初二数学专项讲解 特殊三角形的计算与证明.pdf

第七讲第七讲 特殊三角形的计算与证明特殊三角形的计算与证明 一、中考要求一、中考要求 知识要求 能力要求 等腰三角形的性质与判定 掌握 直角三角形的性质与判定 掌握 二、知识梳理二、知识梳理 （一）等腰三角形（一）等腰三角形 1.定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。 2.性质： （1）等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） ； （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一） ； （3）等腰三角形是轴对称图形，底边的中垂线是它的对称轴； 3.判定： （1）有两边相等的三角形是等腰三角形； （2）有两角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） （二）等边三角形（二）等边三角形 1.定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形。 2.性质： （1）具有等腰三角形的性质； （2）等边三角形的三个内角都等于 60，各边相等； （3）等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线 相互重合（三线合一） ； 3.判定： （1）三边相等的三角形是等边三角形（定义） ； （2）三个内角都相等的三角形是等边三角形； （3）有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形. （三）直角三角形（三）直角三角形 1.直角三角形的两锐角互余. 2.在直角三角形中，如果一个锐角为 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 3.在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为 30； 4.勾股定理： 在直角三角形中， 两直角边的平方和等于斜边的平方； 如果三角形的三边 a， b， c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 三、例题分析三、例题分析 【例 1】 （2009 南京）如图，在abc 中，ab=ac， bc=bd,ad=de=eb,则a 的度数是（ ） a.30 b.36 c.45 d.54 解：解： ad=de 1=a ed=be 2=3 又1=2+3=23 a=23 bd=bc 4=c 4=a+3=33 c=33 ab=ac abc=c=33 a+abc+c=180 23+33+33=180 3=22.5 a=45 【例 2】 （2009 浙江）如图，在abc 中，已知abc 和acb 的角平 分线相交于 f，经过 f 作 de/bc，交 ab 与点 d，交 ac 于点 e，若 bd+ce=9，则线段 de 的长为（ ）. a.9 b.8 c.7 d.6 解： de/bc 1=3 bf 平分abc 2=3 1=2 bd=df 同理可证 ce=ef de=df+ef de=bd+ce=9 故选 a 【例 3】已知，如图，在abc 中，ab=ac，d 是 ac 中点，bd 把abc 的周长分 为 12cm，9cm 两部分。求abc 的三边长。 分析：分析： bd 把abc 的周长分为 12cm，9cm 两部分，一部分是(ad+ab)，另一部 分是(bc+cd) 考虑到(ad+ab)的长可能是 12cm， 也可能是 9cm，故本题要分为两种结论，可 利用方程思想进行计算 解析：解析： ab=ac,d 是是 ac 中点 ab=ac=2ad=2dc 设 ad=dc=xcm，则 ab=2x 第一种： 3x=12 x=4 则三边长为 8cm，8cm，5cm 第二种： 3x=9 x=3 则三边长为 6cm，6cm，9cm 此题还可以利用方程组求解，同学们回去完成。 【例 4】已知，如图，在abc 中，bac=90,adbc 于 d, abc 的平分线交 ad 于 e，交 ac 于 f，cad 的角平分线 ag 交 bf 与 h，交 dc 于 g。 （1）求证：bad=c。 （2）求证：ae=af。 （3）ab 与 bg 相等吗？如果相等请证明。 （3）判断 bf 与 ag 的位置关系，并证明你的结论。 证明：证明： (1)bac=90 c+abd=90 又 adbc bad+abd=90 bad= c (2)afe= c+fbc aef= abf+bad bad =c 又bf 平分cad abf=fbc afe=aef ae=af (3)ab=bg ag 平分cad dag=gac bga=gac+c bag=bad+dag 由(1)知, bad= c bag= bga ab=bg (4)bfag 由(2)可知，ae=af 又dag= gaf agbf(三线合一) 【例 5】学完“几何的回顾”一章后，老师布置了一道思考题： 如图，点 m、n 分别在正三角形 abc 的 bc、ca 边上， 且 bm=cn，am、bn 交于点 q求证：bqm=60. （1）请你完成这道思考题； （2）做完(1)后，同学们在老师的启发下进 行了反思，提出了许多问题，如： 若将题中“ bm=cn”与“bqm=60” 的位置交换，得到的是否仍是真命 题？ 若将题中的点 m、n 分别移动到 bc，ca 的延长线上，是否仍能得到 bqm=60 ？ 若将题中的条件 “点 m、 n 分别在正三角形 abc 的 bc， ca 边上” 改为 “点 m， n 分别在正方形 abcd 的 bc、cd 边上” ，是否仍能得到 bqm=60？ 请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否” ： ； ； 并对，的判断，选择一个给出证明 【例 6】 已知： 如图在abc 中， c=90,ac=3， bc=4， ad=13， bd=12， 求 sabd的面积。 解：解： 在abc 中， c=90 ab2=ac2+bc2=32+42=25 ab=5(舍去负值) 又52=25，122=144,132=169 ab2+bd2=ad2 由勾股定理的逆定理得 abd 是 rt，abd=90 三、巩固练习三、巩固练习 11 sab bd5 1230 22 abd 1.已知：如图， abc 是等边三角形，bd 是中线，延长 bc 到 e，使 ce=cd. (1)猜想： bde 是等腰三角形吗？ (2)请证明你猜想的结论. 3.如图，在abc 中，ab=ac,cd 平方acb 交 ab 与 d 点，ae / dc 叫 bc 的延 长线于点 e，已知e=36, 则 b=_度. 4.判断下列两个结论：正三