电路报告.doc

目录目录 一：一阶电路3 1.1 电路的初始条件 .3 1.1.1 几个概念3 1.1.2 换路计算的规律 3 1.2 一阶电路的响应 .4 1.2.1 一阶电路的零输入响应.4 1.2.2 一阶电路的零状态响应.5 1.2.3 一阶电路的全响应 7 1.3 三要素法.8 1.4 阶跃函数与阶跃响应 .9 1.4.1 阶跃函数9 1.4.2 单位阶跃响应 9 1.5 冲激函数与冲激响应 .10 1.5.1 冲激函数10 1.5.2 冲激响应11 二：二阶电路12 2.1 二阶电路的零输入响应 .12 2.1.1 二阶电路的微分方程 12 2.1.2 二阶电路微分方程的求解12 2.1.3 二阶电路特征根的讨论.13 三：拉普拉斯变换18 3.1 拉普拉斯的概念 .18 3.1.1 拉普拉斯变换的定义 .18 3.1.2 拉普拉斯变换的性质 .18 3.1.3.拉普拉斯的反变换 .18 3.2 运算电路.20 四：总结23 2 一一：一一阶阶电电路路 1.1 电路的初始条件电路的初始条件 1.1.1 几个概念几个概念 1换路在电路分析中，我们把电路与电源的接通、切断，电路参数的突然改变， 电路联接方式的突然改变等等，统称为换路。 2过渡过程电路在换路时将可能改变原来的工作状态，而这种转变需要一个过 程，工程上称为过渡过程（暂态过程） 。 如果电路在 0 tt 时换路，则将换路前趋近于换路时的瞬间记为 0 tt ，而将换路后的初始 瞬间记为 0 tt 。一般来说，为方便计算与分析，往往将电路换路的瞬间定为计时起点 0t ，那么 0t 和 0t 表示换路前和换路后的瞬间。 1.1.2 换路计算的规律换路计算的规律 根据电容电感元件的伏安关系可知，在有限电容电流（有限电感电压）的条件下，电容的 电压（电感的电流）不能跃变 )0()0( )0()0( cc uu qq )0()0( )0()0( ll ii 例题 1：已知：电路如图 7-1，开关闭合之前，电路已经工作了很长时间。其中 vus12 ， kr4 1， kr2 2。 i1( t ) r1 s (t=0) i2( t ) + + ic( t ) us uc(t) _ _ r2 图图 7-1(a) 例例题题 1 电电路路 求：开关闭合后的电容电压初始值即各个支路的电流初始值。 解：首先应该求出 0t 时电容的电压 )0( c u 。 r1 + + us uc(t) _ _ r2 图图 7-1(b) 0-时时的的电电路路 i1(0+) r1 i2(0+ ) + + ic(0+ ) us _ 12v r2 - 图图 7-1(c) 0+ 时时的的电电路路 开关闭合前电路已经处于稳态，因而换路前（ 0 时）的电路为直流电路，如图 7-1(b)，直 3 流电路中电容相当于开路，这样电阻 r2上的电压为零。可以计算出 vuc12)0( 。 而电容电压在有限电流情况下不会跃变，因此 vuu cc 12)0()0( 画出电路换路后一瞬间（ 0 时）的电路如图 7-1(c)所示。其中根据替代定理，已知电压的 电容已经用大小相等，极性相同的电压源来代替，由此可以计算出： 0 4 1212)0( )0( 1 1 r uu i cs )(6 2 12)0( )0( 2 2 ma r u i c )(6)0()0()0( 21 maiiic 1.2 一阶电路的响应一阶电路的响应 1.2.1 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应 所谓“零输入响应” ，即为电路在无激励的情况下，由储能元件本身释放能量的一个放电过 程。 电路如图 7-4 所示。 s（t = 0） + + _ uc r ur i _ 图图 7-4 rc 电电路路零零输输入入响响应应 已知其中电容元件的初始值为 000 uuu 。由电路可得： dt du rcr dt du ciruu cc cr 所以电路方程为： 0 dt du rcu c c 一、方程的求解 由高等数学中的知识可知，该一阶常系数线性微分方程的特征方程为 0) 1(rcp 其特征根即为 rc p 1 则电路方程的通解形式为： pt c aeu 而由电路条件代入该通解式子中，就可得积分常数 0 )0(uua c 。 4 所以满足初始条件的电路方程的解为 t t rc c eueuu 0 1 0 其中， rc ， 为电路的时间常数，单位为秒。 实际上，零输入响应的暂态过程即为电路储能元件的放电过程，由该式可知，当时间 t 时，电容电压趋近于零，放电过程结束，电路处于另一个稳态。而在工程中，常常 认为电路经过 35 时间后放电结束。 二、一阶电路的零输入响应曲线 uc u0 0.368u0 0 t o 图图 7-5 一一阶阶电电路路的的零零输输入入响响应应曲曲线线 初始值、稳态值和时间常数便确定了一阶电路的零输入响应曲线。其中，初始值由换路前 的电路确定，稳态值由换路后的电路确定，而由电路中的电容和电容两端的戴维南等效 电阻确定。 在曲线中，为过点（0，u0）曲线的切线在时间轴上的截距（有关的证明请同学们自行完 成） 。 三、时间常数 1时间常数是体现一阶电路电惯性特性的参数，它只与电路的结构与参数有关，而与激励 无关。 2对于含电容的一阶电路， rc ；对于含电感的一阶电路，r l 3越大，电惯性越大，相同初始值情况下，放电时间越长。 uc u0 0.368u0 1 2 3 t o 图图 7-6 时时间间常常数数的的意意义义 4一阶电路方程的特征根为时间常数的相反数，它具有频率的量纲，称为“固有频率” 1.2.2 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应 所谓“零状态响应” ，即为电路的储能元件的初始储能为零。由外部电源为储能元件输入能 量的充电过程。 一、电路方程 5 电路如图 7-7 所示。 s（t = 0） r + - + ur + _ us uc i _ 图图 7-7 rc 电电路路零零状状态态响响应应 已知其中电容元件的初始值为零。由电路可得： s c c u dt du rcu 二、方程的求解 由高等数学中的知识可知，该一阶常系数线性微分方程的解由齐次方程的通解 c u 与非齐 次方程的特解 c u 两部分组成。其中，通解取决于对应齐次方程的解，特解则取决于输入 函数的形式。 原电路方程对应的齐次方程的特征方程为 0) 1(rcp 其特征根即为 rc p 1 则电路方程对应的齐次方程的通解形式为： t pt c aeaeu 而原电路方程的特解 c u 一定满足 sc c uu dt du rc 原电路中的电容电压通解即为 c t ccc uaeuuu 由初始值意义：当 0t 时， 0)0()0( cc uu ，有 )0( )0( )0( 0 ccc uauaeu 所以 ： )0( c ua 因此，在该电路中，当电压源为直流电压源时，满足初始条件的电路方程的解为 )1 ( t ss t sc euueuu 其中， rc ，为电路的时间常数，单位为秒。 实际上，零状态响应的暂态过程即为电路储能元件的充电过程，由该式可知，当时间 t 时，电容电压趋近于充电值，放电过程结束，电路处于另一个稳态。而在工程中， 常常认为电路经过 35 时间后充电结束。 6 三、一阶电路的零状态响应曲线 uc us o t 图图 7-8 一一阶阶电电路路的的零零状状态态响响应应曲曲线线 由此可见，同样，初始值、稳态值和时间常数确定了一阶电路的零状态响应曲线。其中， 初始值由换路前的电路确定，稳态值由换路后的电路确定，而由电路中的电容和电容两 端的戴维南等效电阻确定，其意义与前面的相同。 1.2.3 一阶电路的全响应一阶电路的全响应 一个非零原始状态的电路在输入激励的情况下产生的响应，称为全响应。对于线性电路， 全响应为零状态响应与零输入响应之和。为线性动态电路的一个普遍规律，它来源于线性 电路的叠加性，为动态电路特有。 一、电路方程 电路如图 7-9 所示。其中电容的初始值为 )0( c u 。 s（t = 0） r + - + ur + _ us uc i _ 图图 7-9 rc 电电路路零零状状态态响响应应 由电路可得： s c c u dt du rcu 二、方程的求解 由高等数学中的知识可知，该一阶常系数线性微分方程的解由其对应的齐次方程的通解 hc u 与一个特解 pc u 两部分组成。 原电路方程对应的齐次方程的特征方程为 0) 1(rcp 其特征根即为 rc p 1 则电路方程对应的齐次方程的解形式为： t pt hc aeaeu 而原电路方程的特解 pc u 与输入函数s u 具有相同的形式。一定满足 7 spc pc uu dt du rc 原电路中的电容电压通解即为 c t pchcc uaeuuu 由初始值意义：当 0t 时， )0()0( cc uu ，因此有 )0()0()0( 0 pcpcc uauaeu 所以 ： )0()0( pcc uua 所以满足初始条件的电路方程的解为 t pccpcc euuuu)0()0( 实际上，其中的特解 pc u 即为电路的稳态值。 因此，在该电路中，当电压源为直流电压源 s u 时，代入电路方程，则 spc uu 实际上，零状态响应的暂态过程即为电路储能元件的充电过程，由该式可知，当时间 t 时，电容电压趋近于充电值，放电过程结束，电路处于另一个稳态。而在工程中， 常常认为电路经过 35 时间后充电结束。 1.3 三要素法三要素法 一、三要素法的计算公式 对于求解直流激励作用的一阶电路中的各个电量的问题，均可以直接根据电路中电量的初 始值、稳态值和时间常数三个要素来决定要求的解。这以方法时求解直流激励的一阶电路 的解的重要方法。 可以证明，在直流输入的情况下，一阶动态电路中的任意支路电压、电流均可用三要素法 来求解。其计算公式为： t eyyyty)()0()()( 其中， )(ty 为任意瞬时电路中的待求电压或电流， )0(y 为相应所求量的初始值（时的值） ， )(y 为相应的稳态值，为时间常数。 二、三要素法的计算步骤 1计算初始值 首先用换路前的电路 )0( c u 及 )0( l i ；在换路后的电路中，用相应的电压源和电流源替代 )0( c u 及 )0( l i ，计算出所求量的初始值（ 0 时的值） 。 2计算稳态值 用换路后的电路计算所求量的稳态值，在计算稳态值时，用断路代替电容，用短路代替电 感。 8 3计算时间常数 用戴维南或诺顿等效计算电路的时间常数。对于电容电路： rc ；对于电感电路： rl/ 。 注意：当电路中存在电容、电感串并联的情况时，时间常数计算中的 c（l）同样可以用求 r 的方法用戴维南或诺顿等效来计算。而电容、电感的串并联计算公式为： 电容串联： 21 111 ccc 并联： 21 ccc 电感串联： 21 lll 并联： 21 111 lll 1.4 阶跃函数与阶跃响应阶跃函数与阶跃响应 1.4.1 阶跃函数阶跃函数 一、阶跃函数的定义 0 1 0 0 )( t t t 二、阶跃函数的图象 )(t 1 t o 图图 7-11 单单位位阶阶跃跃函函数数 )( 0 tt 1 t0 t o 图图 7-12 延延时时的的单单位位阶阶跃跃函函数数 三、延时单位阶跃函数 0 0 0 1 0 )( tt tt tt 其函数图象如图 6-12 所示。 1.4.2 单位阶跃响应单位阶跃响应 一、定义 零状态电路对单位阶跃信号的响应。 二、直流激励的零状态响应 直接用零状态响应的计算公式或者三要素法进行计算。 激励激励 响应响应 )(t )()1 ()(tetu t c )(ta )()1 ()(teatu t c )( 0 tt )()1 ()( 0 0 ttetu tt c )( 0 tta )()1 ()( 0 0 tteatu tt c 9 1.5 冲激函数与冲激响应冲激函数与冲激响应 1.5.1 冲激函数冲激函数 一、单位冲激函数 1单位冲激函数的定义 )(t 是一种奇异函数，其定义为： 1)( 0 0)( dtt tt 2单位冲激函数的表示 (t) (t - t0) 1 1 t t 0 0 t0 图图 7-17 单单位位冲冲激激函函数数及及延延时时的的单单位位冲冲激激函函数数 二、单位冲激函数的特性 1 )(t 与 )(t 的关系 它们互为微积分关系： )( )( )()( t dt td td t (t) 1 t 0 (t) 1 t 0 单单位位冲冲激激函函数数与与单单位位阶阶跃跃函函数数 10 (t- t0) 1 t0 t 0 (t- t0 ) 1 t0 t 0 有有时时延延的的单单位位冲冲激激函函数数与与单单位位阶阶跃跃函函数数 2筛分特性 )()0()()(tfttf )0()()0()()0()()(fdttfdttfdtttf )()()()()()()( 000000 tfdttttfdttttfdttttf 1.5.2 冲激响应冲激响应 一、定义 零状态电路对于单位冲激信号激励的响应称为（单位）冲激响应。实质上，电路的冲激响 应与电路的零输入响应相同。 二、冲激响应的计算 冲激信号实质上为电路建立了一个初始状态。而冲激响应的计算除了在初值计算方面有一 定的特殊性之外，其他方面计算分析与零输入响应的计算就完全相同。 当电路中存在冲激信号时，其初值的计算方法是：在冲激电流流过电容的瞬间（ 0t ） ， 应该将电容视为短路；有冲激电压作用在电感两端时，将电感视为开路，然后根据前面有 关 )(tic （或 )(tul ）的积分公式来计算相应的 )0( c u （或 )0( l i ） 。 三、冲激响应与阶跃响应 对于线性非时变电路，若 yx ，则dt dy dt dx ， kydtxdt 。因此，电路的冲激响 应为其阶跃响应的导数。由于一个电路的阶跃响应的计算非常方便，则冲激响应可以通过 阶跃响应的计算来求得。 11 二二：二二阶阶电电路路 用二阶线性常微分方程描述的电路称为二阶电路，二阶电路中至少含有两个储能元件 当然含有两个储能元件的电路并不一定为二阶电路，比如两个电容（电感）串（并） 联情况。 2.1 二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应 2.1.1 二阶电路的微分方程二阶电路的微分方程 二阶电路如下，其中电容电压的初始值为 0 )0()0(uuu cc ，电感电流的初始值为 0)0()0( ll ii 。 s（t=0） r il( t ) + + ul(t) - + uc(t) ul(t) _ _ i 图图 8-2 r、l、c 串串联联的的二二阶阶电电路路 根据该电路列写电路方程为 0 lrc uuu 其电路电流为：dt du ci c 因此：dt du rcriu c r ， 2 2 dt ud lc dt di lu c r 所以，电路方程为： 0 2 2 c cc u dt du rc dt ud lc 2.1.2 二阶电路微分方程的求解二阶电路微分方程的求解 方程 0 2 2 c cc u dt du rc dt ud lc 的特征方程为 01 2 rcplcp 。特征根为： lcl r l r p 1 22 2 其中： lcl r l r p 1 22 2 1 12 lcl r l r p 1 22 2 2 由特征根的性质（不等的实数、相等的实数或共轭的复数）就可以确定通解的具体形式。 再据电路的初始条件即可得出通解中的待定系数。 2.1.3 二阶电路特征根的讨论二阶电路特征根的讨论 分别讨论特征根的情况。 过阻尼情况非振荡放电过程 1过阻尼的条件 当 lcl r1 2 2 ，即 c l r2 （c l r 4 2 ）时，特征根 1 p 、 2 p 为不相等的负实数。 此时固有频率为不相等的负实数， 2过阻尼时的响应 当特征根为不相等的实数时，方程的解的形式为 tptp c eaeatu 21 21 )( 其中： lcl r l r p 1 22 2 1 lcl r l r p 1 22 2 2 而dt du ci c ， c i dt du t c0 0 ，且电路的初始条件， 0 )0(iil ，有 而 0 )0(uuc ， 0)0()0( ll ii 同时 dt du ci c ， 0 0 0 0 cc i dt du t c 因此，初始条件为： 0 )0(uuc ， 0 0 t c dt du 代入电路方程 tptp c eaeatu 21 21 )( 中，就可以解出其中的待定系数，得出 )()( 12 21 21 0tptp c epep pp u tu 13 )( )( )()( 2121 21 0 21 210tptptptpc l ee ppl u ee pp ppcu dt du cti 由此可见， )(tuc 和 )(til 均为随着时间衰减的指数函数，电路的响应为非振荡响应。其中 当电流的变化率为零的时刻m t 时电流达到最大值。 0 21 21 tptpl epep dt di 而： 1 2 21 ln 1 p p pp tm 3过阻尼时的响应曲线 u0 uc(t ) i0 il(t ) o tm t 图图 8-3 非非振振荡荡放放电电过过程程的的响响应应曲曲线线 一.临界阻尼情况 1临界阻尼的条件 当 lcl r1 2 2 ，即 c l r2 （c l r 4 2 ）时，特征根 1 p 、 2 p 为相等的负实数 p；此时固有频率为相等的负实数， 2临界阻尼时的响应 当方程的特征根相同时， pt c etaatu)()( 21 ，然后可以按照初值求取待定系数；也可以 利用非振荡放电过程的解，令 l r ppp 2 21 ，取极限得出。 非振荡放电过程的解为： )()(* 12 21 21 0 tptp c epep pp u tu ，令 l r ppp 2 21 ，取极限，根据罗必塔法则： )1 ()( )( )( lim)( 010 2 12 2 21 0 11 12 12 teutepeu dp ppd dp epepd utu ttptp tptp pp c 14 tc l te l u dt du cti 0 )( 由此可见， )(tuc 和 )(til 也为随着时间衰减的指数函数，仍然为非振荡响应。其中 1 m t 3临界阻尼时的响应曲线 临界阻尼时响应曲线的变化规律与过阻尼时的情况类似。 u0 i0 uc(t ) il(t ) o 1/ t 图图 8-4 临临界界阻阻尼尼情情况况的的响响应应曲曲线线 一、欠阻尼情况 1欠阻尼的条件 当 lcl r1 2 2 ，即 c l r2 （c l r 4 2 ）时，特征根 1 p 、 2 p 为一对共轭复数， 其实部为负数。 2欠阻尼时的响应 令l r 2 ， 2 2 2 1 l r lc ，则微分方程的特征根 jp1 ， jp2 。 如图所示，设与及 0 之间存在三角关系 0 即 22 0 ， arctg 则 cos 0， sin 0。 根据欧拉公式： sincosje j 2 )sin( )()( j ee t tjtj 15 sincosje j 2 )cos( )()( tjtj ee t 可将特征根写为： j ep 01， j ep 02 因此： tjjtjj tptp c eeee j u epep pp u tu )( 0 )( 0 0 21 21 0 2 )()( 12 )sin( 2 00 )()( 00 te u j ee e u t tjtj t te l u dt tdu ctiti tc cl sin )( )()( 0 由此可见， )(tuc 和 )(til 均为幅值随着时间按指数规律衰减的振荡函数，电路的响应为衰 减振荡响应。 3欠阻尼时的响应曲线 u0 o - 2 t 图图 8-5 振振荡荡放放电电过过程程的的响响应应曲曲线线 uc(t ) il(t ) t e u 0 0 4无阻尼的情况 无阻尼情况是欠阻尼的一种特殊情况。当 0r 时， 0 ， lc 1 0 ，2 ， 此时的响应为 ) 2 sin()( 00 tutuc t l c ut l u til 000 0 0 sinsin)( 16 由此可见， )(tuc 和 )(til 均为正弦函数，其幅值不随时间衰减，电路的响应为等幅振荡响 应，称为系统的固有频率，当二阶电路的激励为同频率的正弦函数时，称此时电路发生了 谐振，其物理意义类似于机械系统的共振。 u0 i0 2 o 2 t 图图 8-6 振振荡荡放放电电过过程程的的响响应应曲曲线线 uc(t ) il(t ) 三三：拉拉普普拉拉斯斯变变换换 3.1 拉普拉斯的概念拉普拉斯的概念 17 3.1.1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义 （1）定义 （2）变换思路 （3）存在条件 t,m,c0,f(t)mect ， 则上式积分为有限值,f(s)存在。 3.1.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质 （1）线性性质 la1f1(t)+a2f2(t)=a1lf1(t)+a2lf2(t) =a1f1(s)+a2f2(s) a1,a2r （2）微分性质 lf (t)=sf(s)-f(0_) ，其中:f(s)=lf(t) （3）积分性质 )()( )( )( 0 tflsf s sf dfl t 其中 （4）延迟性质 )()( 0 0 sfettfl st 0)(,),()(: 00 ttftttflsf时其中 3.1.3.拉普拉斯的反变换拉普拉斯的反变换 （1）定义 (f(s) f(t) jc jc stds esf j tf)( 2 1 )( （2）简单象函数 0 00 11 ( ) :( ) ( )( ) ststst tf sltt edtedte ss 0 00 ( ) :( ) ( )( )( )1 stst tf sltt edtt edt () 00 11 :( ) tttsts t ef sl ee edte sas 18 22 si n() : si n()tlt s (1) : (1) () atat ka kel ke s sa 22 cos() : cos() s tlt s （3）分解定理 n nn m mm bsbsb asasa sd sn sf . . )( )( )( 1 10 1 10 )( )( )( )( )( )( 0 nm sd sn nm sd sn a d(s)=0 有 n 个单根(p1,p2,.pn) 1 ),.,()( 21 2 2 1 1 待定 n n n kkk ps k ps k ps k sf i ps iii sfpskk )()() 1 ( :的求法 i ps i sd sn k )( )( )2( tp n tptp n i tp i ni ekekekeksfltf .)()(: 21 21 1 1 还原 d(s)=0 有共轭复根 p1=+j p2=-j 2 n n ps k ps k ps k ps k sf .)( 3 3 2 2 1 1 n n ps k ps k jas k jas k . )()( 3 321 d(s)=0 有重根,含(s-pi)q的因式（以含三重根 p1 为例） 3 i ps iii sfpskk )()() 1 ( :的求法 i ps i sd sn k )( )( )2( 11 121121 , jj ekkekkkk 设共轭 tjatja ekeksfltf )( 2 )( 1 1 )()(: 还原 )cos(2 11 tek at )( )()( )( 2 2 3