第4章_光波衍射与变换.ppt

第4章 光波衍射与变换 4 光波衍射与变换 主要内容 4.1 衍射现象及其数学描述 4.2 菲涅耳衍射 4.3 夫琅禾费衍射 4.4 衍射光栅 4.5 衍射光场的分解与傅里叶变换 4.1 衍射现象及其数学描述 4 光波衍射与变换 4.1 衍射现象及其数学描述4 光波衍射与变换 主要内容 1. 光的衍射现象 2. 惠更斯原理 3. 惠更斯-菲涅耳原理 4. 菲涅耳-基尔霍夫衍射积分 5. 巴俾涅原理 6. 衍射现象的分类 (1) 波动的衍射现象 声波的衍射现象： 水波的衍射现象： 衍射现象的定义：波动的传播偏离直线传播规律的行为 衍：滋生、繁衍、衍生 (2) 光波衍射的基本特征 几何阴影区光强不为零，几何投影区光强非均匀分布 障碍物线度愈小，衍射效应愈强烈 4.1 衍射现象及其数学描述4 光波衍射与变换 4.1.1 光的衍射现象 衍射是波动的基本特征之一，反映了波动在传播过程中的一种边缘效 应。任何波动在通过任何物体的边缘时，都会产生衍射现象。然而，只有 当障碍物的几何线度与波长大小可以比拟时，其衍射现象才能明显地表现 出来。当障碍物的线度远大于波长时，这种边沿效应将变得不明显，从而 表现出直射（直线传播）特征。因此，波动的衍射与直射并不矛盾，只是 传播条件不同而已。 衍射理论是现代变换光学的理论基础。从严格意义上讲，衍射是波动 在传播过程中其波面受到限制的必然结果，而不仅仅是一种边缘效应。在 波动的传播过程中，只要其波面受到了某种限制，如振幅或相位的突变等 ，就必然伴随着衍射现象的发生。 4.1 衍射现象及其数学描述 4 光波衍射与变换 4.1.1 光的衍射现象 (3) 波动的衍射与直射之关系 惠更斯原理的表述：在波动传播过程中的任一时刻，波面上的每一点都可以 看作是一个新的波源，各自发射球面子波。所有子波的 包络面，形成下一时刻的新波面。两个波面的空间间隔 等于波的传播速度与传播时间间隔的乘积。 光的直线传播定律的解释： 图4.1-1 惠更斯原理与波动的直线传播 平面波的直线传播球面波的直线传播 4.1 衍射现象及其数学描述4 光波衍射与变换 4.1.2 惠更斯原理 图4.1-2 反射和折射定律 v1 v1 n2 n1 b a v2 b a c i2 i1 i1 入射光：折射率n1，入射角i1，波面ab ，速度v1 反射光：折射率n1，折射角i1，波面ab ，速度v1= v1 折射光：折射率n2，折射角i2，波面ac ，速度v2 反射定律： 折射定律： (4.1-1) (4.1-2) 4.1 衍射现象及其数学描述 4 光波衍射与变换 4.1.2 惠更斯原理 反射和折射定律的解释： 图4.1-3 光波的衍射 4.1 衍射现象及其数学描述 4 光波衍射与变换 4.1.2 惠更斯原理 衍射现象的定性解释： (1) 惠更斯原理的局限性 (2) 惠更斯-菲涅耳原理 没有涉及波动的时空周期特性，即波长、振幅、相位等。虽然可以用 于确定光的传播方向，但无助于确定沿不同方向传播的光波的振幅和相位 大小。 菲涅耳对惠更斯原理的贡献：将不同子波的干涉叠加引入惠更斯原 理，并赋予其以相应的相位和振幅表达式。 4.1 衍射现象及其数学描述4 光波衍射与变换 4.1.3 惠更斯-菲涅耳原理 s：光源 s ：光源s发出的光波的任一波面 ds ：波面上位于q点的面元 n：面元d 的法线方向单位矢量 q0：光源s到点q连线与面元法线夹角 q：q点到场点p的连线与面元法线夹角 图4.1-4 惠更斯-菲涅耳原理 s p q s q ds r r q0 n 惠更斯-菲涅耳原理的表述： 波面s 上的每个面元ds 都可以看作是新的波源，它们均发射球面子波 ，在与波面相距为r处的p点的光振动u(p)，等于所有球面子波在该点的光 振动du(p)的相干叠加： (4.1-3) 4.1 衍射现象及其数学描述 4 光波衍射与变换 4.1.3 惠更斯-菲涅耳原理 按照菲涅耳的假设，q点处ds 面元发出的球面子波在p点的光振动复振幅： (4.1-4a) (4.1-4b) 或 k：比例常数；u0(q)：光源s在q点引起光振动复振幅； f(q0, q )：倾斜因子，随q0和q 的增大而减小。 p点总的光振动复振幅菲涅耳衍射积分式： (4.1-5) 4.1 衍射现象及其数学描述 4 光波衍射与变换 4.1.3 惠更斯-菲涅耳原理 基尔霍夫的数学结论（通过由电磁场理论严格地数学推导而得到）： 基尔霍夫边界条件：设波面处放置一开孔的无限大不透明光屏，且开孔所对 应的波面面积为s0，则透过光屏的光振动满足： (4.1-8) (4.1-7) (4.1-6) 菲涅耳-基尔霍夫衍射积分： (4.1-9) 4.1 衍射现象及其数学描述4 光波衍射与变换 4.1.4 菲涅耳基尔霍夫衍射积分 说明： 当波面为以s点为中心的球面时， q 0=0，f(q0, q)=(1+cosq )/2，只与场点 p相对波面的方位有关。 (4.1-10) 在傍轴条件下，cos0 cos1，f(0, )=1。 (4.1-11) 实际问题中，通常以光波在光屏平面上的波前代替实际波面，此时s0表 示光屏透光孔的面积，而函数u0(q)表示透过光屏开孔的波前上的光振 动复振幅。 4.1 衍射现象及其数学描述 4 光波衍射与变换 4.1.4 菲涅耳基尔霍夫衍射积分 假设：一对互补光屏（透光区域相反）的透光面积分别为sa和sb，且有 s0= sa+sb，则由积分的线性和可加性可得 (4.1-12a) (4.1-12b) 巴俾涅原理：由一对互补光屏分别在某个给定场点引起的衍射光场复振幅 之和，等于没有光屏情况下，该场点的光振动之复振幅。 即 = + 图4.1-5 巴俾涅原理 4.1 衍射现象及其数学描述4 光波衍射与变换 4.1.5 巴俾涅原理 已知光源发出的光波在自由空间中及透过某个光屏的 复振幅分布，则两者之差即该光波透过相应互补屏的复振幅 分布。在远场条件下，一对互补屏引起的衍射图样具有相同 的形状，只是中心点的强度大小不同而已。 4.1 衍射现象及其数学描述 4 光波衍射与变换 4.1.5 巴俾涅原理 巴俾涅原理的意义 (1) 菲涅耳衍射：近场衍射 产生条件：衍射屏相距光源及观察点两者或两者之一为有限远 图4.1-6 子波源点与场点的几何关系 p x0 q y0 o z x y r o0 场点与衍射屏上的次级点源之距： 4.1 衍射现象及其数学描述4 光波衍射与变换 4.1.6 衍射现象的分类 场点的傍轴条件：z2 x2, y2 次级点源的傍轴条件：z2 x02, y02 衍射积分式： (4.1-13) 图样特点：光强分布与场点到衍射屏的距离及波面形状有关 观察方式：球面波照明时，可在衍射屏后任一平行平面上观察 平面波照明时，可在衍射屏后较近距离处观察 4.1 衍射现象及其数学描述 4 光波衍射与变换 4.1.6 衍射现象的分类 产生条件：狭义：衍射屏距光源点及观察点均为无限远 广义：观察点与光源点所处平面为一对共轭平面 场点与衍射屏上的次级点源之距： 衍射积分式： 场点的远场条件：|z| x2/, y2/ 次级点源的远场条件：|z| x02/, y02/ (4.1-14) 4.1 衍射现象及其数学描述 4 光波衍射与变换 4.1.6 衍射现象的分类 (2) 夫琅禾费衍射：远场衍射 图样特点：光强分布与照明方式及观察位置无关 观察方式：远场或光源的共轭像平面上 说明： 4.1 衍射现象及其数学描述 4 光波衍射与变换 4.1.6 衍射现象的分类 v菲涅耳衍射衍射属于近场衍射，夫琅禾费衍射属于远场衍射。 v由衍射积分式原则上可以求解所有的衍射问题，但当波前及衍射屏形 状较为复杂时，求解过程变得复杂、烦琐。一般只在简单情况下的夫 琅禾费衍射或傅里叶光学中使用衍射积分。 v处理菲涅耳衍射问题，大多采用半定量的菲涅耳半波带法或振幅矢量 叠加法。 v可以由衍射积分出发利用计算机数值模拟出各种衍射现象。 菲涅耳衍射和夫琅禾费衍射的仿真实验结果 图4.1-7 各种孔径（上）的菲涅耳衍射（中）和夫琅禾费衍射（下）仿真图样 (d) 方孔 (a) 圆孔(c) 环孔(b) 圆盘 (e) 三角孔 (f) 剃须刀片 4.1 衍射现象及其数学描述 4 光波衍射与变换 4.1.6 衍射现象的分类 本节重点 4.1 衍射现象及其数学描述4 光波衍射与变换 1. 光的衍射现象的物理实质 2. 惠更斯原理的表述 3. 惠更斯-菲涅耳原理的表述 4. 巴俾涅原理的物理意义 5. 菲涅耳近似条件和夫琅禾费近似条件及区别 4.2 菲涅耳衍射 4 光波衍射与变换 4.2 菲涅耳衍射4 光波衍射与变换 主要内容 1. 圆孔的菲涅耳衍射 2. 圆盘的菲涅耳衍射 3. 直边及单缝的菲涅耳衍射 4. 任意形状屏的菲涅耳衍射 4.2 菲涅耳衍射4 光波衍射与变换 4.2.1 圆孔的菲涅耳衍射 (1) 菲涅耳衍射的实验观察 衍射图样位置：衍射屏后的某个平面 球面波照明下的菲涅耳衍射（c:衍射屏；r：圆孔半径；p：观察平面） 发散球面波照射 c zr ps r 会聚球面波照射 l s p s c z r 图4.2-1 圆孔的菲涅耳衍射与波带分割原则 p b+ b+/2 so b+3/2 c r m1 b+2 m4 m3 m2r b 4.2 菲涅耳衍射4 光波衍射与变换 (2) 菲涅耳半波带法 取波面顶点（或圆孔中心点）o到观察场点p的距离为b，以场点p为球 心，分别以b+/2、b+、b+3/2、为半径作球面，将透过小孔的波面（或 波前）截成若干环带菲涅耳半波带或菲涅耳波带（简称波带），使得相 邻两个波带的边缘点到p点的光程差等于半个波长，即 波带分割原则： 波带的面积及半径计算： 考察第k个波带（图4.2-2）， 设其边沿点mk的高度（即环带半径 ）为k，相应的垂足点ok到波面顶 点o的距离（即第k个波带外边沿环 绕的球面的高度）为hk，则该波带 外边沿环绕的波面的面积为 (4.2-1) 4.2 菲涅耳衍射 4 光波衍射与变换 4.2.1 圆孔的菲涅耳衍射 图4.2-2 波带半径及面积计算 ps o mk ok r b b+k/2rk hk 考察直角三角形smkok和 pmkok： (4.2-2) 时），且等于： 第k个波带的半径： 被圆孔限制的波面（波前）所能分割出的波带数目： p点合振动振幅大小的计算： 假设：同一波带上各点到p点的距离相等 同一波带上各面元的法线与该面元中心到p点连线的夹角相等 4.2 菲涅耳衍射 4 光波衍射与变换 4.2.1 圆孔的菲涅耳衍射 (4.2-8) 任一波带在p点产生的光振动的振幅仅仅与该波带到p点的距离及方向 角有关，即随着波带级数的增大而单调地减小，可表示为： 相应的振动相位依次为：f0，f0+p，f0+2p，f0+3p， f0+(k-1)p，f0+kp。 由此可以得到： 同一波带上各面元在p点产生的光振动具有相同的振幅和相位； 由k个波带在p点引起的合振动的振幅为： (4.2-9) 取奇数项： ， ， 及近似： ， 4.2 菲涅耳衍射 4 光波衍射与变换 4.2.1 圆孔的菲涅耳衍射 结论： 被圆孔限制的波面相对于场点p所能分割的波带数k的奇偶性决定了p点 的光强度的极大或极小，k的大小又取决于照射光的波长、波面的曲率半 径r、圆孔的半径及衍射光屏到p点的距离b。 (4.2-10) 则有： 图4.2-3 波带法中的振幅矢量 (a) k为奇数 ak a4 a3 a2 a1 a(p) (b) k为偶数 ak a4 a3 a2 a1 a(p) 当波面相对于p点刚好分为奇数个波带时，p点的合振动振幅约等于第一 个波带与第k个波带引起的振动之和的一半，即强度取极大值： 当波面相对于p点刚好分为偶数个波带时，p点的合振动振幅约等于第 一个波带与第k个波带引起的振动之差的一半，即强度取极小值： (4.2-12) (4.2-11) 当波面相对于p点不一定刚好分为整数个波带时，p点的合振动的强 度则介于极大值与极小值之间：imin dqjw），衍射图样为宽阔的暗背景下的一组锐细的亮线。 当衍射角较小时，主极大值条纹的半角宽度和角间距近似为常数： (4.4-19) (4.4-18) 4.4 衍射光栅 4 光波衍射与变换 4.4.2 朗琴光栅的夫琅禾费衍射 光栅方程：平面衍射光栅在给定衍射角方向出现主极大值中心的必要条件 (4.4-21) 平行光垂直入射： 平行光斜入射： ， j=0, 1, 2, 3, ， j=0, 1, 2, 3, (4.4-20) 符号规则：以光栅法线为基准，入射光与衍射光位于同侧时，入射角q0前取 正号；异侧时，取负号。 图4.4-6 平行光倾斜照射光栅时的夫琅禾费衍射 (a) 同侧 q q0 g (b) 异侧 q q0 g 4.4 衍射光栅 4 光波衍射与变换 4.4.2 朗琴光栅的夫琅禾费衍射 (4) 光栅方程 缺级现象：衍射图样中亮条纹的缺位现象。 图4.4-7 光栅衍射的缺级现象（n=20） d=2a d=3a d=5a d=4a 给定衍射角方向上相应级次的主极大 值条纹中心与单缝衍射的某一级极小值位 置重合。即该衍射方向同时满足条件： dsinq=j和asinq=j，故而受单缝衍射 因子的调制，该级主极大值条纹强度等于 0。 (4.4-22) 缺级亮条纹级次： 缺级的原因： 4.4 衍射光栅 4 光波衍射与变换 4.4.2 朗琴光栅的夫琅禾费衍射 (5) 缺级现象 光栅方程只表示了在给定衍射角方向出现主极 大值中心的必要条件，即使该条件已得到满足，但 同时在该方向又满足单缝衍射的极小值条件，则该 方向上的主极大值将并不出现，即发生缺级现象。 结 论 4.4 衍射光栅 4 光波衍射与变换 4.4.2 朗琴光栅的夫琅禾费衍射 光栅光谱：根据光栅方程，在给定亮纹级次情况下，衍射角与波长成正比。 因此，复色光照射时，同一级次不同波长的衍射主极大值位置 不同，从而形成的一组不同波长彼此分开的锐细的彩色谱线。 光栅光谱仪：基于光栅衍射分光原理的光谱仪摄谱仪、单色仪、分光计。 图4.4-8 光栅光谱仪原理 l2 平行光管 蓝 绿 红 白 光 光 源 l1 s 0级衍射 光栅 4.4 衍射光栅 4 光波衍射与变换 4.4.2 朗琴光栅的夫琅禾费衍射 (6) 光栅光谱 v 同一级谱线中，长波谱线的衍射角大于短波谱线； v 随着级次的增大，不同波长、不同级次的谱线可能发生重叠； v 白光照射时，除中央0级亮纹中心仍为白色外，其余各级均为自短波长 到长波长排列的连续光谱。 光栅光谱仪的色散本领（色散率）衍射角随波长的变化率 角色散率： 线色散率： (4.4-23) (4.4-24) 结论：光栅光谱的色散本领与光栅常数及衍射光谱级次有关。衍射级次越 高，光栅常数越小，色散本领越大。 4.4 衍射光栅 4 光波衍射与变换 4.4.2 朗琴光栅的夫琅禾费衍射 光栅光谱的特点 光栅光谱与棱镜光谱的比较 棱镜光谱：非匀排光谱，只有一级。起因于折射率色散，q； 光栅光谱：匀排光谱（小角度），有多级。起因于衍射色散，q。 光栅光谱仪的量程 由于光栅的衍射角最大不超过90o（qjm。 满足这一关系的波长范围，称为光谱仪在该衍射级的自由光谱范围。对于1 级光谱：m m/2。 光栅光谱仪的自由光谱范围 4.4 衍射光栅 4 光波衍射与变换 4.4.2 朗琴光栅的夫琅禾费衍射 由于透镜总是存在色差问题，实际光谱仪中都尽量避 免适用透镜进行光谱成像，而是采用凹面反射镜来会聚衍 射光谱。因为反射镜系统是理想的消色差系统。有的光栅 光谱仪直接采用凹面反射式光栅，既作为分光器件，又作 为成像器件，从而大大简化了光路系统。 说 明 4.4 衍射光栅 4 光波衍射与变换 4.4.2 朗琴光栅的夫琅禾费衍射 透射式光栅的缺点：0级主极大值条纹占有绝大部分光能量，仅有很少部分 光能量分布于高级次条纹上。特别是当光栅狭缝数目很 大时，高级次条纹的强度变得很小。 闪耀光栅：由一组锯齿状刻槽构成的反射式光栅。 闪耀光栅的特点：可将单槽衍射的0级与槽间干涉的0级在空间错开，从而把 光能量转移并集中到所需要的某一级光谱上。 闪耀角：刻槽面法线与光栅面法线之间的夹角，以qb表示。 4.4 衍射光栅4 光波衍射与变换 4.4.3 闪耀光栅 图4.4-9 闪耀光栅的结构 d q b 光栅平面 刻槽平面 (4.4-25) 单槽衍射的0级方向正好沿入射光方向返回。光栅衍射的0级主极大值 中心位于-qb方向（与入射光线相对于光栅平面法线呈镜面对称）。相邻刻 槽反射的光束在其反射方向的光程差为d=2dsinqb。对于波长为b的单色成 分，在该方向上出现相长干涉的条件是： ， j=1, 2, 3, 图4.4-10 闪耀光栅的衍射（垂直槽面照射） d d q b q b 光栅衍射中央主极大方向 -q b 单缝衍射中央主极大方向 4.4 衍射光栅 4 光波衍射与变换 4.4.3 闪耀光栅 平行光束垂直刻槽表面入射 (4.4-26) 由于刻槽表面相对于光栅面法线方向夹角为qb，单槽衍射的0级极大值 不再沿刻槽面法线方向，而是沿与光栅面夹角q0=2qb的反射方向。相邻刻 槽表面反射的光束间的光程差变为：d=dsin(2qb)。因此，闪耀条件变为 ， j= 1, 2, 3, 单缝衍射中央主极大方向 =q0 2q b d q b 光栅衍射中央主极大方向 图4.4-11 闪耀光栅的衍射（垂直栅面照射） 4.4 衍射光栅 4 光波衍射与变换 4.4.3 闪耀光栅 平行光垂直光栅平面入射 闪耀波长： b；闪耀级次：j。 闪耀光栅的特点：单槽宽度a与刻槽间距d相差很小，故其它衍射级次（包括 中央0级）都因几乎落在单槽衍射的极小值位置而形成缺级，从而将 80%90%的光能量都集中到b成分的第j级谱线上。当a取值很小时 ，单槽衍射的中央主极大分布较宽，从而可使得位于闪耀波长附近 波段的光谱强度都得到提高。 结论：满足由闪耀条件时，波长b的第j级谱线将被转移到单槽衍射的0级极 大值方向，从而大大提高谱线的亮度。通过闪耀角qb的不同设计，可 以使光栅适用于某一特定波段的某级光谱上。 4.4 衍射光栅 4 光波衍射与变换 4.4.3 闪耀光栅 da j=1 n=20 da j=2 n=20 图4.4-12 闪耀光栅的衍射原理图4.4-13反射式光栅单色仪结构光路 m1 探 测 器 狭缝s2 狭缝s1 光 源 m2 凹面反射镜 闪耀光栅 g 4.4 衍射光栅 4 光波衍射与变换 4.4.3 闪耀光栅 正弦光栅：复振幅透过率具有正弦（余弦）函数形式的衍射屏 (4.4-27) (4.4-28) 一维正弦光栅： 正交正弦光栅： f0=1/d，fx=1/dx，fy=1/dy：光栅的空间频率，大小等于光栅常数的倒数。 一维正弦光栅的夫琅禾费衍射： 设单位振幅平面光波垂直照射一维正弦光栅，则透射光波复振幅表示为 (4.4-29) 4.4 衍射光栅4 光波衍射与变换 4.4.4 正弦光栅的夫琅禾费衍射 图4.4-14 正弦光栅的夫琅禾费衍射 l2 f2 p+q p0 q s l1 光栅g p-q 结论：垂直入射的平面光波被一维正弦光栅衍射后，分解为三束方向不同 的平面光波（空间频率分别为0和f0）。其中，第一项代表0级衍射 ，衍射角：q0=0；第二项代表+1级衍射，衍射角：sinq+=f0=/d； 第三项代表-1级衍射，衍射角： sinq-=-f0=-/d 。 4.4 衍射光栅 4 光波衍射与变换 4.4.4 正弦光栅的夫琅禾费衍射 体光栅：具有三维空间周期性结构的衍射体，厚度远大于空间周期。 举例：晶格点阵、体全息图、由超声波或光波在透明介质中形成的空间周 期性折射率或密度分布。 4.4 衍射光栅4 光波衍射与变换 4.4.5 体光栅的布拉格衍射 图4.4-15 三维体光栅结构图4.4-16 体光栅的布拉格衍射 q q d aa 相邻界面反射的两束光波间光程差： (4.4-30) 布拉格条件反射光波发生相长干涉的条件，即： 一维体光栅可等效为一组透明的等间隔平行界面。光波进入介质后， 将在每个界面上发生反射和透射，自各个界面透射的光波相位相同，与界 面间距即光栅常数无关，其叠加结果形成0级衍射极大值。自不同界面反 射的光波相位有可能不同，其叠加结果与光波入射角a或掠射角a有关。 4.4 衍射光栅 4 光波衍射与变换 4.4.5 体光栅的布拉格衍射 体光栅的衍射特点： 布拉格条件是描述体光栅衍射的基本方程，又称布拉格方程。对于给定 的光栅常数，不同波长满足布拉格条件所要求的掠射角不同。或者说 ，给定波长情况下，只有方向满足布拉格条件的入射光波，才能发生 衍射（反射）。另一方面，给定光栅常数和入射方向情况下，只有波 长满足布拉格条件的入射光波，才能发生衍射（反射）。此即布拉格 衍射的方向和波长选择特性，是体全息再现、声光调制器以及光纤光 栅的理论基础。 体光栅的三维结构特点，决定了其光栅常数往往不是唯一的。对于给定 波长，在给定入射光方向情况下，会出现多级布拉格衍射条纹，这些条 纹的产生起源于不同取向且不同光栅常数的空间结构。晶体的x射线衍 射，正是利用这一原理，通过对给定波长x射线经晶体的衍射光谱分析 ，从而确定出晶体结构特征和晶格常数。 说明： 4.4 衍射光栅 4 光波衍射与变换 4.4.5 体光栅的布拉格衍射 云纹效应：两块光栅（或网状结构）叠置时出现的几何投影条纹，又称莫 阿条纹。 图4.4-17 光栅的莫阿条纹 (a) 第一类莫阿条纹(b) 第二类莫阿条纹 a 如果把等间隔平行排列 的光栅栅线（狭缝）看成是 单色平面光波的一组等相位 面，则莫阿条纹可以看成是 两列单色平面光波叠加时形 成的干涉条纹。 4.4 衍射光栅4 光波衍射与变换 4.4.6 光栅的云纹效应 (1) 第一类云纹（第一类莫阿条纹） 定义：两个栅线平行但光栅常数略有不同的光栅叠置时产生的条纹图样。 条纹特点： 透光部分形成亮纹，不透光部分形成暗纹； 条纹排列方向平行于光栅栅线方向； 相邻（暗）亮条纹中心的间距： (4.4-31) 可见，两光栅常数d和d相差很小时，莫阿条纹的间距dx可以很大。此 即第一类云纹效应的光学放大原理。 两光栅沿栅线方向相对平移一个栅距（光栅常数），莫阿条纹相应移动 一个条纹间距。 4.4 衍射光栅 4 光波衍射与变换 4.4.6 光栅的云纹效应 (2) 第二类云纹（第二类莫阿条纹） 定义：两个空间频率（或光栅常数）相同但栅线相对有一很小转角的光栅 叠置时产生的条纹图样。 条纹特点： 透光和不透光部分分别形成亮纹和暗纹 条纹排列方向垂直于光栅栅线方向与第一类云纹正交 (4.4-32) 相邻（暗）亮条纹中心的间距： 两光栅栅线夹角a 很小时，莫阿条纹的间距dx可以很大。此即第二类 云纹效应的光学放大原理。 两光栅沿栅线方向相对平移一个栅距（光栅常数），莫阿条纹相应移动 一个条纹间距。 4.4 衍射光栅 4 光波衍射与变换 4.4.6 光栅的云纹效应 结论：云纹效应反映了相互叠置的两光栅之间的微小差异。这种差异越小， 所引起的莫阿条纹间距dx越大。前者是微小量，后者则是宏观量。通 过常规方法对莫阿条纹的测量，即可推算出两光栅的微小差异。利用 这一原理，可检测光栅或网格的质量、测量工程材料或结构件的应力 、应变，测量物体的三维面形，以及微小位移和速度等。 图4.4-19 莫阿条纹的应用 表面等高线表面变形 4.4 衍射光栅 4 光波衍射与变换 4.4.6 光栅的云纹效应 具有周期性结构的衍射 屏在空间的周期性衍射自成 像现象。 图4.4-20 光栅的塔耳博特（talbot）效应 g3g1g2 z s l1g z1 z2 z3 光栅的塔耳博特效应特点： 设平面光波垂直照射光栅，波长为，光栅常数为d，则塔耳博特像距 离光栅的位置： (4.4-33) 灰度反转像（反转塔耳博特像）的位置： (4.4-34) 4.4 衍射光栅4 光波衍射与变换 4.4.7 塔耳博特效应 塔耳博特效应： 透过光栅的衍射光波在空间相遇区发生相干叠加，在满足塔耳博特距 离的平面上，所有参与叠加的衍射波分量间的相位关系正好与光栅平面处 相同。其相干叠加的结果，再次形成类似光栅几何投影的条纹图样。 z=d2/z=2d2/z=3d2/z=4d2/z=0 图4.4-21 正弦光栅的塔耳博特效应的衍射图解 无透镜成像，可用于复制印 刷电路板的掩模板、复制光栅、 复制阵列微光学器件，或形成云 纹测量用的空间虚光栅等。 塔耳博特效应的应用： 4.4 衍射光栅 4 光波衍射与变换 4.4.7 塔耳博特效应 塔耳博特效应的产生机制： 本节重点 4.4 衍射光栅4 光波衍射与变换 1. 多缝及朗琴光栅的夫琅禾费衍射图样特点 4. 闪耀光栅和正弦光栅的夫琅禾费衍射图样特点 2. 平面光栅衍射的光栅方程 3. 缺级现象的起因及特点 5. 体光栅的布拉格衍射方程 6. 两类云纹效应的特点及可能应用 4.5 衍射光场的分 解与傅里叶变换 4 光波衍射与变换 4.5 衍射光场的分解与傅里叶变换4 光波衍射与变换 主要内容 1. 衍射光场的傅里叶分解 4. 菲涅耳衍射的再讨论 2. 二维傅里叶变换的基本性质 3. 夫琅禾费衍射的再讨论 5. 干涉与衍射的区别和联系 将波前上所有源点发射的球面次波中具有相同传播方向的成分集合在一 起，便构成一束平面波。各球面子波中不同传播方向的成分分别构成不同方 向的平面波分量。这些不同方向的平面波分量，代表着波前上包含的不同空 间频率成分。因此，任何一个复杂单色波场的波前，都可以看作是一系列具 有不同振幅和传播方向的基元单色平面波的线性叠加。 图4.5-1 光波场的傅里叶分解 e(x, y) s z 图4.5-1 光波场的傅里叶分解 基本思想： 4.5 衍射光场的分解与傅里叶变换4 光波衍射与变换 4.5.1 衍射光场的傅里叶分解 一个任意的解析函数，可以看作是由一系列具有不同周期或频率的基 元简谐函数的线性叠加。一个二维的光波场复振幅e(x, y)，也可以分解成一 系列具有不同空间频率的基元简谐波场复振幅的线性叠加，即 (4.5-1) expi2p(ux+vy)：沿x和y方向空间频率分别为u和v的基元简谐波的相位因子 ，或方向余弦为cosa=u，cosb=v的单色平面波相位因子。 e(u, v)：该基元平面波占整个光波场e(x, y)的权重，反映了光波场e(x, y)的 空间结构特征，即光波场的空间频谱复振幅分布： (4.5-2) 4.5 衍射光场的分解与傅里叶变换 4 光波衍射与变换 4.5.1 衍射光场的傅里叶分解 数学描述： e(u, v)：e(x, y)的傅里叶变换(4.5-3a) 透过衍射屏的光波场，实际上可看作是一系列具有不同传播方向或空 间频率的单色平面波分量的线性叠加。每个平面波分量的空间取向和相对 相位由其空间频率(u, v)决定，振幅由权重因子e(u, v)决定。 e(x, y)：e(u, v)的逆傅里叶变换(4.5-3b) 结论： 数学意义： 4.5 衍射光场的分解与傅里叶变换 4 光波衍射与变换 4.5.1 衍射光场的傅里叶分解 光波场傅里叶变换的意义 e(x, y) z e(u, v) ff (4.5-4) 设二维函数g(x, y)和h(x, y)均为解析函数，其各自的傅里叶变换分别为 g(u, v)和h(u, v)，则对于任意常数a和b，有如下性质： (1) 线性性质 意义：两个函数线性叠加的傅里叶变换等于各个函数傅里叶变换的线性叠加。 (2) 比例性质（尺度缩放性质） (4.5-5) 意义：空间域的坐标比例放大，导致频率域坐标比例缩小。 4.5.2 二维傅里叶变换的基本性质 4.5 衍射光场的分解与傅里叶变换4 光波衍射与变换 (3) 相移性质 (4.5-6a) (4.5-6b) 意义：空间域的坐标平移，引起频率域的相移；空间域的相移，引起频率域 的平移。 (4.5-7a) (4) 微积分性质 (4.5-7b) 4.5 衍射光场的分解与傅里叶变换 4 光波衍射与变换 4.5.2 二维傅里叶变换的性质 意义：光波场在空间域的总能量等于其在频率域的总能量。 (5) 能量守恒性质 (4.5-8) (6) 卷积性质 卷积运算的定义： (4.5-9) 卷积性质： (4.5-10a) (4.5-10b) 意义：两个函数卷（乘）积的傅里叶变换等于其各自傅里叶变换的乘（卷） 积。 4.5 衍射光场的分解与傅里叶变换 4 光波衍射与变换 4.5.2 二维傅里叶变换的性质 (7) 相关性质 互相关运算的定义： (4.5-11a) 自相关运算的定义： (4.5-11b) 相关性质： 意义：两个函数相关的傅里叶变换等于第一个函数傅里叶变换共轭与第二个 函数傅里叶变换的乘积。 (4.5-12b) (4.5-12a) 4.5 衍射光场的分解与傅里叶变换 4 光波衍射与变换 4.5.2 二维傅里叶变换的性质 (8) 共轭性质 意义：一个函数经两次傅里叶变换后又得到函数自身，但空间坐标反转；经 四次变换后还原为函数本身。 (4.5-14b) (4.5-13a) (4.5-13b) 意义：一个函数共轭的傅里叶变换等于其傅里叶变换的共轭且频率坐标反转。 (9) 循环性质 (4.5-14a) 4.5 衍射光场的分解与傅里叶变换 4 光波衍射与变换 4.5.2 二维傅里叶变换的性质 (4.5-15) 考虑夫琅禾费近似下的衍射积分式，并假设衍射屏孔径的大小与波前 函数的取值范围相同，即 取k=2p/ ，u=x/z，v=y/z，得 (4.5-16) (4.5-17) 4.5.3 夫琅禾费衍射的再讨论 4.5 衍射光场的分解与傅里叶变换4 光波衍射与变换 夫琅禾费近似下，观察平面上的衍射光场复振幅分布正比于衍射屏透射光 场复振幅的傅里叶变换。由于常数因子-ieikz/z并不影响衍射光场的强度 分布特征，因此也可以说，夫琅禾费衍射过程，实际上是光学系统对透过 衍射屏的光波的一次傅里叶变换过程。若以单色平面波垂直照明衍射屏， 则其衍射图样的相对光强分布，实际上就是衍射屏的傅里叶变换谱。 结论： 夫琅禾费衍射过程中，透过衍射屏的光波场中的不同平面波分量将被透镜 会聚到像方焦平面上不同点。观察平面上衍射图样的分布，反映了衍射屏 透射光场中具有不同方向平面波衍射分量的分布。不同方向的平面波代表 不同的空间频率，因此，衍射图样就是衍射屏透射光波场的空间频率分布 。利用夫琅禾费衍射过程，可实现对二维图像的傅里叶变换操作。能够实 现夫