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石景山区第一学期期末考试试卷高三数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内题号12345678答案二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分把答案填在题中横线上题号91011121314答案；注：第11、14题第1个空3分，第2个空2分.三、解答题：本大题共6个小题，共80分解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤15（本题满分12分）解：（） , . 又 , 解得 3分 ， 是锐角 6分（） ， . 解得 8分 又， 12分16（本题满分12分）解：（） 2分由题意知，得 5分 6分（） ， 由解得或，由解得 10分 的单调增区间为：和；的单调减区间为： 12分17（本题满分14分）解法一：（）证明： 面面，且面面， 面 2分又 面， 4分（）解：如图，过点作于，连结由（）知面 是斜线在平面内的射影， （三垂线定理） 是二面角的平面角 6分设，由，得， 是正三角形， 二面角的大小为 9分 （）解：如图，取三边、的中点、，连结、，则，；， 是异面直线与所成的角或其补角 11分 是正三角形，且平面平面， 面，是直角三角形，又 面，故在中， 异面直线和所成角为 14分解法二：（）分别取、的中点、，连结、是正三角形，面面，且面面，平面是的中位线，且平面，平面以点为原点，所在直线为轴，所 在直线为轴，所在直线为轴，建立空间 直角坐标系 2分设，则， ， ， 4分，即 6分（）平面，平面的法向量为 7分设平面的法向量为，即 ，即 令，则， 9分 二面角是锐角，二面角的大小为 11分（），异面直线和所成角为 14分18（本题满分14分）解：（）恰好取球3次的概率； 3分（）由题意知，的可能取值为、， ， ， ， 所以，取球次数的分布列为：1234510分（） 因为甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球记“甲取到白球”的事件为a则因为事件“”、“”、“”两两互斥，所以 所以恰好甲取到白球的概率为 14分19（本题满分14分）解：（）数列是等差数列， 又， ，或 2分 公差， ， 4分（）， 6分 数列是等差数列， 去分母，比较系数，得 9分 10分（） 12分当且仅当，即时，取得最大值 14分20（本题满分14分）解：（） （）， 1分令，要使在为增函数，只需在上满足：恒成立，即上恒成立又 ， 4分 5分（）证明：要证 ，即证 ，设， 6分当时， 为单调递增函数；当时， 为单调递减函数； 9分 即 ， 10分 （）
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