，可得到所有病人的最短平均逗留时间为9.634天，此时单眼白内障病人、双眼白内障病人、青光眼病人、视网膜疾病病人和外伤病人的病床分配比例为9:18:12:32:8。 关键词：评价指标； 优化模型； 等待函数目 录摘要及关键词11 问题的重述32 问题的分析32.1病床安排的现状32.2 合理安排病床的重要性分析32.3合理安排病床的模型分析43 问题的基本假设44 符号的定义及说明45 模型的建立与求解45.1模型的相关定义45.2评价指标体系的确立55.2.1评价指标的选取55.2.2评价指标的性能分析55.2.3对现行病床安排的评价55.3建立优化模型安排床位65.3.1模型的准备65.3.2模型的建立6 5.3.3模型的求解7 5.3.4模型的评价85.4病人入住区间的算法95.5手术时间的优化95.6优化模型求解病床比例20 5.6.1模型的准备20 5.6.2模型的建立21 5.6.3模型的求解146 模型的评价与推广14参考文献15谢辞 1 问题的重述 某医院门诊每天开放，住院部共有病床79张。该医院眼科手术主要分为四大类：白内障、 视网膜疾病、 青光眼 和外伤。白内障手术较为简单，而且没有急症。目前该院是周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2做两只眼的病人比一只眼的要多一些，大约占到60%。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。外伤疾病通常属于 急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天会安排手术。其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可以不考虑急症。该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可以不考虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。当天改住院部队全体非急症病人安排是按照fcfs（first come. first sever）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，医院方面希望能通过数学建模来帮助解决住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。附录中给出了2008年7月13日到2008年9月11日这段时间里各类病人的情况。根据这些情况分析下列问题。问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排摩西，已根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排那些病人住院。并利用问题一中指标体系对模型做出评价。问题三：作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。问题四：若该住院部周六、周日不安排手术，请重新回答问题二，医院手术时间安排是否应做出相应调整。问题五：有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使用各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。 2 问题的分析2.1病床安排的现状该医院住院部共有病床79张，分给一下四类型的病人使用，分别是白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。其中外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，白内障每周一、三做手术，其他眼科疾病手术时间可根据需要安排。当前该住院部队全体非急症病人是按照fcfs(rirst come, first serve)规则安排住院，但这种规则下可能出现病床资源闲置的情况。2.2合理安排病床的重要性分析病床是医院收治病人的基本装备，也是医院经济效益的基本核算单位。合理的安排病床，不仅可以使每位病人都能够得到医治的情况下提高病床资源的利用率，而且也能够增加医院的经济效益，是病人与医院双赢的共同需求。2.3合理安排病床的模型分析病床的数目是有限的，而前来就诊住院的病人却是不受控制的。欲使医院资源的有效利用率高，必须使每位病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）短，这也是本文优化病床安排的目的所在。从题中所给数据可以分析出，白内障病人的康复时间最快，即这类病人在系统的平均住院时间最短，如果使白内障病人等待时间也最短，那么可以以一定程度的减少每位病人在系统内的平均逗留时间；可患有青光眼和视网膜疾病的病人又比较多，如果不安排他们住院，他们从就诊到住院这段时间就越长，也将影响所有人在系统中平均逗留时间。本文将建立优化模型对其进行分析。 3 问题的基本假设1. 白内障手术的术前准备时间为一天；2. 青光眼和视网膜疾病手术的术前准备时间为两天；3. 周一和周三只做白内障手术，两只眼都做的病人周一做一只，周三做一只；4. 白内障、青光眼和视网膜疾病没有急症病人；5. 安排病床时不考虑手术条件限制。 4 符号的定义及说明 ：一定时期内的病床使用率；n ：一定时间内的病床周转次数; ： 平均一时间周期内第i类病人在第j天的门诊数； ： 在一个时间周期内第i类病人等待安排病床的平均数目；： 第i类病人的平均等待时间； ： 第i类病人在第j天住院时的平均住院时间长度; ： 平均 一个时间周期内每天的出院病人数目； ： 平均一时间周期内第i类病人的门诊数； ： 第i类 病人平均住院时间;=：等待函数，即前来就诊的病人需要等待的人数。 5 模型的建立与求解5.1 模型的相关定义fcfs单一排队的一种服务规则，即先到先服务（first come ，first serve）。系统医院中从门诊到入院手术，再到出院的整个过程叫做医院的服务系统，简称系统。当病人看完门诊时，病人就进入了该系统。逗留时间病人从看完门诊到病人康复出院，在系统内停留的时间。5.2评价指标体系的确立5.2.1 评价指标的选取 根据文献1可以查知，反映病床利用情况的主要指标有平均病床工作日、病床使用率及病床周转次数三种。其中，平均病床工作日和病床使用率这两项指标虽然计算方法不同，但对评价病床使用情况是呈正比的。在评价病床使用效率时，一般选用病床使用率，因此本文选取病床使用率和病床周转次数这两个指标来建立评价体系，用以评价病床安排模型的优劣。1. 病床使用率 病床使用率是实际占用病床数占开放病床的百分比。即 =其中表示一定时期内的病床使用率，和分别表示实际占用病床数和实际开放病床数。 病床使用率是反映一定时期内使用的病床与开放的病床之比，是反映病床利用的指标，它是用相对数表示的，一般认为该指标以85%93%为宜。使用率过低，说明病床有空闲，尚有潜力未能充分发挥；太高说明病床负担过重，没有足够的时间用于对病床的消毒处置，容易增加医院感染，临时加床会影响病房管理，可能给医疗质量带来不利影响，应尽量避免。2. 病床周转次数 病床周转次数是指一定时间内平均每张病床收治了多少病人，即 ，其中n表示一定时间内病床周转次数，r表示这段时间内的出院人数，表示这个时期内平均开放病床数。病床周转次数的多少和收容病人的病种有密切关系，一般情况下，病床周转次数越大，病床使用情况就越好。5.2.2 评价指标的性能分析病床使用率只能说明病床工作的一般负荷情况，还不能完全说明病床工作效率。如一个病人长期不出院，从病床使用率看是高的，病床没有空闲。然而不能认为病床工作效率高，因为它只为一一个病人服务。因此，全面分析病床工作效率，必须把病床使用率与病床周转次数结合起来评定。使用率和周转次数均高说明病床安排比较合理，病床的工作效率得到了全面的提高，缩短了病人的平均住院时间；相反则说明病床安排非常不合理，增加了病人的平均住院时间，使等待住院的病人队伍越来越长，造成医院资源的浪费。使用效率低而周转次数高说明病人平均住院时间短，病床周转快，又由于使用效率较低，病床为得到有效利用，供大于求，造成资源的浪费；相反则说明术后观察时间较长的病人所占比例比较高，致使平均住院日延长，病床周转不开 。5.2.3 对现行病床安排的评价利用本文所建立的评价体系对照fcfs规则安排 的模型进行讨论。对附录中的病人信息进行量化统计后发现，数据呈周期性变化的，变化周期大约为一星期，为了方便分析，在本文模型的建立过程中取一星期时间为时间周期。该医院住房部共有病床79张，分给四类病人使用，因此实际开放的病床数应为79张；实际占有的病床数与病人数是一一对应的，统计附录中给定时间的全体病人数，可求出平均一个星期内病人数，进而可以得到平均一个星期实际占有的病床数为69张。根据公式可以计算出病床使用率为 。每周平均开放的病床数应为79张，根据附录中的数据，可以统计得到平均一个星期的出院病人人数r为60人，根据公式可以计算出病床周转次数为 ,也就是说，该医院79张病床平均每张每周收治的病人为0.7595个单位。5.3 建立优化模型安排床位 5.3.1 模型的准备1. 模型的基本思路 病人在系统内的逗留时间包括两部分，分别是等待入院时间和住院时间。而病人有四种类型，分别是白内障、青光眼、视网膜疾病和外伤。其中外伤属于急症，病床有空时立即安排住院，因此可以将外伤和其他费急症病人分开考虑。 对于门诊后的非急症病人来说，要么住院接受治疗，要么等待入院，根据统计数据得到各类病人的平均住院时间和平均等待时间，据此建立优化模型安排病床，使每个病人的平均逗留时间最短。 2. 数据处理与统计对附录中数据统计可知平均每天会有一个外伤前来就诊，考虑到外伤属于急症，必须优先安排床位。所以在本文模型的建立过程中，对外伤的床位单独安排，每天都预留一个床位给外伤病人。、对于非急症病人来说，手术时间根据需要进行安排，可以认为的安排床位，使所有的病人的平均逗留时间最短。本文按照病人看病的程序将非急症病人的相关数据作出如下统计与处理。首先将各类疾病数字化，非急症病人总共有四种情况，其数字化后编号如表1所示。 表1各类病人的编号 各类型病人白内障单眼手术白内障双眼手术青光眼视网膜疾病编号 1 2 3 4 其次统计出平均一星期各类病人每天的门诊数 其中i=1,2，,4表示第i重病人；j=1,2，,7表示一星期中的第j天。根据平均一星期内各类病人每天的门诊数量 ，就可以得出各类病人在一个时间周期内的等待安排病床的平均数目 ，即 （i=1，2，4）再求出给类病人的平均住院时间和平均等待时间。依据以下几个原则可以统计出各类病人在一个周期的每天入院时的平均住院时间长度。原则一：白内障手术只在周一和周三进行，手术准备时间为一天；原则二：青光眼和视网膜疾病的手术不与白内障手术时间在同一天进行，手术准备时间为两天；原则三：平均住院时间长度是术前等待时间与平均康复时间之和。分析附录中数据不难看出，各类病人的康复时间基本上是固定的，统计结果取整后见表2. 表2各类病人的平均康复时间 编号1234各类型病人白内障单眼手术白内障双眼手术青光眼视网膜疾病平均康复时间/天 3 5 8 10 可以计算出各类病人在各天入院的平均住院时间长度，见表3. 表3住院时间长度表 入院时间病人类型编号平均康复时间术前准备时间星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期天13165987652511312111098738212111111111211410214131313131413病人的平均等待时间跟病人的类型有关。对于同类病人来说，假设前一批的病人同时入住医院，将病床占满，那么下一批病人需要等待时间长度为每个周期内该类病人的平均住院时间。将批次的人数无限缩减到每一批只有一人住院，那么平均等待时间将不会发生变化，仍然为每个周期该类病人的平均住院时间。据此可以计算出院人的平均等待时间 其中表示第i类病人的平均等待时间；表示第i类病人在第j天住院时的平均住院时间长度矩阵。求解的 最后统计出在一个时间周期内每天的平均出院的病人数目，也就是每天需要安排病床的数量 由于每天要预留一个床位给外伤病人，那么每天需要安排病床的实际数量 。即 5.3.2 模型的建立 由上述分析可知平均每天会有一个外伤病人前来就诊，考虑到外伤属于急症，必须优先安排病床。所以每天都预留一个病床给外伤病人。而且外伤病人的住院时间都是固定的，对所有病人的平均逗留收件没有影响，下面就非急症病人的住院情况建立优化模型，求解最有的病床安排情况。1. 目标函数该模型建立的目的就是最大限度的利用医院现有的医疗保障资源，使所有病人的平均逗留时间最短。逗留时间由等待时间和住院时间两部分组成，下面对这两部分分别进行讨论。假设敌j天中第i类病人入住医院的个数为，那么就表示第j天入住医院的第i类病人的住院时间，进而可求得这一星期内所有病人的总的住院时间为 第j天中的i类病人没有入住医院的个数应为第j天前来门诊的人数与第j天入住医院的人数之差，即，那么一个周期内等待入院的所有人的逗留时间为 综上所述，可得目标函数为 2. 约束条件 为第j天中的i类病人入住医院的哥数，因此，必然是非负整数。即 。 病人要入住医院，必须有病床空出，也就是说当天入住医院的各类病人总数必须与当天可以出院的病人总数相等。即 。 入住医院的病人必须使前来看过门诊的病人，其总数不可能大于这一周这类病人的总和，因此有 3. 建立优化模型 5.3.3 模型的求解对上述模型运用lingo软件编程求解得：所有人的平均逗留时间最短为10.91天，结合外伤病人的预留床位，可得此时对应的一个周期内每天病床安排，如表4所示。 表4 一周期内个天的病床安排表 入院时间病人类型编号病人类型星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期天1单眼白内障40000042双眼白内障000001433青光眼000010004视网膜疾病03770105外伤1111111 5.3.4模型的评价 利用问题一中所建立的评价体系对该模型进行讨论。通过计算可以的到该模型下平均一个星期实际占有病床数增加至70张。根据公式可以计算出病床使用率为 该模型下病人在系统中的平均逗留时间减少至10.91天，平均每周出院的人数增加了3个。根据公式可以计算出病床周转次数为 也就是说，该医院79张病床平均每张每周收治病人为0.7975个单位。 两项指标均比fcfs（first come， first serve）规则下的病床安排要高，说明该模型的病床安排比较合理，病床的工作效率得到了全面的提高。 5.4 病人入住区间的算法 病人所感受到的等待可能与实际的等待有很大的区别。研究结果表明：不确定的等待比已知的等待要长。因此，作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。这就要本文给出一个适当的算法，能够根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，推算出病人大概入住区间。 步骤一 统计出院人数统计附录中数据可以发现，每天出院的病人数是取决于当时住院病人的类型。暂不考虑问题二中的模型的安排给当时住院病人的类型造成的影响，那么可以统计出平均一个时间周期内每天出院的病人数目 考虑到每天要预留一个床位给外伤病人，那么每天非急症病人的实际入住数量为，即 步骤二 统计等待住院人数 当前情况下，等待住院的人数是可以统计出来的，记在这个病人门诊之前的第i类病人等待住院人数为。在同一类病人中，采取fcfs（ first come ，first sever ）规则进行排队 步骤三 确定一个周期的住院人数 问题二已经对病床的安排做出了优化，根据已经的出的一个周期内每天的病床安排情况，简单计算就可以的到一个周期内各类病人的住院总数，记为，那么 步骤四 确定具体入住时间 该病人的住院区间可由式子 来确定，其中和都是整数，且。 这个式子的意义是在第个周期之后，该病人前面还有个人排队。在这个周期中，该病人的具体第天住院就可以根据表4查出来。因为统计数据只能代表一般性，不能反映每天的具体情况，所以该算法应有前后一天的误差。 那么该病人的具体入住区间为。根据上述算法，可以将附表中未入院病人的大体入住时间推算出来，具体结果见附录1.5.5 手术的时间优化 若该住院部周六、周日不安排手术，那么第i类病人在第j天住院时的平均住院时间长度矩阵将发生变化。但是模型的整体思路不发生变化，因此模型的建立过程在此就不在赘述。 当住院部周六、周日不安排手术时，统计可得变化后的为 ，相对应的病人平均等待时间为 此时渴求的所有人的平均逗留时间为11.56天，对应的一周期内每天的病床安排如表5所示。 表5周六、周日不做手术时病床安排入院时间病人类型编号病人类型星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期天1单眼白内障40000002双眼白内障000051203青光眼00000374视网膜疾病037715005外伤111111 分析结果可知，平均逗留时间增加了，病床使用率和周转次数都相应减少了，周六、周日不安排手术对病床的利用效率不利。 如果医院的手术时间安排可以做出相应的调整，那么将随着调整而发生变化。在周六、周日不安排手术的前提下，考虑到白内障双眼手术需要分两次进行，中间还要隔一天，那么手术时间的调整主要有以下三种情况。 1. 白内障手术在周一和周三做 这种情况本文以做出分析，得出平均逗留时间为11.56天。2. 白内障手术在周二和周四做 此时 相对应的病人平均等待时间为 由此可计算出所有病人的平均等待时间为11.34天。3. 白内障手术在周三和周五做 根据上述相似的步骤可以计算出此情况下所有病人的平均逗留时间为11.61天。 综上所述，该医院的手术时间应该进行调整。在白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做的情况下，将白内障手术时间调整到周二和周四做。这样可以再周六和周日不安排手术的情况下，缩短所有病人的平均逗留时间，提高病床使用效率。5.6 优化模型求解病床比例 5.6.1 模型的准备 利用数理统计知识对附录中数据进行分析，可以得到平均每天前来就诊的各类病人数为 各类病人的平均住院时间为 5.6.2 模型的建立 从便于管理的角度考虑，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案。该模型建立的目的就是选择合适的病床安排分配比例，使所有病人的平均逗留时间最淡。1. 目标函数按照公平的原则，相同类型的病人在等待入院时都应该按照fcfs（first come ， first serve）规则安排住院。因此相同类型的病人在系统中的平均逗留时间是相等的。可以先求出各类病人的平均逗留时间，最后再求均值得出所有人的平均逗留时间。平均逗留时间由平均等待入院时间和平均住院时间两部分组成。由模型准备可知，第i类泵人平均逗留时间为。现在就第i类病人的平均等待入院时间进行分析。假设表示第i种类型病人分配到的病床数，那么该类病人在平均住院时间内的病床容量为，而在这段时间内前来就诊病人的总人数为。如果就诊的总人数少于病床容量，则说明前来就诊的病人不需要等待就可以直接住院，即等待时间为0；反之，则说明前来就诊的额病人需要等待，且等待人数为，即等待时间为。为此，本文引入等待函数来表示前来就诊的病人需要等待的人数，记 那么第i类病人的平均等待时间可表示为 综上所述可得，第i类病人