静力弹塑性分析.pdf

静力弹塑性分析(pushover分析) 简介 简介 pushover分析是考虑构件的材料非线性特点，分析构件进入弹塑性状态直至到 达极限状态时结构响应的方法。pushover分析是最近在地震研究及耐震设计中 经常采用的基于性能的耐震设计(performance-based seismic design, pbsd) 方法中最具代表性的分析方法。所谓基于性能的耐震设计就是由用户及设计人 员设定结构的目标性能(target performance)，并使结构设计能满足该目标性 能的方法。pushover分析前要经过一般设计方法先进行耐震设计使结构满足小 震不坏、中震可修的规范要求，然后再通过pushover分析评价结构在大震作用 下是否能满足预先设定的目标性能。 计算等效地震静力荷载一般采用如图2.24所示的方法。该方法是通过反应修正 系数(r)将设计荷载降低并使结构能承受该荷载的方法。在这里使用反应修正系 数的原因是为了考虑结构进入弹塑性阶段时吸收地震能量的能力，即考虑结构 具有的延性使结构超过弹性极限后还可以承受较大的塑性变形，所以设计时的 地震作用就可以比对应的弹性结构折减很多，设计将会更经济。目前我国的抗 震规范中的反应谱分析方法中的小震影响系数曲线就是反应了这种设计思想。 这样的设计方法可以说是基于荷载的设计(force-based design)方法。一般来 说结构刚度越大采用的修正系数r越大，一般在110之间。 但是这种基于荷载与抗力的比较进行的设计无法预测结构实际的地震响应，也 无法从各构件的抗力推测出整体结构的耐震能力，设计人员在设计完成后对结 构的耐震性能的把握也是模糊的。 基于性能的耐震设计中可由开发商或设计人员预先设定目标性能，即在预想的 地震作用下事先设定结构的破坏程度或者耗能能力，并使结构设计满足该性能 目标。结构的耗能能力与结构的变形能力相关，所以要预测到结构的变形发展 情况。所以基于性能的耐震设计经常通过评价结构的变形来实现，所以也可称 为基于位移的设计(displacement-based design)。 图 2.24 基于荷载的设计方法中地震作用的计算 图 2.24 基于荷载的设计方法中地震作用的计算 pushover分析是评价结构的变形性能的方法之一，分析后会得到如图2.25所示 的荷载位移能力谱曲线。另外，根据结构耗能情况会得到弹塑性需求谱曲线。 两个曲线的交点就是针对该地震作用结构所能发挥的最大内力以及最大位移 点。当该交点在目标性能范围内，则表示该结构设计满足了目标性能要求。 图 2.25 使用基于位移的设计方法评价结构的耐震性能 图 2.25 使用基于位移的设计方法评价结构的耐震性能 分析方法 分析方法 结构设计必须满足规范的一系列规定和要求，在完成满足规范要求的设计之后， 结构的目标性能具体控制在哪个水准上，则由建筑物的使用者和设计者决定。 为了评价结构性能需要进行结构分析，基于性能的耐震设计方法一般有下列四 种。 ? 线性静力分析方法(linear static procedure, lsp) ? 线性动力分析方法(linear dynamic procedure, ldp) ? 非线性静力分析方法(nonlinear static procedure, nsp) ? 非线性动力分析方法(nonlinear dynamic procedure, ndp) midas/gen中提供了上述四种分析方法，其中pushover分析属于非线性静力分析 方法。pushover分析又称为静力弹塑性分析，是评价结构进入弹塑性状态后的 结构极限状态和稳定状态的有效而简捷的方法。该方法主要适用于低频结构影 响较大的结构中。pushover分析中可以考虑材料和几何非线性，材料非线性特 性是通过定义构件截面的荷载位移的非线性特性实现的。 pushover分析是通过逐渐加大预先设定的荷载直到最大性能控制点位置 ， 获得 荷载位移能力曲线(capacity curve)。 多自由度的荷载位移关系转换为使 用单自由度体系的加速度位移方式表现的能力谱(capacity spectrum)，地震 作用的响应谱转换为用adrs(acceleration-displacement response spectrum) 方式表现的需求谱(demand spectrum)。通过比较两个谱曲线，评价结构在弹塑 性状态下的最大需求内力和变形能力，通过与目标性能的比较，决定结构的性 能水平(performance level)。 在midas/gen中使用atc-40(1996)和fema-273(1997)中提供的能力谱法(capaci ty spectrum method, csm)评价结构的耐震性能。能力谱法(csm)的原理如图 2.26所示。 (a) 计算结构物的能力曲线(capacity curve)和能力谱(capacity spectrum) (a) 计算结构物的能力曲线(capacity curve)和能力谱(capacity spectrum) (b) 计算需求谱(demand spectrum) (c) 评价性能点(performance point)(b) 计算需求谱(demand spectrum) (c) 评价性能点(performance point) 图 2.26 能力谱法(capacity spectrum method, csm)的原理 图 2.26 能力谱法(capacity spectrum method, csm)的原理 d s a s roof roof n,2t a 2 2 n d s 4 t s = = n,1t nt d s a s a s a s d s max d max a pushover分析是为了评价结构所拥有的耐震性能，其前提条件是已经完成了初 步的分析和设计，即对于混凝土结构必须已经完成了配筋设计。pushover分析 的优点如下： ? 可以评价结构进入弹塑性阶段的响应以及所拥有的抵抗能力 ? 可以掌握结构的耗能能力和位移需求 ? 可以掌握各构件屈服的顺序 ? 对确定需要维修和加固的构件提供计算依据 分析中适用的单元类型 分析中适用的单元类型 midas/gen中pushover分析中适用的单元类型有二维梁单元(2-dimensional beam element)、三维梁柱单元(3-dimensional beam-column element)、三 维墙单元(3-dimensional wall element)、桁架单元(truss element)。各单元 的特性如下。 二维梁单元和三维梁柱单元 二维梁单元和三维梁柱单元 梁单元和梁柱单元采用的模型如图2.27所示，其位移和荷载如下，其中适用 于梁单元时无轴力项。 111111222222 , m , , m , , m , , m , , m, , m t xxyyzzxxyyzz pffffff= (1.a) 111111222222 , , , , , , , , , , , t xxyyzzxxyyzz uuvuv= (1.b) 图 2.27 二维梁单元和三维梁柱单元模型 图 2.27 二维梁单元和三维梁柱单元模型 三维墙单元模型 三维墙单元模型 如图2.28所示墙单元模型由中间的线单元，上下两端的刚性杆构成。中间的线单 元与三维梁柱单元相同，刚性杆在xz平面内做刚体运动。 图 2.28 墙单元的节点力和节点位移 图 2.28 墙单元的节点力和节点位移 桁架单元模型 桁架单元模型 如图2.29所示，桁架单元采用轴向(x方向)的弹簧模型。 图 2.29 桁架单元的节点力 图 2.29 桁架单元的节点力 非线性弹簧的特性 非线性弹簧的特性 在各单元模型中表现的弹簧并非表示弹簧的存在，而是表现分析的方法，即在 弹簧位置将发生塑性变形。弹簧具有的特性如下。 ? 梁单元模型的弹簧特性用荷载位移、 轴力单向弯矩位移角、 剪力 剪切变形、扭矩扭转角等关系来表现 ? 柱以及墙体单元模型的弹簧特性用荷载位移 双向弯矩位移 角、剪力剪切变形、扭矩扭转角等关系来表现 ? 桁架单元模型的弹簧特性用荷载位移关系来表现 单元的变形可用下面的各式来表现。 弯曲变形 弯曲变形 节点上构件的变形角可用下列三项之和来表现。 eps =+ (2) 在此， e 、 s 、 p 分别为弹性弯曲变形角、塑性弯曲变形角、因剪切产生的 弯曲变形角。 另外， 如图2.30所示弯矩引起的塑性变形将假设集中在l区段内。 图形中阴影部分表示发生塑性变形的区段。因此包含塑性变形和剪切变形的柔 度矩阵(flexibility matrix)如下。 () 22 11 12 11111 33 33 ooo ll f eieieieieigal =+ (3.a) () 2 1221 12 11111 32 66 ooo ll ff eieieieieigal = + (3.b) () 22 22 12 11111 33 33 ooo ll f eieieieieigal =+ (3.c) 图 2.30 弯曲刚度的分布假定 图 2.30 弯曲刚度的分布假定 构件的荷载位移关系可用柔度矩阵表现如下。 fm= (4) 在此， eps ffff=+ (5) 如图2.31所示，式(5)中各项分别表示弹性弯曲变形角、塑性变形角、因剪切引 起的弯曲变形角。 图 2.31 弯矩变形角关系 图 2.31 弯矩变形角关系 轴向变形、扭转变形、剪切变形弹簧 轴向变形、扭转变形、剪切变形弹簧 在midas/gen的pushover分析中假定轴力、扭矩、剪力在构件内不变，塑性铰发 生在构件中央。其荷载位移关系可参照弯曲变形中的各式。 双向弯曲弹簧 双向弯曲弹簧 双向受弯且受轴力作用时，先计算各向的屈服弯矩后使用下面关系式建立双向 受弯相关公式。 1.0 ny nx noxnoy m m mm += (6) 上式适用与钢筋混凝土和钢材等所有构件。 塑性铰(plastic hinge)特性 塑性铰(plastic hinge)特性 随着荷载的增加，结构构件将产生塑性铰，结构的刚度会发生变化，横向位移 也将逐渐加大。midas/gen中采用的塑性铰特性如下。 ? 铰特性 : 多折线类型(multi-linear type) - 采用切向刚度矩阵(tangent stiffness matrix) - 荷载控制(load control)和位移控制(displacement control)均可 - 可考虑p-delta效果 ? 铰特性 : fema类型(fema type)时 - 割线刚度矩阵(secant stiffness matrix) - 采用位移控制(displacement control) - 可考虑p-delta效果和大位移(large deformation)效果 因为结构承受的荷载大小为已知条件，所以一般采用荷载控制方法。荷载控制 方法就是将荷载从零开始逐渐加载到极限荷载的方法。位移控制是在基于性能 的耐震设计中采用比较多的方法。虽然不知道加载的荷载大小 ， 但是可以通过 预先设定满足目标性能的位移进行分析。分析过程中可以获得荷载传递能力 (load-carrying capacity)和失稳(unstable)状态。采用位移控制和割线刚度 矩阵(secant stiffness matrix)时，在最大荷载附件可以获得稳定的解。 多折线铰类型 多折线铰类型 多折线铰类型可以用于荷载控制和位移控制方法中。 - 荷载位移关系采用双折线(bilinear)和三折线(trilinear)两中形式 - 屈服后刚度和抗裂刚度用与初始刚度的比值(stiffness ratio)来表现 - 能表现构件的刚度降低，但不能表现材料的强度降低 图 2.32 多折线铰类型的塑性铰特性 图 2.32 多折线铰类型的塑性铰特性 fema铰类型 fema铰类型 fema铰类型是将钢筋混凝土构件和钢构件的循环加载试验(reversed cyclic load)获得的资料理想化的结果 ， 其特性如下。midas/gen的fema铰特性只能使 用位移控制方法。 图 2.33 fema铰类型的塑性铰特性 图 2.33 fema铰类型的塑性铰特性 - 点a位置: 未加载状态 - ab区段: 具有构件的初始刚度(initial stiffness)， 由材料、构件尺寸、配 筋率、边界条件、应力和变形水准决定。 - 点b位置: 公称屈服强度(nominal yield strength)状态 - bc区段: 强度硬化(strain hardening)区段，刚度一般为初始刚度的5-10%， 对相邻构件间的内力重分配有较大影响。 - 点c位置: 由公称强度(nominal strength)开始构件抵抗能力开始下降 - cd区段: 构件的初始破坏(initial failure)状态， 钢筋混凝土构件的主筋断 tri-linear 1st yield point (crack) lateral deformation initial stiffness stiffness after crack tri-linear 2nd yield point stiffness after yield stiffness after yield bi-linear yield point a b c de lateral deformation yield point initial stiffness initial failure residual resistance 裂(fracture)或混凝土压碎(spalling)状态，钢构件的抗剪能力急剧下降区 段。 - de区段: 残余抵抗(residual resitance)状态，公称强度的20%左右 - 点e位置: 最大变形能力位置，无法继续承受重力荷载的状态。 pushover分析方法 pushover分析方法 midas/gen中提供两种pushover分析方法，即基于荷载增分的荷载控制法和基于 目标位移的位移控制法。 基于荷载增分的荷载控制法 基于荷载增分的荷载控制法 midas/gen的荷载控制法采用全牛顿拉普森（full newton-raphson）方法。 牛顿拉普森方法是采用微分原理求解的方法，其优点是速度快。采用荷载增 的pushover分析方法的图形接介绍如下。 图 2.34 基于荷载增分法的pushover分析 图 2.34 基于荷载增分法的pushover分析 荷载采用具有一定分布模式的横向荷载。荷载分布模式既可以采用地震荷载(qud) 也可以采用任意的荷载分布模式。另外，也可以采用包含节点荷载在内的用户 定义的任何荷载工况。 (1)(1) 第1阶段: 计算弹性极限 第1阶段: 计算弹性极限 首先使用用户定义的水平荷载计算构件的应力，然后计算各构件的应力与屈服 应力的比值。将各构件的比值中的最小值乘以加载的荷载工况重新定义荷载。 (7) 在此 : 各铰计算的屈服荷载系数(最大值0.5) u: 铰的屈服应力 l: 初始应力 m: 荷载工况计算的铰的应力 分析获得的 最终荷载(坍塌荷载) qu 弹性极限 预测的坍塌荷载 qud*x 等差级数对应的 增分荷载 位移 荷载 将最终(n+1)步骤的增分量 作为后面的增分荷载 ()ulm= (2)(2) 第2阶段: 基于等差级数的增分分析 第2阶段: 基于等差级数的增分分析 由弹性极限到预估的坍塌荷载(qud*x)之间的荷载增量由下面的等差级数计算。 i=等差增分步骤数 (8) 在此 i p: 第i步的荷载增量 p: 总荷载 x: 预估的坍塌荷载与总荷载的比值(基本值为0.4) (3)(3) 第3阶段: 预估坍塌荷载之后的荷载增分 第3阶段: 预估坍塌荷载之后的荷载增分 使用最终计算的(n+1)步骤的荷载增分。 (4)(4) 终止分析的条件 终止分析的条件 - 到达最大增分步时 - 层间位移角到达极限层间位移角时 - 分析中计算的水平内力到达指定的大小时 - 刚度矩阵为负(negative)时 基于目标位移的位移控制法 基于目标位移的位移控制法 midas/gen的位移控制法是由用户定义目标位移，然后逐渐增加荷载直到达到目 标位移的方法。目标位移分为整体控制和主节点控制两种，整体控制是所有节 点的位移都要满足用户输入最大位移，位移也是整体位移，不设置某一方向的 位移控制。主节点控制是用户指定特定节点的特定方向上的最大位移的方法。 基于性能的耐震设计大部分是先确定可能发生最大位移的节点和位移方向后给 该节点设定目标位移的方法。 初始的目标位移一般可假定为结构总高度的1%、2%、4%。这些数值一般相当于 最大层间位移值，于结构的破坏情况相关。atc-40或fema-273中将层间位移为 1%时定义为直接居住水准(immediate occupant level)，2%时定义为生命安全 水准(life safety level), 4%时定义为坍塌预防水准(collapse prevention level)。这些值在构件级别上的意义可能会稍有不同。 作用荷载 作用荷载 作用荷载应该采用能反映各层惯性力的横向荷载。所以推荐至少使用两种以上的 横向荷载分布模式。在midas/gen中提供了三种类型的荷载分布模式，即静力荷载 分布模式、振型形状分布模式、与各层质量成比例关系的等加速度分布模式。采 用静力荷载分布模式时，用户可以定义任意形状的静力荷载分布。采用振型形状 荷载分布模式时必须先做特征值分析。 基于性能点的耐震性能评价 基于性能点的耐震性能评价 在midas/gen中使用能力谱(csm)原理评价结构的保有内力和耐震性能。结构的保有 ()() 1 1 n i i pnipxi = =+ 内力可通过pushover分析获得的能力曲线和能力谱进行评价。对地震作用的需求谱 可以适用有效阻尼的弹性设计谱来评价。将这两个谱表现在相同的坐标系上将获得 意味着结构非线性最大需求内力的交点，即性能点(performance point)。利用性能 点位置的变形程度和保有内力来评价结构的耐震性能和性能水准。 能力谱和需求谱 能力谱和需求谱 评价结构的耐震性能和性能水准时会使用能力谱和需求谱的概念。通过pushover分 析将获得荷载位移关系(v-u)，响应谱也可获得加速度周期(a-t)的相关关 系。为了比较两个谱，需要将其转换为加速度位移谱(acceleration-displacemen t response spectrum，adrs)。 图 2.35 将荷载-位移关系转换为加速度-位移谱 图 2.35 将荷载-位移关系转换为加速度-位移谱 图 2.36 将加速度-周期谱转换为加速度-位移谱 图 2.36 将加速度-周期谱转换为加速度-位移谱 如图2.35所示，荷载位移关系转换为加速度位移关系的方法如下： k v a m = (9) kk u d = (10) 在此， k 和 k m为各自方向的k阶振型的振型参与系数和有效质量系数， 计算方 法如下： 振型参与系数 1 2 1 n jjk jk n jjk j m m = = = (11) 振型参与质量 2 1 2 1 n jjk jk n jjk j m m m = = = (12) 式(9)和(10)为动力学理论的多自由度(mdof)体系和单自由度(sdof)体系之间 的关系。即a和d为单自由度体系响应谱上的响应加速度和响应位移，v和u为多 自由度体系的基底剪力和位移。 如图2.36 ， 弹性响应谱可以利用单自由度体系的位移和加速度关系式(13)进行 转换。 2 2 4 n t da = (13) 性能点(performance point)的评价 性能点(performance point)的评价 能力谱和需求谱的交点称为性能点。在midas/gen中提供的计算性能点的方法为 atc-40的能力谱(csm)中提供的procedure-a和procedure-b两种方法。两种方法 的基本原理相同，通过计算有效阻尼反复计算获得性能点的方法为procedure-a 方法，利用延性比和有效周期原理计算性能点的方法为 procedure-b。 (1) 计算等效阻尼(equivalent damping) (1) 计算等效阻尼(equivalent damping) 在能力谱法(csm)中，通过pushover分析获得能力谱后如下图所示使用具有相同 面积的双折线(biloinear)曲线来表现。在csm中使用具有5%阻尼的弹性响应谱 和能力谱计算结构的等效阻尼。因为结构的阻尼而耗散的能量等于双折线滞回 曲线的面积，可按式(14)计算。 图 2.37 利用滞回曲线计算等效阻尼 图 2.37 利用滞回曲线计算等效阻尼 +0.05 (14) 在此, ed = 结构阻尼引起的耗散能 eso = 结构的最大变形能 将式(14)使用百分率的形式表现如下。 (15) 在此， eq 表示阻尼比(%)，在atc-40中阻尼比超过25%时，需要谨慎的判断，且 不许超过50%。 0 63.7() 1 4 ypiypi d sopipi a dd a e ea d = 0eq = 0 63.7() 55 ypiypi eq pipi a dd a a d =+=+ (2) 计算有效阻尼(effective damping) (2) 计算有效阻尼(effective damping) 地震作用作用下的钢筋混凝土结构的滞回曲线中没有表现刚度退化(stiffness degradation)和强度退化(strength deterioration)、滑移或握裹(slip or p inching)的特性的理想化的滞回模型。所以在atc-40中为了反映钢筋混凝土的 这些滞回特性，使用阻尼调整系数(damping modification factor)来调整等效 阻尼。调整后的等效阻尼称为有效阻尼系数，按下式计算。 (16) 式左侧的阻尼比5%为弹性体系的阻尼，不同结构特性的阻尼调整系数如下表。 结构特性 等效阻尼 0 (%) 阻尼调整系数() 类型 a (完全滞回特性) 16.25 16.25 1.0 () 0.51 1.13 ypiypi pipi a dd a a d 类型 b (一般滞回特性) 25 25 0.67 () 0.446 0.845 ypiypi pipi a dd a a d 类型 c (弱滞回特性) 所有值 0.33 (3) 非线性需求谱 (3) 非线性需求谱 使用前面计算的有效阻尼系数决定非线性响应谱。即利用有效阻尼系数计算响 应谱的谱折减系数(spectrum reduction factor，sr)。如图2.27所示加速度和 速度的谱折减系数不同。谱折减系数采用了newmark和hall(1982)的地基运动 扩大系数，加速度的谱折减系数(sra)和速度速度的谱折减系数(srv)的计算式如 下。根据结构的滞回特性，atc-40中给出了谱折减系数的下限值。 图 2.38 根据谱折减系数计算的非线性响应谱 图 2.38 根据谱折减系数计算的非线性响应谱 () () () () 63.7 3.21 0.68ln5 0.33 0.44 2.12 0.56 ypiypi pipi a a dd a for type a a d srfor type b for type c + = () () () () 63.7 2.31 0.41ln5 0.50 0.56 1.65 0.67 ypiypi pipi v a dd a for type a a d srfor type b for type c + = (17) d s a s a sr v sr 0 63.7 () 55 ypiypi eq pipi a dd a a d =+=+ 项 目 sra srv 类型 a (完全滞回特性) 1.00 0.33 0.50 类型 b (一般滞回特性) 0.67 0.44 0.56 类型 c (弱滞回特性) 0.33 0.56 0.67 表 2.2 结构的滞回特性对应的谱折减系数下限值 表 2.2 结构的滞回特性对应的谱折减系数下限值 根据上述的计算过程可以获得设计地震作用或线弹性反应谱对应的非线性需求 谱。将获得的非线性地震需求谱和通过pushover分析获得的结构的能力谱进行 比较，可以获得结构的性能点。 (4) 计算性能点 (4) 计算性能点 利用pushover分析得到的结构的能力谱和非线性设计响应谱的比较，可以获得 表现结构的非线性最大位移和保有内力的性能点，并且利用其来评价结构的性 能水准。 确定性能点的方法 确定性能点的方法 midas/gen中根据能力谱(csm)确定性能点的方法采用atc-40中提供的两种方法。其 基本原理为使用有效阻尼系数评价需求谱并求其与能力谱的交点作为性能点。 procedure-a procedure-a 是atc-40中提供的基本方法，首先将能力谱中斜率为初始刚度的切线和阻尼比 为5%的弹性设计响应谱的交点作为初始的性能点。然后确定初始性能点位置的 等效阻尼，然后求使用有效阻尼系数的非线性设计响应谱，然后重新计算交叉 点作为性能点。重复上述过程，直到在使用有效阻尼系数的非线性设计响应谱 和能力谱的的交点位置上位移响应和加速度响应的变化量在误差范围内，将此 时的交点视为性能点。采用procedure-a方法确定性能点的方法参见图2.39。 图 2.39 使用 procedure-a 方法计算性能点(atc-40) 图 2.39 使用 procedure-a 方法计算性能点(atc-40) procedure-b procedure-b atc-40中计算性能点的第二种方法是首先假设位移延性比，然后计算对应延性 比的结构的结构的有效周期，将有效周期直线和5%弹性设计响应谱的交点作为 初始的性能点。对弈于假定的位移延性比的放射线状的有效周期和非线性设计 响应谱的交点将形成一个轨迹线，该轨迹线与结构的能力谱的交点为最终的性 能点。利用procedure-b方法计算性能点的原理如图2.40所示。 图 2.40 利用 procedure-b 方法计算性能点(atc-40) 图 2.40 利用 procedure-b 方法计算性能点(atc-40) 该方法是首先假定位移延性比，然后逐步计算有效阻尼系数，所以在交叉点计 算的响应误差发散的概率较低。前面介绍的procedure-a方法在寻找性能点的过 程当中收敛性不是很好，而procedure-b方法不仅收敛性能好，而且不