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信号与线性系统分析 第一章 信号与系统 school of physics science and technologyschool of physics science and technology 教材：信号与线性系统分析，吴大正等编 主讲：汪弋平 博士 副教授 电话e-mail： 课程西祠讨论版： 办公地点：k2楼423室 school of physics science and technologyschool of physics science and technology 参考书目： 1.信号与系统（上、下），郑君里等编著，高等 教育出 版社； 2.信号与线性系统（上、下），管致中等编著，高等教 育出版社； 3.信号与系统（英文第二版），a. v.oppenheim等著， 刘树堂译，西安交大出版社； 4.信号与系统-理论、方法与应用，徐守时编著，中国科 技大学出版社； 5.信号与系统-常见题型解析及模拟题，范世贵主编，西 北工业大学出版社。 school of physics science and technologyschool of physics science and technology v课程性质： 该课程与许多专业课（例如通信原理、数字信 号处理、通信电路、图象处理、微波技术等）有很 强的联系，也是这些学科研究生入学考试的一门重 要课程。 v课程内容： 该课程涉及了信号与系统的概念、信号分析、 连续时间系统和离散时间系统的时域和频域分析、 系统的状态变量描述、傅里叶变换、拉普拉斯变换 、 z变换等等； school of physics science and technologyschool of physics science and technology v专业基础： 线性微分方程、积分变换、复变函数、离散数 学、电路基础等等； v发展情况（带*的内容将在本课程中学到）： school of physics science and technologyschool of physics science and technology 1.1 绪言 v信号与系统要解决的问题： 什么是信号？ 信号是消息的表现形式，消息则是信号的 具体内容。 什么是系统？什么是系统？ 系统是由若干相互作用和相互依赖的事物 组合而成的具有特定功能的整体。 信号作用于系统产生什么响应？ school of physics science and technologyschool of physics science and technology 信号与系统问题无处不在 v古老通讯方式：烽火、旗语、信号灯 v近代通讯方式：电报、电话、无线通讯 v现代通讯方式：计算机网络通讯、视频电视 传播、卫星传输、移动通讯 school of physics science and technologyschool of physics science and technology 信息科学已渗透到所有现代自然科学和社会科 学领域： v工业监控、生产调度、质量分析、资源遥感、地 震预报、人工智能、高效农业、交通监控 v宇宙探测、军事侦察、武器技术、安全报警、指 挥系统 v经济预测、财务统计、市场信息 、股市分析 v电子出版、新闻传媒、影视制作 v远程教育、远程医疗、远程会议 v虚拟仪器、虚拟手术 school of physics science and technologyschool of physics science and technology 通信的目的是为了实现消息的传输。 原始的光通信系统古代利用烽火传送边疆警报； 声音信号的传输击鼓鸣金。 利用电信号传送消息。 1837年，莫尔斯(f.b.morse)发明电报；1876年(a.g.bell) 发明电话。 利用电磁波传送无线电信号。 1901年，马可尼(g.marconi)成功地实现了横渡大西洋的无 线电通信；全球定位系统gps(global positioning system) ；个人通信具有美好的发展前景。 光纤通信带来了更加宽广的带宽。 信号的传输离不开信号的交换。 信号传输 school of physics science and technologyschool of physics science and technology school of physics science and technologyschool of physics science and technology 0001 1010 0111 1100 0110 0101 0101 0111 0110 0101 0001 1000 school of physics science and technologyschool of physics science and technology 信号传输系统 信号：随时间变化的物理量。 系统：由若干个单元组成的并具有某种功能以用来达到 某些目的的有机整体。 信号传输系统：统称“通信系统”，分为以下五个部分： 重点：信号的处理、传输。 school of physics science and technologyschool of physics science and technology 信号处理技术 对信号进行某种加工或变换。 目的： 消除信号中的多余内容； 滤除混杂的噪声和干扰； 将信号变换成容易分析与识别的形式，便于估 计和选择它的特征参量。 信号处理的应用已遍及许多科学技术领域。 school of physics science and technologyschool of physics science and technology 生物医学信号处理应用举例 滤波以前 干扰严重 滤波以后 干扰去除 school of physics science and technologyschool of physics science and technology 1.2 信号 v数学上： 信号是一个或多个变量的函数； v形态上：信号表现为一种波形； v自变量：时间、位移、周期、频率、幅度、相位 ； v物理上： 信号是信息寄寓变化的形式； v描述信号常用的方法是：数学表达式波形 v信号的波形：信号通常是时间变量t 的函数，信号 随着t 而变化的曲线叫信号的波形。 school of physics science and technologyschool of physics science and technology v信号的特性： 信号的时间特性：表示为随时间变化的函 数本课程中，“信号”=“函数”）。 空间上：波形。 信号的频率特性：信号可以分解为许多不 同频率的正弦分量之和，按频率的高低可 以排列成频谱。 school of physics science and technologyschool of physics science and technology 信号的分类 从不同的角度可以将信号分类为： v确定性信号和随机信号 v周期信号和非周期信号 v连续时间信号和离散时间信号 v一维信号和多维信号 v时限信号和非时限信号 v能量信号和功率信号 v电信号和非电信号 v实信号和复信号 school of physics science and technologyschool of physics science and technology 1.确定性信号和随机信号 若信号可以用确定性图形、曲线或数学表达式来准确描述 ，则该信号为确定性信号； 若信号不遵循确定性规律，具有某种不确定性，它不是一 个确定的时间函数，通常只知道它取某一值的概率,则该信 号为随机信号。如电路中的噪声，其强度与频谱因时因地 而异，无法准确预测，因此它是随机信号。 随机信号是客观存在的信号，它服从统计规律。研究它的 描述、分析与处理已成为一门重要的学科。 school of physics science and technologyschool of physics science and technology v 从常识上讲，确定性信号不包括有用的或新的信息。但确 定性信号作为理想化模型，其基本理论与分析方法是研究 随机信号的基础，在此基础上根据统计特性可进一步研究 随机信号。本书只涉及确定性信号。 school of physics science and technologyschool of physics science and technology 确定信号随机信号 school of physics science and technologyschool of physics science and technology 2. 连续信号和离散信号 在连续连续 的时间时间 范围围内(-0 指数上升曲线， 00为指数增长的正弦信号，为指数增长的正弦信号， 1 原信号被压缩 0-12 1 2 1 原信号被扩展0|a|1 0-1-2 1 2 240-12 1 2 原始信号 school of physics science and technologyschool of physics science and technology 5. 信号的反褶 即将原信号沿纵轴翻转180度。 反褶 01-2 1 2 没有可实现此功能的实际器件。数字信号处理中可以实现此 概念，例如堆栈中的“后进先出”。 0-12 1 2 school of physics science and technologyschool of physics science and technology 6. 综合变换 以变量 代替 中的独立变量 ，可得一新的信号 函数 。当 时，它是 沿时间轴展缩、平移 后的信号波形；当 时，它是f(t)沿时间轴展缩平移和反 转后的信号波形，下面举例说明。 注意！ 一切变换都是相对t而言 可以用先翻缩后平移的顺序 school of physics science and technologyschool of physics science and technology 举例： 已知f (t)，画出 f ( 4 2t)。 三种运算的次序可任意。但一 定要注意始终对时间 t 进行。 压缩，得f (2t 4) 反转，得f ( 2t 4) 右移4，得f (t 4) school of physics science and technologyschool of physics science and technology 阶跃函数和冲激函数不同于普通函数，称为奇异函数。研 究奇异函数的性质要用到广义函数（或分配函数）的理论。这 里将直观地引出阶跃函数和冲激函数。 1-4 阶跃函数和冲激函数 一、阶跃函数 下面采用求函数序列极限的方法 定义阶跃函数。 选定一个函数序列n(t)如图所示。 n school of physics science and technologyschool of physics science and technology 有延迟的单位阶跃信号： school of physics science and technologyschool of physics science and technology 利用单位阶跃信号 (t)可以很方便地用数学函数来描述信号 的接入（开关）特性或因（单边）特性。所以单位阶跃函数 与另一函数相乘具有将后者从 之前全部切除的作用。 例如用阶跃函数表示单边正弦信号 单边正弦信号 用阶跃函数可以表示方波或分段常量波形： 这就是一个门函数这就是一个门函数 ( (方波方波) )的表达式。的表达式。 用这种门函数可表示用这种门函数可表示 其它一些函数其它一些函数 门函数 school of physics science and technologyschool of physics science and technology 可以用门函数的方法求：可以用门函数的方法求： 也可以用门函数的方法求：也可以用门函数的方法求： 利用门函数求函数表达式 school of physics science and technologyschool of physics science and technology school of physics science and technologyschool of physics science and technology 阶跃函数性质： （1）可以方便地表示某些信号 f(t) = 2(t)- 3(t-1) +(t-2) （2）用阶跃函数表示信号的作用区间 （3）积分 school of physics science and technologyschool of physics science and technology 二、冲激函数 单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大，作用时 间极短一种物理量的理想化模型。它由如下特殊的方式定义( 由狄拉克最早提出) 也可采用下列直观定义：对前面n(t)求导 得到如图所示的矩形脉冲pn(t) 。 高度无穷大，宽度无 穷小，面积为1的对称窄脉冲。 school of physics science and technologyschool of physics science and technology 冲激函数与阶跃函数关系： 可见，引入冲激函数之后 ，间断点的导数也存在。 如 f(t) = 2(t +1)-2(t -1)f(t) = 2(t +1)-2(t -1) 求导 n n school of physics science and technologyschool of physics science and technology 若面积为k，则强度为k。 三种典型的冲激函数变化形式： school of physics science and technologyschool of physics science and technology 总结： 斜变函数，单位阶跃函数， (t) 之间的关系 f(t) 求 积(-t ) 导 分 (t) t o 1 school of physics science and technologyschool of physics science and technology 冲激函数的性质 1与普通函数的乘积(取样性sampling property) 对于移位情况： 如果f(t)在t = 0处连续，且处处有界，则有 school of physics science and technologyschool of physics science and technology 0 (t) 举例说明： school of physics science and technologyschool of physics science and technology t n 冲激序列对连续信号抽样 冲激函数的性质 v单位冲激函数为偶函数 l l 尺度变换尺度变换 l(t)的导数及其性质 这这里 a 和 t0为为常数，且a0。 定义： 称单位二次冲激函数或冲激偶。 school of physics science and technologyschool of physics science and technology school of physics science and technologyschool of physics science and technology 冲激函数的导数(t)（也称冲激偶）与普通函数的乘积 f(t) (t) = f(0) (t) f (0) (t) 证明： f(t) (t) = f(t) (t) + f (t) (t) f(t) (t) = f(t) (t) f (t) (t) = f(0) (t) f (0) (t) (t)的积分性质： (n)(t)的定义： school of physics science and technologyschool of physics science and technology 冲激函数的微分（阶跃函数的二阶导数）：将呈现正、负 极性的一对冲激，称为冲激偶信号，以(t)表示。 冲激偶信号 显然得到了一正一负两个强度为 的冲 激函数，继续取极限，让 趋于零，依 据微分的定义已经可以看出冲激偶恰为 冲激函数的导数。 school of physics science and technologyschool of physics science and technology 在t=t1导处的冲激函数可表示 2移位后与普通函数的乘积 school of physics science and technologyschool of physics science and technology 3. (t) 的尺度变换和奇偶性 推论: (1) (2t) = 0.5 (t) (2)当a = 1时 所以， ( t) = (t) 为偶函数， ( t) = (t)为奇函数 例 1 下列各表达式中错误的是_。c school of physics science and technologyschool of physics science and technology 例 2 下列各表达式中错误的是_。b 课堂练习题 计算下列各题。计算下列各题。 (1) (2) (3) 因为(t+1)位于积分范围之外。 课堂练习题 画出下列信号的波形。画出下列信号的波形。 (1) (2) school of physics science and technologyschool of physics science and technology 1-5 系统的描述 v 所谓系统，不限于前面提过的通信系统，还包括诸如机械 ，化工系统类的其他物理系统以及生产管理，交通运输方 面的社会经济系统。它是有若干互有关联的单元组成的并 具有某种功能以用来实现某些特定目的的有机整体。 设初始状态为 （有n个独立储能元件） 则响应为： 全响应为零输入响应与零状态响应的叠加。 school of physics science and technologyschool of physics science and technology 描述连续动态系统的数学模型是微分方程，描述离散动 态系统的数学模型是差分方程。 一、连续系统 1. 解析描述建立数学模型 图示rlc电路，以us(t)作激励，以uc(t)作为响应，由 kvl和var列方程，并整理得 二阶常系数线性微分方程。 1-5 系统的描述 school of physics science and technologyschool of physics science and technology 抽去具有的物理含义，微分方程写成 这个方程也可以描述下面的一个二阶机械减振系统。 其中，k为弹簧常数，m为物体质量，c 为减振液体的阻尼系数，x为物体偏离其 平衡位置的位移，f(t)为初始外力。其运 动方程为 能用相同方程描述的系统称相似系统 。 school of physics science and technologyschool of physics science and technology 上述方程从数学角度来说代表了某些运算关系：相乘、微 分、相加运算。将这些基本运算用一些理想部件符号表示 出来并相互联接表征上述方程的运算关系，这样画出的图 称为模拟框图，简称框图。基本部件单元有： 积分器：加法器： 数乘器： 积分器的抗干扰性比微分器好 。 2、系统的框图表示 school of physics science and technologyschool of physics science and technology 实际系统方程模拟框图 实验室实现（模拟系统）指导实际系统设计 例1：已知y”(t) + ay(t)+ by(t) = f(t)，画框图。 解：将方程写为 y”(t) = f(t) ay(t) by(t) school of physics science and technologyschool of physics science and technology 例2：已知y”(t) + 3y(t)+ 2y(t) = 4f(t) + f(t)，画框图。 解：该方程含f(t)的导数，可引入辅助函数画出框图。设辅 助函数x(t)满足 x”(t) + 3x(t)+ 2x(t) = f(t) 可推导出 y(t) = 4x(t) + x(t)，它满足原方程。 school of physics science and technologyschool of physics science and technology 例3：已知框图，写出系统的微分方程。 设辅助变量x(t)如图 x(t) x(t)x”(t) x”(t) = f(t) 2x(t) 3x(t) ,即x”(t) + 2x(t) + 3x(t) = f(t) y(t) = 4x(t)+ 3x(t) 根据前面，逆过程，得 y”(t) + 2y(t) + 3y(t) = 4f(t)+ 3f(t) school of physics science and technologyschool of physics science and technology 二、离散系统 1. 解析描述建立差分方程 例：某人每月初在银行存入一定数量的款，月息为元/元，求 第k个月初存折上的款数。 设第k个月初的款数为y(k),这个月初的存款为f(k),上个月初 的款数为y(k-1)，利息为y(k-1),则 y(k)=y(k-1)+ y(k-1)+f(k) 即 y(k)-(1+)y(k-1) = f(k) 若设开始存款月为k=0，则有y(0)= f(0)。 上述方程就称为y(k)与f(k)之间所满足的差分方程。所谓差 分方程是指由未知输出序列项与输入序列项构成的方程。未知 序列项变量最高序号与最低序号的差数，称为差分方程的阶数 。上述为一阶差分方程。 school of physics science and technologyschool of physics science and technology 2. 差分方程的模拟框图 基本部件单元有： 数乘器，加法器，迟延单元（移位器） 例：已知框图，写出系统的差分方程。 school of physics science and technologyschool of physics science and technology 解：设辅助变量x(k)如图 即 x(k) +2x(k-1) +3x(k-2) = f(k) y(k) = 4x(k-1) + 5x(k-2) 消去x(k) ，得 y(k) +2y(k-1) +3y(k-2) = 4f(k-1) + 5f(k-2) x(k)= f(k) 2x(k-1) 3x(k-2) school of physics science and technologyschool of physics science and technology 一、系统的定义 若干相互作用、相互联系的事物按一定规律组成具有 特定功能的整体称为系统。 电系统是电子元器件的集合体。电路侧重于局部，系 统侧重于全部。电路、系统两词通用。 二、系统的分类及性质 可以从多种角度来观察、分析研究系统的特征，提出 对系统进行分类的方法。下面讨论几种常用的分类法。 1-6 系统的性质 school of physics science and technologyschool of physics science and technology 1. 连续系统与离散系统 若系统的输入信号是连续信号，系统的输出信号也是连 续信号，则称该系统为连续时间系统，简称为连续系统。 若系统的输入信号和输出信号均是离散信号，则称该 系统为离散时间系统，简称为离散系统。 2. 动态系统与即时系统 若系统在任一时刻的响应不仅与该时刻的激励有关，而 且与它过去的历史状况有关，则称为动态系统 或记忆系统。 含有记忆元件(电容、电感等)的系统是动态系统。否则称即时 系统或无记忆系统。 3. 单输入单输出系统与多输入多输出系统 school of physics science and technologyschool of physics science and technology 满足线性性质的系统称为线性系统。 一. 线性性质 系统的激励f ()所引起的响应y() 可简记为 y() = t f () 线性性质包括两方面：齐次性和可加性。 若系统的激励f ()增大a倍时，其响应y()也增大a倍，即 t af () = a t f () 则称该系统是齐次的。 若系统对于激励f1()与f2()之和的响应等于各个激励所引起 的响应之和，即 t f1()+ f2() = t f1()+t f2() 则称该系统是可加的。 school of physics science and technologyschool of physics science and technology 若系统既是齐次的又是可加的，则称该系统是线性的， 即 ta f1() + bf2() = a t f1() + bt f2() （2）动态系统是线性系统的条件 动态系统不仅与激励 f () 有关，而且与系统的初始状 态x(0)有关。 初始状态也称“内部激励”。 完全响应可写为 y () = t f () , x(0) 零状态响应为 yf() = t f () , 0 零输入响应为 yx() = t 0，x(0) school of physics science and technologyschool of physics science and technology 当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统： 零状态线性： ta f () , 0 = a t f () , 0 tf1(t) + f2(t) , 0 = t f 1 () , 0 + t f 2 () , 0 或 taf1(t) +bf2(t) , 0 = at f 1 () , 0 +bt f 2 () , 0 零输入线性： t0,ax(0)= at 0,x(0) t0,x1(0) + x2(0) = t0,x1(0) + t0,x2(0) 或t0,ax1(0) +bx2(0) = at0,x1(0) +bt0,x2(0) 可分解性： y () = yf() + yx() = t f () , 0+ t 0，x(0) school of physics science and technologyschool of physics science and technology v 线性系统和非线性系统： “线性”系统是满足叠加性与齐次(比例或均匀)性的系统。 考虑引起系统响应的因素，除了系统的激励之外，还 有系统的储能，因此线性系统必须满足以下三个条件。 (a). 分解性 系统的响应有不同的分解形式，其中线性系统的响应一 定可以分解为零输入响应与零状态响应， 即系统响应可 表示为 式中， 是零输入响应， 是零状态响应。 school of physics science and technologyschool of physics science and technology （b）.零输入线性 输入为零时， 由各初始状态x1(0), x2(0), ., xn(0)引起 的响应满足叠加性与比例性， 若xj(0)=1单独作用时得到响 应rxj (t),i=1n，则有： 用框图表示有： 系统 x1(0)rxi1(t) 系统 xn(0)rxin(t) 系统 或 = n k kkx a 1 )0( = n k kk tra 1 x )( school of physics science and technologyschool of physics science and technology (c). 零状态线性 初始状态为零时，由各输入激励e1(t), e2(t), ., em(t)引 起的响应具有叠加性与比例性（均匀性），若 总之，数学上的线性=齐次性+叠加性 乘法器 不属于线性系统，但在通信系统中 重要，因此也是我们课程研究内容之一。 school of physics science and technologyschool of physics science and technology 二. 时不变性 满足时不变性质的系统称为时不变系统。 （1）时不变性质 若系统满足输入延迟多少时间， 其零状态响应也延迟多少时间，即若 t0，f(t) = yf(t) 则有 t0，f(t - td) = yf(t - td) 系统的这种性质称为时不变性（或移 位不变性）。 school of physics science and technologyschool of physics science and technology 2. 时变系统与非时变系统 从系统的参数来看，系统参数不随时间变化的是时不 变系统，也称非时变系统、常参系统、定常系统等；系统 参数随时间变化的是时变系统，也称变参系统。从系统响 应来看，时不变系统在初始状态相同的情况下，系统响应 与激励加入的时刻无关。即 school of physics science and technologyschool of physics science and technology 图 1.4.1 时不变系统 school of physics science and technologyschool of physics science and technology 3. 因果系统与非因果系统 因果系统满足在任意时刻的响应y(t)仅与该时刻以及 该时刻以前的激励有关，而与该时刻以后的激励无关。 也可以说，因果系统的响应是由激励引起的，激励是响 应的原因，响应是激励的结果；响应不会发生在激励加 入之前，系统不具有预知未来响应的能力。 例如系统的 激励f(t)与响应y(t)的关系为f(t)= dy(t)/dt ，这是一阶微分 方程，而响应与激励的关系是积分关系， 则系统是因果系统。响应与激励具有因果关系的系统也 称为物理可实现系统。 school of physics science and technologyschool of physics science and technology v 如果响应出现在激励之前，那么，系统为非因果系 统，也称为物理不可实现系统。书中一般不特别指明 均为因果系统。系统的响应与激励的关系为y1(t)=f1(t- 1)，响应出现在激励之后，系统是因果系统；若系统 的响应与激励的关系为y2(t)=f2(t+1)，响应出现在激励 之前，那么它是非因果系统。 由线性常系数微分方程描述的线性时不变（lti）系统为 线性非时变系统 v 所有的项都包括了r(t)或e(t)。所有的系数都是常数（而 不是r(t)、e(t)或 t 的函数）。 l下列因素导致系统微分方程是非线性或时变的： w 若有任何一项是常数或是r(t)或e(t)的非线性函数，则它 是非线性的。 w 若r(t)或e(t)中的任何一项的系数是t 的显时函数，则它 是时变的。 若当 t 0 时激励 e(t)=0，则当 t 0 时响应 r(t)=0 。因果性 也就是说，如果响应r(t)并不依赖于将来的激励如e(t+1)， 那么系统就是因果的。 问题1：如何判断系统的类型？ v 判断系统是否为线性系统 按线性性质，即叠加性来判断。根据式： t a e1(t)+be2(t) = a r 1(t)+b r 2(t)；t e(t) 表示系统对 e(t) 的 响应。满足此式即为线性系统，否则为非线性系统。 v 判断系统是否为非时变系统 按非时变性质来判断。根据式：t e(t-t0) = r (t-t0)；满足此 式即为非时变系统，否则为时变系统。 v 判断系统是否为因果系统 则按其输出变化不发生在输入变化之前的系统为因果系统 ，否则为非因果系统。 对于线性非时变系统，若满足t0时，系统的冲激响应 h(t)=0的系统为因果系统。 school of physics science and technologyschool of physics science and technology 例1：判断下列系统是否为线性系统？ （1） y (t) = 3 x(0) + 2 f (t) + x(0) f (t) + 1 （2） y (t) = 2 x(0) + | f (t)| （3） y (t) = x2(0) + 2 f (t) 解： （1） yf(t) = 2 f (t) +1， yx(t) = 3 x(0) + 1 显然， y (t) yf(t) yx(t) 不满足可分解性，故为非线性 （2） yf(t) = | f (t)|， yx(t) = 2 x(0) y (t) = yf(t) + yx(t) 满足可分解性； 由于 ta f (t) , 0 = | af (t)| a yf(t) 不满足零状态线性。故 为非线性系统。 （3） yf(t) = 2 f (t) , yx(t) = x2(0) ，显然满足可分解性； 由于t 0,a x(0) =a x(0)2 a yx(t)不满足零输入线性。故 为非线性系统。 school of physics science and technologyschool of physics science and technology 例2：判断下列系统是否为线性系统？ 解： y (t) = yf(t) + yx(t) ， 满足可分解性； ta f1(t)+ b f2(t) , 0 = atf1(t), 0 +bt f2(t) , 0，满足零状态线性； t0,ax1(0) + bx2(0) = e-tax1(0) +bx2(0) = ae-tx1(0)+ be-tx2(0) = at0,x1(0) +bt0,x2(0), 满足零输入线性； 所以，该系统为线性系统。 school of physics science and technologyschool of physics science and technology 例：判断下列系统是否为时不变系统？ （1） yf (k) = f (k) f (k 1) （2） yf (t) = t f (t) （3） y f(t) = f ( t) 解(1)令g (k) = f(k kd) t0， g (k) = g(k) g (k 1) = f (k kd) f (kkd 1 ) 而 yf (k kd) = f (k kd) f (kkd 1) 显然 t0，f(k kd) = yf (k kd) 故该系统是时不变的。 (2) 令g (t) = f(t td) t0， g (t) = t g (t) = t f (t td) 而 yf (t td)= (t td) f (t td) 显然t0，f(t td) yf (t td) 故该系统为时变系统。 school of physics science and technologyschool of physics science and technology (3) 令g (t) = f(t td) , t0，g (t) = g ( t) = f( t td) 而 yf (t td) = f ( t td)，显然 t0，f(t td) yf (t td) 故该系统为时变系统。 直观判断方法： 若f ()前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时 变系统。 例 系统统模型为为：r(t)=sine(t)(t) 故为非线性系统。 故为时变系统。