毕业设计（论文）-滤波器的设计技术研究与仿真.doc

西北师范大学知行学院毕业设计第一章 绪论 数字信号处理（digital signal processing）是一门新兴学科，它研究用数字方式进行信号处理，即利用数字计算机或专用数字处理设备对信号进行分析、变换、综合、滤波、估计与识别等处理。随着大规模集成电路和计算机技术的迅猛发展，数字信号处理技术已广泛应用于通信、语音、雷达、地震预报、声呐、遥感、生物医学、电视、控制系统、故障检测、仪器仪表等领域，对许多学科的发展起到了重大的推动作用。1.1 数字信号处理系统的基本组成客观世界存在着大量的模拟信号，在工程大量地使用“数字系统”来处理模拟信号。处理模拟信号的典型系统如图0-1所示，显然它是一个模拟和数字的混合系统，一般称其为数字信号处理系统。图0-1中模拟信号经变换器抽样（抽样周期为）后成为仅在一系列时间点上有定义的等间隔的离散时间信号。实际上，抽样过程即是对模拟信号的时间量化过程。然后，在变换器的保持电路中将抽样信号进行幅度量化（如8位变换器，只能表示中不同的信号幅度，就要以最接近的一个量化电平来近似它。因此，模拟信号经变换器后，不但时间量化了，而且幅度也量化了，这种信号便称为数字信号，它是数的序列，可用来表示，每个数用有限个二进制数码表示。一般地，将数字信号存储在数字信号处理器的存储器中，成为按顺序排列的数组。序列可由抽样时间信号产生，也可由其他非时间信号产生，这使得数字信号处理技术适用于更广泛的领域。图0-1中的数字信号处理器是数字信号处理系统的核心部分，其输入是数字信号，在处理器中对信号进行加工处理，得到输出数字信号。然后，通过d/a变换器，将数字序列变换成模拟信号，这些信号在时间点上的幅度应等于序列中相应数码所代表的数字大小。图0-1讨论的是处理模拟信号的数字系统。在实际应用中，输入端还需要加抗混叠滤波器，其作用是将输入信号中高于某一频率（称折叠频率，等于抽样频率的一半）的分量加以滤除，以避免频谱混叠。在输出端需加低通滤波器，以滤除掉不需要的高频分量，平滑所需的模拟输出信号。此外，实际系统并不一定包括图0-1中的所有部分，如某些系统只需数字输出，那么就不需要d/a转换器。另一些系统，其输入是数字信号，因而就不需要a/d变换器。对于纯数字系统，则只需要数字信号处理器这一核心部分。1.2 数字信号处理的基本内容确定性数字信号处理的基本理论主要包括如下内容：（1）模拟信号的预处理（又称预滤波或者前置滤波）：滤除输入模拟信号中的无用频率成分和噪声，避免采样后发生频谱混叠失真；（2）模拟离散信号的时域采样与恢复：模数转换技术，采样定理，量化误差分析等；（3）时域离散信号与系统分析：信号的表示与运算，各种变换（傅立叶变换、z变换和离散傅立叶变换），时域离散信号与系统的时域和频域的描述与分析；（4）数字信号处理中的快速算法：快速傅立叶变换，快速卷积等；（5）模拟滤波器和数字滤波器分析、设计与实现；（6）多采样频率信号处理技术：采样频率转换系统的基本原理及其高效实现方法。上述六个方面是基本的内容，在我的论文研究中将重点放在第五个方面，在第五个方面的重点又是数字滤波器的研究。应当注意，数字信号处理的理论、算法和实现方法这三者是密不可分的。把一个好的信号处理理论应用于工程实际，需要相应的算法以便使信号处理高效高速，并使实现系统简单易行。所以，除了上述基本理论，数字信号处理算法及其实现技术也是极其重要的。例如，频谱分析和滤波是最基本的信号处理，频谱分析就是计算信号的离散傅立叶变换（dft）,滤波实质就是计算两个信号的卷积。1.3 数字信号处理的实现方法数字信号处理的实现方法一般分为软件实现、专用硬件实现和软硬件结合实现，每种实现方法各有特点。例如，一阶时域离散线性是不变系统可以用如下差分方程描述：后面会看到：当时，系统为低通滤波器；当时，系统为高通滤波器。软件实现就是在通用计算机上编程序求解差分方程，得到对输入信号的滤波处理结果。用硬件实现的原理方框图如图0-2所示，由一个加法器、一个乘法器和一个延时器构成。下面介绍数字信号处理的三种实现方法及其特点。（1）软件实现：在通用计算机上编程序实现各种复杂的处理算法。程序可以由处理者开发，也可以使用信号处理程序库中现成的程序。软件处理最大的优点是灵活，开发周期短。其缺点是处理速度慢。所以多用于处理算法研究、教学实验和一些处理速度要求较低的场合。（2）专用硬件实现：采用加法器、乘法器和延时器构成的专用数字网络，或者专用集成电路实现某种专用的信号处理功能。如调制解调器、快速傅立叶变换芯片、数字滤波器芯片等。这种实现方法的主要优点是处理速度极快，缺点是不灵活，开发周期长。适用于要求高速实时处理的一些专用设备，这些设备一旦定型，就不再改动，便于大批生产。如数字电视接收机中的高速处理单元。（3）软硬件结合实现：依靠通用单片机或数字信号处理专用单片机（dsp）的硬件资源，配置相应的信号处理软件，实现工程实际中的各种信号处理功能。如数字控制系统和智能仪器设备等。dsp芯片内部带有硬件乘法器、累加器，采用流水线工作模式和并行结构，并配有适合信号处理运算的高效指令。由于这种实现方法集中了软件实现和专用硬件实现的优点，高速、灵活、开发周期短，因此dsp技术及其应用已成为信号处理学科研究的中心内容之一。1.4 数字信号处理的主要优点模拟信号处理系统只能对信号进行一些常规的简单处理，而数字信号处理是用数值运算的方法实现对信号的处理，可以用计算机进行很多复杂的处理。所以，相对于迷你信号处理，数字信号处理有很多优点，主要优点归纳如下：（1）灵活性好。数字信号适用计算机处理，也可以用可编程器件（如通用单片机、dsp、可编程逻辑器件等）实现，通过编程容易改变数字信号处理系统的参数，从而使系统实现各种不同的处理功能。灵活性还体现在数字系统容易实现时分复用技术。（2）稳定可靠，不存在阻抗匹配问题。只要设计正确，就可以确保数字系统稳定工作。稳定可靠的另一种含义是指数字系统的特性不易随使用条件的变化而变化。由于各级数字系统之间是通过数据进行耦合的，所以不存在模拟电路中的阻抗匹配问题。（3）处理精度高。用模拟电路计算对数时，达到1%的精度都很困难，而且模拟电路内部和外部噪声也影响处理精度。数字系统的处理精度由系统字长（二进制位数）决定，计算机和dsp得字长由8位提高到16、32和64位，可以选择合适的字长满足各种精度要求，另外数字系统工作在二进制状态，所以基本不受内部噪声的干扰。（4）便于加解密。随着信息安全要求越来越高，加解密算法越来越复杂，只有数字处理才能解决这种问题。（5）便于大规模集成化，小型化。由于数字电路对电路参数的一致性要求低，组成数字系统的基本单元和基本模块具有高度的一致性，所以便于大规模集成和大规模生产。从而使数字系统体积小、重量轻、性能价格比较高。（6）便于自动化，多功能化。数字系统很容易根据各种状态自动执行相应的操作，并且一个系统可以实现多种功能。（7）可以实现模拟系统无法实现的复杂处理功能。数字系统可以实现如解卷积、时分复用、特高选择性滤波、严格的线性相位特性、复杂的数字运算、信号的任意存取、各种复杂的处理与变换（电视系统中的多画面、各种特技效果、特殊的音响和配音效果等）。本论文的研究主要着重与数字滤波器的设计。在数字滤波器的实现中分为两个方向，一个是无限冲激响应（iir）数字滤波器的设计与实现，其中重点放在巴特沃斯数字低通滤波器的实现；另一个是有限冲激响应数字高通滤波器的设计与实现，其设计的过程中将重点研究窗函数的设计思想。第二章 数字滤波器的基本概念及一些特殊滤波器2.1 数字滤波器与数字滤波2.1.1 数字滤波器与数字滤波数字滤波器和模拟滤波器有同样的滤波概念，它可以将输入信号的某些频率成分或某个频带进行压缩、放大，从而改变输入信号的频谱结构，因此也可以说是一个频率选择器。另外滤波的概念还包括对信号进行检测和参数估计，例如检测噪声中是否存在信号，或者为识别信号估计某一个或几个参数等。然而数字滤波器和模拟滤波器具有不同的滤波方法，数字滤波器是通过对输入信号进行数字运算的方法来实现滤波的，模拟滤波器要求系统的输入、输出信号均为数字信号。但在输入端和输出端分别加上模数转换器和数模转换器，数字滤波器同样可以完成对模拟信号的滤波信号。2.1.2 数字滤波器的实现方法实现一个数字滤波器的方法有多种，可以用软件在计算机上实现，可以用专用的数字信号处理芯片完成，也可以硬件（用加法器、乘法器和延时器的组合）完成。2.1.3 数字滤波器的可实现性数字滤波器是一个线性是不变系统，实现一个线性是不变系统要考虑系统的可实现性，即要求系统因果稳定，为此要求设计出的系统极点全部集中在单位圆内。另外硬件乘法器只能实数乘法，要求系统的差分方程的系统或者函数的系数为实数，这样使系统的零极点必须共轭成对出现，或者是实数。2.1.4 数字滤波器的种类数字滤波器的种类很多，但总的来说可以分成两大类，一类是经典滤波器，另一类可称为现代滤波器。一般经典滤波器是指用线性系统构成的滤波器。现代滤波器的理论建立在随机信号处理的理论基础上，它利用了随机信号内部的统计特性对信号进行滤波、检测或估计等，例如卡尔曼滤波器、自适应滤波器等。下面主要介绍经典滤波器的分类。（1）从滤波器的特性方面考虑，数字滤波器可分为数字高通、数字低通、数字带通和数字带阻等滤波器，这些滤波器的滤波性质都反映在它们的名称上。（2）从实现方法桑考虑，将滤波器分成两种，一种称为无限脉冲响应滤波器，简称iir（infinite impulse response）滤波器，另一种称为fir（finite impulse response）滤波器。iir滤波器的单位脉冲响应为无限长，网络中有反馈回路。fir滤波器的单位脉冲响应是有限长的，一般网络没有反馈回路。iir滤波器的系统函数用下式表示iir滤波器的系统函数一般是一个有理分式，分母多项式决定滤波器的反馈网络。fir滤波器的系统函数用下式表示上式中的就是fir滤波器的单位脉冲响应。这两种滤波器的设计方法不同，运算结构也不同，因此在后面的滤波器设计及滤波器实现中将按照iir和fir两种滤波器分别进行研究。2.2 简单滤波器的设计这一节将讨论用z平面零极点放置法设计简单滤波器。零极点放置法的基本原理是：极点放置在要加强的频率点附近（单位圆内），极点越靠近单位圆频率响应的峰值越高；零点放置在将要减弱的频率附近，零点越靠近单位圆频率响应的谷值越小，如放在单位圆上幅度为零。另外还有两个约束条件：（1）所以极点必须在单位圆内，以保证滤波器因果稳定；（2）所有零极点必须共轭成对，或者是实数，以保证滤波器的系数是实数，以便于进行实数乘法。2.2.1 一阶数字滤波器一阶数字滤波器指的是具有一个极点，零极点可以有一个也可以没有的滤波器。零极点的分布图如2-1所示。图2-1的极点在处，这是一个低通滤波器。图2-1在处增加一个零点进一步减弱了处的幅度。如果将图2-1的(a)和(b)的零极点旋转，得到图2-1(c)和(d)，则形成高通滤波器。假设0a1，图2-1(a)和(b)的系统函数分别为 （2-1）和 （2-2）。注意上面两个表达式中的系数是为了保证幅度特性的最大值为1，即。画出它们的幅度特性图2-2所示，显然因为比多了一个零点，使幅度特性在时为零。下面再将零极点的作用结合起来考虑，假设系统函数为 （2-3）式中，0a1，以保证系统因果稳定；b是零点，a是极点。当a=0.8，b=-1，0，0.7时，幅度特性如图2-3所示，显然b= - 1时幅度特性的峰值最高，而b=0.7时，幅度特性最平坦。如果b=0.8，则零点、极点完全抵消，失去了频率选择的作用。因此得到结论：设计单极点单零点低通滤波器应该让零点远离极点，最好是b=-1的情况。如果b=-1，并保证，对式2-2进行讨论，重写如下：让a=0.7，0.8，0.9，画出幅度特性如图2-4所示。该图表明，极点越靠近单位圆，峰值越尖锐。2.2.2 二阶数字滤波器二阶数字滤波器有两个极点，零点可以有1个或2个，也可以没有，但是滤波器的零点和机电都是共轭成对出现的，以保证滤波器的系数是实数。系统的幅度特性和相位特性取决于零点和2个极点的位置，适当地放置它们可以得到各种滤波器。图2-5所示为5种零极点分布，其中图2-5(a)和(b)是二阶低通滤波器，图2-5(c)和(d)是二阶高通滤波器，图2-5(e)是带通滤波器。二阶数字滤波器的系统函数一般表示式为 （2-4）式中，g是常数，一般取g使幅度特性额最大值为1；，为共轭极点；，为共轭零点。下面用例题说明设计方法。 例2-1 假设二阶数字滤波器的系统函数为 试确定g和p使幅度特性满足：，时，幅度下降到最大幅度的，即。 解：这是一个低通滤波器，由在处，幅度为1，得到 即 由在处，幅度为，得到得到 整理得 由上式解出，则滤波器的系统函数为2.2.3 低通到高通的简单变换如果设计高通滤波器，一般首先要设计一个低通滤波器，再将低通滤波器转换成高通滤波器。我们已经知道低通滤波器的通带在附近，阻带在附近，高通滤波器的通带在附近，阻带在附近，那么由低通滤波器转换到高通滤波器，只要将低通滤波器的频响旋转弧度，便可以得到高通滤波器。假设是高通滤波器的传输函数，是低通滤波器的传输函数，那么它们之间的关系为 = （2-5）相当于将低通滤波器传输函数的用代替。假设是低通滤波器的单位脉冲响应，是高通滤波器的单位脉冲响应，将式2-5进行傅里叶反变换，得到 （2-6）上式表明只要将低通滤波器的单位脉冲响应的奇数项加一个负号，便可以得到高通滤波器。当然下式也成立，即 （2-7）说明由高通滤波器向低通滤波器转换也是用同样的方法。2.3 数字滤波器的基本结构一个数字滤波器可以用传输函数表示，也可以用差分方程描述。那么，一个滤波器在具体实现时，可以有以下两种方法： 软件实现：把滤波器所要完成的运算编成程序让计算机执行。 硬件实现：设计专用的数字硬件、专用的数字信号处理器或采用通用的数字信号处理器来实现。无论用软件还是硬件，实现一个数字滤波器都需要以下几种基本的运算单元： 加法器； 乘法器； 延迟单元。任意给定滤波器系统的差分方程，我们都可以用如图2-6所示的三种基本运算单元所构成的信号流图（或框图）来对其进行描述，从而可以使我们清楚地看出整个滤波器系统的运算步骤和运算结构。 运算结构很重要的，不同结构所需要的存储单元及乘法次数是不同的，前者影响系统的复杂性，后者影响运算速度。此外，在有限精度（有限字长）的情况下，不同运算结构的误差、稳定性事不同的。由于无限冲激响应（iir）滤波器和有限冲激相应（fir）滤波器在结构上各有不同的特点，所以对它们分别进行讨论。2.3.1 iir数字滤波器的基本结构无限冲激响应滤波器系统所对应的是递归差分方程 （2-8）即 iir滤波器的基本结构有：直接型、直接型、级联型和并联型。 根据上式可以画出如图2-7所示的流图，其中=1，这种形式的流图被称为递归差分方程的直接型实现。2.3.2 fir数字滤波器的基本结构 有限冲激响应滤波器系统所对应的是非递归差分方程 （2-9）即 根据差分方程，可得到fir数字滤波器的基本结构如图2-8所示。第三章 iir数字滤波器3.1 iir数字滤波器的设计 设计iir数字滤波器有两大类方法：一是模拟到数字转换法，先设计符合要求的模拟滤波器，然后转换成数字滤波器，这种方法简单、方便、准确，但它大多只能用来设计低通、高通等选频滤波器；二是直接设计法。这是一种最优化设计方法，它先确定一个最佳准则，然后求得在该准则下的滤波器的系统函数的系数。这里主要讨论第一种设计方法，该方法共分为两大类：一、脉冲响应不变法 脉冲响应不变法的设计原理是使得数字滤波器的单位取样响应序列模仿模拟滤波器的冲激响应。将模拟滤波器的冲激响应进行等间隔采样，使得数字滤波器的单位取样响应刚好等于的采样值，即= 其中t为采样周期。若令是模拟滤波器的系统函数，是数字滤波器的系统函数，显然，是的拉普拉斯变换，而是的z变换。模拟信号的拉普拉斯变换和它的采样序列的z变换的关系为： （3.1）可以看出，利用脉冲响应不变法将模拟滤波器变换成了数字滤波器，实际上首先将模拟滤波器的系统函数作周期的延拓，再经过的映射变换，而得到数字滤波器的系统函数。假设s平面上，s在轴上取值，z在z平面内的单位圆周上取值，可以得到数字滤波器的频率响应和模拟滤波器的频率响应间的关系为： = （3.2）二、双线性变换法 脉冲响应不变法使得数字滤波器在时域上能够较好地模仿模拟滤波器，但是由于从s平面到z平面的映射具有多值性，使得设计出来的数字滤波器不可避免地出现频谱的混叠。如果我们设想。若能够把整个s平面先映射到s1平面的带域，且使得s1平面的带域与s平面具有单值对应关系，然后再应用z=e把s1平面中的带域映射到z平面的整个平面上，且具有单值对应关系。消除多值性，使得s平面与z平面间建立一一对应的单值映射关系，从而消除了频谱混叠现象。这便是双线性变换法的基本思路。 双线性变换法是使得数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器频率响应的一种方法。这种方法的基本步骤是：首先将整个s平面压缩到s1平面的一条带宽为2/t(从-/t到/t)的横带里，然后通过标准的变换关系z=e 将横带映射到整个z平面上去，这便得到s平面与z平面之间的一一对应关系。整个过程如下图所示。 s平面 s1平面 z平面图3-1 双线性变换法的映射关系 为了将s平面的整个轴压缩变换到平面轴上的到一段，采用了正切变换关系： （3.3）式中的k为常数。当从变到时，从上式可知，便从-变到+，这样，s平面的整个轴便映射到平面轴的一段，即： （3.4）从而s整个平面映射到平面的一个带域内，可以将式（3.3）改写成： （3.5）解析延拓到整个s平面和平面，即令=s, =，则： = （3.6）由此得到了s平面和平面的映射公式。采用脉冲响应不变法得到的标准映射公式为: （3.7）将s1平面映射到z平面.利用式（3.6）和式（3.7）公式可以得到从s平面到z平面的对应关系为： （3.8）3.2 用双线性变换法设计iir数字滤波器 脉冲响应不变法的最大缺点是存在频谱混叠失真。双线性变换法从原理上彻底消除了频谱混叠，所以双线性变换法在iir数字滤波器的设计中得到广泛的应用。下面分析双线性变换法的设计思想与变换公式。脉冲响应不变法的基本设计思想是波形逼近，而双线性变换法的设计思想是算法逼近。我们知道，一般数字滤波器用线性常系数差分方程描述，模拟滤波器用线性系数微分方程描述，因此只要能用差分近似微分，就可以将微分方程转换成差分方程，完成从模拟滤波器到数字滤波器的转换。下面进行推导。为了推到简单，但又不失一般性，设模拟滤波器只有单极点，且分母多项式阶次高于分子多项式阶次。则可以用如下部分分时表示 式中 显然，n个一阶子系统函数各对应一个一阶线性常系数微分方程，只是常数和不同。所以，是要推导出将转换成一阶数字滤波器的变换公式，则该变换公式就是将模拟滤波器转换成数字滤波器的变换公式。所对应的微分方程是 对微分方程中各项做如下近似：则微分方程可用下面的差分方程近似两边取z变换得到近似微分方程的数字滤波器的系统函数为所以 上式就是用双线性变换法直接将模拟滤波器系统函数转换成数字滤波器系统函数的变换公式。从s域到z域的映射变换为双线性变换：上式说s域到z域的单值可逆映射变换，所以不会产生混叠失真。3.3 巴特沃斯低通滤波器的设计技术研究及实现模拟低通巴特沃斯滤波器是以巴特沃斯函数作为滤波器的系统函数，它的幅度平方函数可表示为： （3.9）式中的n为正整数，表示滤波器的阶数；c为通带的截止频率，或ha(s)的三分贝带宽，这是因为当=c时：|ha(jc)|=1/2 (归一化后的巴特沃斯滤波器，=1)则20log10(|ha(j0)|/|ha(jc)|)=3db 即半功率点的宽度等于3分贝带宽。巴特沃斯滤波器在通带有最平坦的幅度特性，即n阶低通滤波器在=0处的幅度平方函数|ha(j)|的前（2n-1）阶导数为零，阻带内随着频率的升高单调下降。滤波器的特性完全由阶数带n确定，当n增加时，通带更加平坦，也更接近理想的低通滤波器的特性。模拟的低通巴特沃斯滤波器的设计过程包括以下两个过程：1.按照给定的通带和阻带指标确定阶数n。通常在设计模拟低通滤波器时给定的技术指标有通带的截止频率c，通带内最大衰减ap(db)，阻带截止频率s，阻带内的最小衰减as(db)。假设给定=c时通带的最大 衰减为ap，=s时阻带的最小衰减为as。低通巴特沃斯滤波器的幅度平方函数可以用图3-1表示。其中 （3.10）图3-2 低通巴特沃斯滤波器的幅度平方函数这时通带的容限为： 阻带的容限为： |其中、均为与衰减有关的函数。按照3.10式，可以得到： （3.11） as=-10log10(1/1+)=10l og10(1+) （3.12）由以上两式可以求得： （3.13） （3.14） 由于可以得到n为正整数时的取值要求： （3.15）当给定的参数指标是归一化的，即c=1，=1时，可以表示为： （3.16）2.从幅度平方函数确定系统函数ha(s)令s=j代入和3.9中可得到： （3.17）巴特沃斯滤波器的全部零点都在s=处，即没有有限零点，故又称之为“全极点型”逼近。剩下的工作就是求解上式的分母多项式的根。当考虑到设计归一化的巴特沃斯滤波器时，即c=1,=1时，它的极点应均匀分布在单位圆上,得到ha(s)的极点为：spk=-sin+jcos (其中k=n/2) （3.18）如果归一化的系统函数用表示，同样，在左半平面的极点组成。和的关系为：=。现设计一个巴特沃斯低通滤波器，满足以下技术指标：通带的截止频率c=10000rad/s，通带的最大衰减ap=3db,阻带的截止频率s=40000rad/s，阻带的最小衰减为as=35db。则由公 式（3.13）、式（3.14）、式（3.15）可求得： =1，=56.2，n =2.9 取n=3然后根据公式（3.18）可以得到极点的位置： s1=c(-0.5+j) ； s2=-c ； s3=c(-0.5-j)；则ha(s)可以表示为极点的形式：ha(s)=1/(s-s1)/(s-s2)/(s-s3)最后可以得到满足系统设计要求的函数： 3. 利用matlab设计此滤波器在设计模拟的低通巴特沃斯滤波器的过程中可以利用matlab的函数buttap进行滤波器的设计。buttap的语法为：z，p，k=buttap(n) 其中的n为巴特沃斯滤波器的阶数，而函数的返回值z，p，k分别表示滤波器的零点、极点和增益。设计结果如下所示： 图3-3 巴特沃斯滤波器幅频响应图由图3-3 可见设计出的这个滤波器符合题目中要求的各项指标，且如前所述，它在通带内具有平坦的幅度特性，在阻带内随着频率的升高平滑地单调下降。巴特沃斯滤波器的频率特性在通带和阻带内部都是随着频率而单调变化的，显然如果在通带是边缘能够满足指标，在通带的内部肯定能够超过设计的指标要求，造成滤波器的阶数n比较高。如果指标的精度要求均匀地分布在整个通带内，或者均匀地分布在阻带内，更有效的方法是同时均匀地分布在通带和阻带内，可以设计出满足设计要求、阶数又比较低的滤波器。这就要求逼近函数具有等波纹特征。而切比雪夫i型滤波器在通带内幅度特性是等波纹的，在阻带是单调的；切比雪夫ii型则相反，它在通带内是单调的，在阻带内是等波纹的。 切比雪夫滤波器在通带范围内具有良好的等波纹特性，但是在通带范围以外的特性与巴特沃斯滤波器相似,都是单调递减的。因此，过渡带的特性虽然有好转，但是并不是理想的。它的主要原因在于二者的系统函数在截止频率的附近都没有有限个零点，其零点在无限原处。考尔在1931年又提出了采用有限零点设计的滤波器能够更好地逼近理想的低通滤波器的特性。 由于这种方法在确定零点的位置时与椭圆函数是许多特性有关，所以称之为椭圆低通滤波器。但是这些方法比较复杂，所以这里只是提一下，不作具体讨论。 上面介绍了三种最常用的模拟滤波器的设计方法，选择其中的哪种形式可以根据具体应用情况而定。通常椭圆滤波器的阶数最低，切比雪夫滤波器次之，巴特沃斯滤波器最高；而参数量化的灵敏度恰恰相反，巴特沃斯滤波器最不敏感，切比雪夫次之，椭圆滤波器对量化最敏感。第四章 fir数字滤波器的设计有限冲击响应（fir）滤波器和无限冲击响应(iir)滤波器广泛应用于数字信号处理系统中，iir数字滤波器方便简单，但它相应的线性要采用全通网络经进行相位校正9。图形处理以及数据传输都要求信道具有线性相位特性，有限冲击响应（fir）滤波器具有很好的线性相位特性，因此越来越受到广泛重视。4.1 线性相位fir滤波器的特性一、单位冲激响应的特点fir滤波器的单位冲激响应是有限长，其变换为： （4.1）其频率响应为： （4.2）在有限平面上有n-1个零点，而它的n-1个极点均位于原点处。二、fir滤波器线性相位的条件如果fir滤波器的单位冲激响应为实数序列，而且满足偶对称或奇对称的条件，即：偶对称：奇对称：其对称中心在处，则该滤波器具有严格的线性相位特点。三、线性相位特性（一）满足偶对称 （4.3）其系统函数为：将代入，则：即： （4.4）式（4.4）可改写成： （4.5）滤波器的频率响应为： （4.6）可以看出，上式的以内全部是标量，如果将频率响应用相位函数及幅度函数表示： （4.7）那么有： （4.8） （4.9）式（4.8）的幅度函数是标量函数，可以包含正值、负值和零，而且是的偶对称函数和周期函数；而取值大于等于零，两者在某些值上相位相差。式（4.9）的相位函数具有严格的线性相位，如图4-1所示。图4-1 偶对称时的相位响应数字滤波器的群延迟定义为： （4.10）式中，（group delay）为群延迟函数。由式（4.10）可知，当满足偶对称时，fir数字滤波器具有个采样的延时，它等于单位冲激响应长度的一半。也就是说，fir数字滤波器的输出响应整体相对输入延时了个采样周期。（二）满足奇对称 （4.11）其系统函数为： 令，则：因此： （4.12）同样可以改写成： （4.13）其频率响应为： （4.14）所以有： （4.15） （4.16）幅度函数可以包含正值、负值和零，而且是的奇对称函数和周期函数。相位函数既是线性相位，又包括的相移，如图4-2所示。可以看出，当为奇对称时，fir数字滤波器不仅有个采样的延时，还产生一个90的相移。这种是所有频率的相移皆为90的网络，成为90移相器，或称正交变换网络。图4-2 奇对称时的相位响应当为奇对称时，fir滤波器将是一个具有准确线性相位的正交变换网络3。四、幅度相应特性由于线性相位fir滤波器的单位冲激响应有奇、偶对称，而单位冲激响应的长度n可能取偶数，也可能取奇数，所以它对应的共有四种情况：（一）为偶对称且n为奇数 （4.17）对式（4.17）作变量替换后得到：（4.18）又有对称条件得：则的表达式为： （4.19）如果令，则式（4.19）为： （4.20）其中： （4.21）显然，具有线性相位，即：令：为系统增益，它是的函数，可以取负值，并有。如图4-3所示。这样，式（4.2）又可表示为： （4.22） 图4-3 偶对称且n为奇数时的冲激响应和幅度函数波形图（二）为偶对称且n为偶数 （4.23）对式（4.23）作变量替换后得到： （4.24）有对称性：则的表达式为： （4.25）如果令，则式（4.25）为： （4.26）其中： （4.27）其幅频相应和相频相应分别为：其冲激响应和幅度函数波形如图4-4所示。 图4-4 偶对称且n为偶数时的冲激响应和幅度函数波形图（三）为奇对称且n为奇数 （4.28）其中：对式（4.28）变量替换，再利用对称条件：得到： （4.29）如果令，则式（4.29）为： （4.30）其中：幅频和相频特性分别为： 其冲激响应和幅度函数波形如图4-5所示。 图4-5 奇对称且n为奇数时的冲激响应和幅度函数波形图（四）为奇对称且n为偶数 （4.31）对式（4.31）作变量替换，再利用奇对称条件得到： （4.32）如果令，则式（4.32）为： （4.33）其中：幅频响应和相频响应分别为：其冲激响应和幅度函数波形如图4-6所示。 图4-6 奇对称且n为偶数时的冲激响应和幅度函数波形图五、有限冲击响应（fir）滤波器的优点（1）具有严格的线性相位，又具有人意的幅度；（2）fir滤波器的单位抽样响应是有线长的，因而滤波器的性能稳定；（3）只要经过一定的延时，任何非因果有线长序列都能变成因果的有线长序列，因而能用因果系统来实现；（4）fir滤波器由于单位冲击相应是有限长的，因而可用快速傅里叶变换（fft）算法来实现过滤信号，可大大提高运算效率。4.2 窗函数设计法一、理想fir滤波器窗函数设计法窗函数设计法是先给定所要求的理想滤波器的频率响应,要求设计一个fir滤波器频率响应，去逼近理想的频率响应。然而，窗函数法设计fir数字滤波器是在时域进行的，因此，必须首先由理想频率响应的傅立叶反变换推导出对应的单位脉冲响应。 有效方法是截断或取窗函数（有限长度）一般表示为h(n)= w(n)这里w(n)就是窗口函数，常用的窗口函数有矩形窗、升余弦窗（汉宁窗），改进的升余弦窗（海明窗）、二阶升余弦窗（布拉克曼窗）、凯泽窗。二、窗函数的设计要求矩形窗截断造成的肩峰值为8.95%，则阻带最小衰减为20lg（8.95%）=，这个衰减量在工程上常常是不够大的。为了加大阻带衰减，只能改变窗函数的形状。只有当窗谱逼近冲激函数时，也就是决大部分能量集中与频谱中点时，才会逼近。这相当于窗的宽度无限长，等于不加窗口截断，但这没有实际意义。从以上分析中可以总结出，窗函数序列的形状及长度的选择很关键，一般希望窗函数满足以下两项要求：（一）窗谱主瓣尽可能窄，以获取较陡的过渡带； （二）尽量减小窗谱的最大旁瓣的相对幅度，即能量集中于主瓣，使肩峰和波纹减小，增大阻带的衰减。 但是这两项要求是不能同时都满足的。当选用主瓣宽度较窄时，虽然得到较陡的过渡带，但通带和阻带的波动明显增加；当选用较小的旁瓣幅度是，虽然得到平坦的幅度响应和较小的阻波纹，但过渡带加宽，也即主瓣会加宽。因此，实际所选用的窗函数往往是它们的折中。在保证主瓣宽度达到一定要求的前提下，适当牺牲主瓣宽度以换取相对旁瓣的抑制。以上是从幅频特性的改善对窗函数提出的要求。实际上设计的fir滤波器往往要求具有线性相位， 因此，除了要求满足线性相位条件外，对也要求长度有限，且以为其对称中心，即 综上所述，窗函数不仅起截断作用，还能起平滑作用，在很多领域都得到广泛应用。因此，设计一个特性良好的窗函数有着重要的实际意义。三、窗函数设计fir滤波器技术要求的给定（一）典型幅度响应指标滤波器指标通常按照其幅度响应指标。例如，低通数字滤波器的幅度响应幅度响应如图4-7所示。在由所定义的通带中，我们要求 换句话，幅度以误差逼近1，在由定义的阻带中，我们要求 即幅度以误差接近于零，频率和分别称为通带边界频率和阻带边界频率在通带和阻带内的最大容限和称为波纹图4-7 低通数字滤波器的典型幅度响应指标（二）归一化幅度响应指标在大多数应用中，给定的数字滤波器的数据指标如图4-8所示。 图4-8 低通数字滤波器的归一化幅度响应特性此时，在由定义的通带中，幅度的最大值和最小值分别为1和。单位为的峰通带波纹是 由定义的阻带中，最大波纹由表示，单位为的最小阻带衰减为 （三）主要指标 理想窗函数的增益特性应该是冲激函数，但这是一个物理上不可实现的系统。作为一个窗函数，要求能量尽量集中在主瓣之间，主瓣宽度窄，衰减速度快，旁瓣衰减大。主要指标有：（1）主瓣半带宽度;（2）半带宽度;（3）主瓣幅度降至最大旁瓣时的半带宽;（4）最大旁瓣衰减;（5）相邻旁瓣渐近衰减速度（/相邻旁瓣）4.3 典型窗函数介绍（一）矩形窗 （4.3.1） 图4-3-1是矩形窗在不同阶数7、21、51、101下的振幅响应对比。（二）三角形（bartlett）窗 （4.3.2） 的傅立叶变换为 近似结果在时成立。此时，主瓣宽度为，比矩形窗主瓣宽度增加一倍，但旁瓣却小很多。 图4-9 矩形窗在不同阶数下的振幅响应对比（三）汉宁（hanning）窗汉宁窗又称升余弦窗。 （4.3.3）利用傅立叶变换特性，可得 当时，所以窗函数的幅频函数为 这三部分之和，使旁瓣互相抵消，能量更集中在主瓣，它的最大旁瓣值比主瓣值约低。但是代价是主瓣宽度比矩形窗的主瓣宽度增加一倍，即为。（四）海明（hamming）窗海明窗又称改进的升余弦窗。把升余弦窗加以改进，可以得到旁瓣更小的效果，窗形式为 （4.3.4） 的频率响应的幅度特性为 与汉宁窗相比，主瓣宽度相同，为，但旁瓣又被进一步压低，结果可将99.963%的能量集中在窗谱的主瓣内，它的最大旁瓣值比主瓣值约低。（五）布拉克曼（blackman）窗布拉克曼窗又称二阶升余弦窗。为了进一步抑制旁瓣，对升余弦窗函数再加上一个二次谐波的余弦分量，变成布拉克曼窗，故又称二阶升余弦窗。 （4.3.5）的频率响应的幅度特性为+ 这时主瓣宽为矩形窗主瓣宽的三倍，为，其最大旁瓣值比主瓣值约低。表4-3-2示出了六种窗函数的基本参数的比较。表4-2-4 五种窗函数基本参数的比较窗 函 数旁瓣峰值幅度/过渡带宽阻带最小衰减/矩形窗三角形窗汉宁窗海明窗布拉克曼窗凯塞窗（）-13-25-31-41-57-57488812-21-25-44-53-74-804.4 窗函数的设计步骤fir滤波器可以设计成具有严格的线性相位，但其幅度特性可随意设计。fir滤波器的单位冲激响应是有限长序列，其系统函数的极点位于z平面的原点，因此fir滤波器不存在稳定性问题。另外，fir滤波器采用非递归结构，可以用fft方法实现其功能，从而可大大提高效率，因此，fir日益引起人们的注意。fir滤波器的具体设计步骤归纳如下：（一）给定希望逼近的频率响应函数。（二）求单位脉冲响应。 如果很复杂或不能直接计算积分，则用求和代替积分，以便在计算机上计算，也就是要计算离散傅立叶反变换，一般都采用fft来计算。将积分限分成m段，令采样频率为，则有 频域的采样，造成时域序列的周期延拓，延拓周期是，即 由于有可能是无限长的序列，因此严格说，必须当时，才能等于而不产生混叠现象，即。实际上，由于随的增加衰减很快，一般只要足够大，即，近似就足够了。（三）由过渡带宽及阻带最小衰减的要求，可选定窗函数，并估计窗口长度。设待求滤波器的过渡带用表示，它近似等于窗函数的主瓣宽度。因过渡带近似与窗口长度成反比，决定于窗口形式。按照过渡带及衰减阻带情况，选择窗函数形式。原则是在保证阻带衰减满足要求的情况下，尽量选择主瓣窄的窗函数。（四）最后，计算所设计的fir滤波器的单位脉冲响应。 （五）由 求fir滤波器的系统函数 通常整个设计过程可利用计算机变成来实现，可多选用几种窗函数来试探，从而设计出性能良好的fir滤波器。4.5 用窗函数法设计低通firdf，根据下列指标设计fir低通滤波器：（1） 通带边缘频率；（2） 阻带边缘频率；（3） 阻带衰减；（4） 采样频率；解：求出各对截止频率。通带截止频率为 阻带截止频率为 确定频率响应函数。式中，。确定，并进行因果化。 由阻带衰减确定窗函数，由过渡带宽确定窗口长度n。 因为阻带衰减为40db，所以可以选择汉宁窗、海明窗和布莱克曼窗。考虑布莱克曼窗的 过大，而在比较接近的情况下，汉宁窗的阻带衰减比较接近，所以选择汉宁窗 汉宁窗的过渡带宽度归一化因子=3.32，从而可确定窗口长度n为 n取为最接近的奇数，即n=32。求得所设计的fir滤波器的单位冲击响应。因为 则 所以有 由求，并检验各项指标是否满足设计要求，如不满足要求，则需要选择其他的窗函数或改变窗口长度n，来重新进行设计。设计结果如图：图4-9 绘出h(n)及其幅频响应特性曲线第五章 总结设计过程中的问题5.1 iir滤波器与fir滤波器的比较数字滤波器按单位脉冲响应的时域特性可分为无限脉冲响应iir(infinite imp